Secuencia sin suma

En matemáticas , una secuencia sin suma es una secuencia creciente de enteros positivos ,

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,}$

de tal manera que ningún término${\displaystyle a_{n}}$puede representarse como la suma de cualquier subconjunto de los elementos precedentes de la secuencia.

Esto difiere de un conjunto libre de sumas , donde solo se deben evitar pares de sumas, pero donde esas sumas pueden provenir de todo el conjunto en lugar de solo de los términos precedentes.

Las potencias de dos ,

1, 2, 4, 8, 16, ...

Forman una secuencia sin suma: cada término de la secuencia es uno más que la suma de todos los términos precedentes, por lo que no se puede representar como una suma de los términos precedentes.

Se dice que un conjunto de enteros es pequeño si la suma de sus recíprocos converge a un valor finito. Por ejemplo, según el teorema de los números primos , los números primos no son pequeños. Paul Erdős ( 1962 ) demostró que toda sucesión sin suma es pequeña y se preguntó cuán grande podría ser la suma de los recíprocos. Por ejemplo, la suma de los recíprocos de las potencias de dos (una serie geométrica ) es dos. ^{[ 1 ]} 

Si${\displaystyle R}$denota el supremo de todas las sumas de recíprocos de una secuencia libre de sumas, entonces a través de investigaciones posteriores se sabe que${\displaystyle 2.0654<R<2.8570}$. ^{[ 2 ]}

Del hecho de que las secuencias libres de sumas son pequeñas se deduce que tienen densidad de Schnirelmann cero ; es decir, si${\displaystyle A(x)}$se define como el número de elementos de secuencia que son menores o iguales a${\displaystyle x}$, entonces${\displaystyle A(x)=o(x)}$Erdős (1962) demostró que para cada secuencia libre de suma existe una secuencia no acotada de números.${\displaystyle x_{i}}$para qué${\displaystyle A(x_{i})=O(x^{\varphi -1})}$dónde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea , y exhibió una secuencia libre de sumas para la cual, para todos los valores de${\displaystyle x}$,${\displaystyle A(x)=\Omega (x^{2/7})}$, ^{[ 1 ]} posteriormente mejorado a${\displaystyle A(x)=\Omega (x^{1/3})}$por Deshouillers, Erdős y Melfi en 1999 ^{[ 3 ]} y a${\displaystyle A(x)=\Omega (x^{1/2-\varepsilon })}$por Luczak y Schoen en 2000, quienes también demostraron que el exponente 1/2 no se puede mejorar más. ^{[ 4 ]}

• Abbott, HL (1987), "Sobre secuencias sin suma", Acta Arithmetica , 48 (1): 93– 96, doi : 10.4064/aa-48-1-93-96 , MR 0893466 .
• Chen, Yong Gao (2013), "Sobre la suma recíproca de una secuencia libre de sumas", Science China Mathematics , 56 (5): 951– 966, Bibcode : 2013ScChA..56..951C , doi : 10.1007/s11425-012-4540-6 , S2CID 124005748 .
• Deshouillers, Jean-Marc ; Erdős, Pál ; Melfi, Giuseppe (1999), "Sobre una cuestión de secuencias libres de sumas", Matemáticas Discretas , 200 ( 1–3 ): 49–54 , doi : 10.1016/s0012-365x(98)00322-7 , MR 1692278 .
• Erdős, Pál (1962), "Számelméleti megjegyzések, III. Néhány additív számelméleti problémáról" [ Algunas observaciones sobre teoría de números, III ] (PDF) , Matematikai Lapok (en húngaro), 13 : 28– 38, MR 0144871 .
• Levine, Eugene; O'Sullivan, Joseph (1977), "Una estimación superior para la suma recíproca de una secuencia libre de sumas", Acta Arithmetica , 34 (1): 9–24 , doi : 10.4064/aa-34-1-9-24 , MR 0466016 .
• Luczak, Tomasz; Schoen, Tomasz (2000), "Sobre la densidad máxima de conjuntos libres de sumas", Acta Arithmetica , 95 (3): 225–229 , doi : 10.4064/aa-95-3-225-229 , MR 1793162 .
• Yang, Shi Chun (2009), "Nota sobre la suma recíproca de una secuencia libre de sumas", Journal of Mathematical Research and Exposition , 29 (4): 753–755 , MR 2549677 .
• Yang, Shi Chun (2015), "Un límite superior para la suma recíproca de Erdös de la secuencia libre de suma", Scientia Sinica Mathematica , 45 (3): 213– 232, doi : 10.1360/N012014-00121.