Series (matemáticas)

Una serie o, redundantemente, una serie infinita , es una suma infinita. A menudo se representa como ^{[ 8 ] [ 15 ] [ 16 ]}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{o}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$ donde los términos${\displaystyle a_{k}}$son los miembros de una secuencia de números , funciones o cualquier otra cosa que se pueda sumar . Una serie también puede representarse con la notación sigma mayúscula : ^{[ 8 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\qquad {\text{o}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$$

También es común expresar series usando algunos primeros términos, una elipsis, un término general y luego una elipsis final, siendo el término general una expresión de la${\displaystyle n}$⁠ término como función de ⁠${\displaystyle n}$:​ $${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad {\text{ o }}\quad f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+\cdots .}$$ Por ejemplo, el número de Euler se puede definir con la serie $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}+\cdots ,}$$ dónde${\displaystyle n!}$denota el producto de la${\displaystyle n}$primeros enteros positivos y${\displaystyle 0!}$es convencionalmente igual a${\displaystyle 1.}$^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

Dada una serie${\textstyle s=\sum _ {k=0}^{\infty }a_ {k}}$, su${\displaystyle n}$La suma parcial número es ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$$

Algunos autores identifican directamente una serie con su secuencia de sumas parciales. ^{[ 9 ] [ 11 ]} Tanto la secuencia de sumas parciales como la secuencia de términos caracterizan completamente la serie, y la secuencia de términos se puede recuperar a partir de la secuencia de sumas parciales tomando las diferencias entre elementos consecutivos, $${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$$

La suma parcial de una secuencia es un ejemplo de transformación lineal de secuencias , y también se conoce como suma de prefijos en informática . La transformación inversa para recuperar una secuencia a partir de sus sumas parciales es la diferencia finita , otra transformación lineal de secuencias.

Las sumas parciales de series a veces tienen expresiones de forma cerrada más simples, por ejemplo, una serie aritmética tiene sumas parciales $${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},}$$ y una serie geométrica tiene sumas parciales ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$$ si​${\displaystyle r\neq 1}$o simplemente​${\displaystyle s_{n}=a(n+1)}$si​​${\displaystyle r=1}$.​

En sentido estricto, se dice que una serie converge , es convergente o sumable cuando la sucesión de sus sumas parciales tiene un límite . Cuando el límite de la sucesión de sumas parciales no existe, la serie diverge o es divergente . ^{[ 23 ]} Cuando el límite de las sumas parciales existe, se denomina suma de la serie o valor de la serie : ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$ Una serie con un número finito de términos distintos de cero siempre converge. Estas series son útiles para considerar sumas finitas sin preocuparse por el número de términos. ^{[ 24 ]} Cuando existe la suma, la diferencia entre la suma de una serie y su${\displaystyle n}$suma parcial th,${\textstyle s-s_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k},}$es conocido como el${\displaystyle n}$error de truncamiento de la serie infinita. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Un ejemplo de serie convergente es la serie geométrica. $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{k}}}+\cdots .}$$

Mediante cálculo algebraico se puede demostrar que cada suma parcial${\displaystyle s_{n}}$es $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}$$Como uno tiene $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2,}$$ La serie es convergente y converge a ⁠${\displaystyle 2}$con errores de truncamiento${\textstyle 1/2^{n}}$. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

Por el contrario, la serie geométrica $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{k}}$$ es divergente en los números reales . ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} Sin embargo, es convergente en la recta numérica real extendida , con${\displaystyle +\infty }$como su límite y${\displaystyle +\infty }$como su error de truncamiento en cada paso. ^{[ 27 ]}

Cuando la sucesión de sumas parciales de una serie no se puede calcular y evaluar fácilmente para comprobar su convergencia de forma directa, se pueden utilizar pruebas de convergencia para demostrar que la serie converge o diverge.

