La conjetura de Segal

La conjetura del anillo de Burnside de Segal , o simplemente la conjetura de Segal , es un teorema de la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas . El teorema relaciona el anillo de Burnside de un grupo finito G con la cohomotopía estable del espacio clasificador BG . La conjetura fue formulada a mediados de la década de 1970 por Graeme Segal y demostrada en 1984 por Gunnar Carlsson . A pesar de tener ahora la categoría de teorema, esta afirmación aún se conoce comúnmente como la conjetura de Segal.

La conjetura de Segal tiene varias formulaciones diferentes, no todas equivalentes. He aquí una forma débil: existe, para cada grupo finito G , un isomorfismo

${\displaystyle \varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).}$

Aquí, lim denota el límite inverso , π _S * denota el anillo de cohomotopía estable, B denota el espacio clasificador, el superíndice k denota el k - esqueleto , y el subíndice + denota la adición de un punto base disjunto. En el lado derecho, el sombrero denota la completación del anillo de Burnside con respecto a su ideal de aumento .

El anillo de Burnside de un grupo finito G se construye a partir de la categoría de G -conjuntos finitos como un grupo de Grothendieck . Más precisamente, sea M ( G ) el monoide conmutativo de clases de isomorfismo de G -conjuntos finitos, con adición la unión disjunta de G -conjuntos y elemento identidad el conjunto vacío (que es un G -conjunto de forma única). Entonces A ( G ), el grupo de Grothendieck de M ( G ), es un grupo abeliano . De hecho, es un grupo abeliano libre con elementos base representados por los G -conjuntos G / H , donde H varía sobre los subgrupos de G. (Nótese que aquí no se asume que H sea un subgrupo normal de G , ya que si bien G / H no es un grupo en este caso, sigue siendo un G -conjunto). La estructura de anillo en A ( G ) está inducida por el producto directo de G -conjuntos; La identidad multiplicativa es el conjunto de un punto (clase de isomorfismo de cualquier) que se convierte en un G -conjunto de una manera única.

El anillo de Burnside es el análogo del anillo de representación en la categoría de conjuntos finitos, a diferencia de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo (véase la motivación más adelante). Ha demostrado ser una herramienta importante en la teoría de la representación de grupos finitos.

Para cualquier grupo topológico G que admita la estructura de un complejo CW , se puede considerar la categoría de fibrados principales de G. Se puede definir un functor de la categoría de complejos CW a la categoría de conjuntos asignando a cada complejo CW X el conjunto de fibrados principales de G en X. Este functor desciende a un functor en la categoría de homotopía de complejos CW, y es natural preguntarse si el functor así obtenido es representable . La respuesta es afirmativa, y el objeto representativo se llama espacio clasificador del grupo G y se denota típicamente BG . Si restringimos nuestra atención a la categoría de homotopía de complejos CW, entonces BG es único. Cualquier complejo CW que sea homotópicamente equivalente a BG se llama modelo para BG .

Por ejemplo, si G es el grupo de orden 2, entonces un modelo para BG es el espacio proyectivo real de dimensión infinita . Se puede demostrar que si G es finito, entonces cualquier modelo complejo CW de BG tiene celdas de dimensión arbitrariamente grande. Por otro lado, si G = Z , los enteros, entonces el espacio clasificador BG es homotópicamente equivalente al círculo S ¹ .

El contenido del teorema se vuelve algo más claro si se coloca en su contexto histórico. En la teoría de las representaciones de grupos finitos, se puede formar un objeto${\displaystyle R[G]}$llamado el anillo de representación de${\displaystyle G}$de una manera totalmente análoga a la construcción del anillo de Burnside descrito anteriormente. La cohomotopía estable es, en cierto sentido, el análogo natural de la teoría K compleja , que se denota${\displaystyle KU^{*}}$Segal se inspiró para formular su conjetura después de que Michael Atiyah demostrara la existencia de un isomorfismo .

${\displaystyle KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]}$

que es un caso especial del teorema de completación de Atiyah-Segal .

• Adams, J. Frank (1980). "La conjetura del anillo de Burnside de Graeme Segal". Simposio de Topología, Siegen 1979. Notas de clase en matemáticas. Vol.  788. Berlín: Springer. pp. 378–395 . MR 0585670 .  
• Carlsson, Gunnar (1984). "Homotopía estable equivariante y la conjetura del anillo de Burnside de Segal". Annals of Mathematics . 120 (2): 189– 224. doi : 10.2307/2006940 . JSTOR 2006940. MR 0763905 .