En las sumas finitas ordinarias , los términos de la suma se pueden agrupar y desagrupar libremente sin que cambie el resultado de la suma como consecuencia de la asociatividad de la suma.${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})={}}$${\displaystyle (a_{0}+a_{1})+a_{2}.}$De manera similar, en una serie, cualquier agrupamiento finito de términos de la serie no cambiará el límite de las sumas parciales de la serie y, por lo tanto, no cambiará la suma de la serie. Sin embargo, si se realiza un número infinito de agrupamientos en una serie infinita, entonces las sumas parciales de la serie agrupada pueden tener un límite diferente al de la serie original y diferentes agrupamientos pueden tener límites diferentes entre sí; la suma de${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$puede no ser igual a la suma de${\displaystyle a_{0}+(a_{1}+a_{2})+{}}$${\displaystyle (a_{3}+a_{4})+\cdots .}$

Por ejemplo, la serie de Grandi${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$⁠ tiene una secuencia de sumas parciales que alterna entre ⁠${\displaystyle 1}$y​​${\displaystyle 0}$y no converge. Agrupar sus elementos en pares crea la serie${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 0+0+0+\cdots ,}$que tiene sumas parciales iguales a cero en cada término y, por lo tanto, suma cero. Agrupando sus elementos en pares comenzando después del primero se crea la serie${\displaystyle 1+(-1+1)+{}}$${\displaystyle (-1+1)+\cdots ={}}$${\displaystyle 1+0+0+\cdots ,}$que tiene sumas parciales iguales a uno para cada término y por lo tanto suma uno, un resultado diferente.

En general, agrupar los términos de una serie crea una nueva serie con una sucesión de sumas parciales que es una subsucesión de las sumas parciales de la serie original. Esto significa que si la serie original converge, también lo hace la nueva serie después de agruparla: todas las subsucesiones infinitas de una sucesión convergente también convergen al mismo límite. Sin embargo, si la serie original diverge, entonces la serie agrupada no necesariamente diverge, como en este ejemplo de la serie de Grandi mencionado anteriormente. No obstante, la divergencia de una serie agrupada implica que la serie original debe ser divergente, ya que prueba que existe una subsucesión de las sumas parciales de la serie original que no es convergente, lo cual sería imposible si lo fuera. Este razonamiento se aplicó en la demostración de Oresme de la divergencia de la serie armónica , ^{[ 28 ]} y es la base del criterio general de condensación de Cauchy . ^{[ 29 ] [ 30 ]}

En las sumas finitas ordinarias, los términos de la suma se pueden reordenar libremente sin cambiar el resultado de la suma como consecuencia de la conmutatividad de la suma.${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}={}}$${\displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{1}={}}$${\displaystyle a_{2}+a_{1}+a_{0}.}$De manera similar, en una serie, cualquier reordenamiento finito de los términos de la serie no cambia el límite de las sumas parciales de la serie y, por lo tanto, no cambia la suma de la serie: para cualquier reordenamiento finito, habrá algún término después del cual el reordenamiento no afectará a ningún otro término: cualquier efecto del reordenamiento puede aislarse a la suma finita hasta ese término, y las sumas finitas no cambian bajo un reordenamiento.

Sin embargo, en cuanto a la agrupación, una reordenación infinita de los términos de una serie puede, en ocasiones, provocar un cambio en el límite de las sumas parciales de la misma. Las series con sucesiones de sumas parciales que convergen a un valor, pero cuyos términos podrían reordenarse para formar una serie con sumas parciales que convergen a otro valor, se denominan series condicionalmente convergentes . Aquellas que convergen al mismo valor independientemente de la reordenación se denominan series incondicionalmente convergentes .

Para series de números reales y números complejos, una serie${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$es incondicionalmente convergente si y solo si la serie que suma los valores absolutos de sus términos,${\displaystyle |a_{0}|+|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots ,}$También es convergente, una propiedad llamada convergencia absoluta . En otras palabras, cualquier serie de números reales o complejos que converge pero no converge absolutamente es condicionalmente convergente. Cualquier suma condicionalmente convergente de números reales puede reordenarse para dar como límite cualquier otro número real, o para divergir. Estas afirmaciones constituyen el contenido del teorema de la serie de Riemann . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

Un ejemplo históricamente importante de convergencia condicional es la serie armónica alternada ,

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ que tiene una suma del logaritmo natural de 2 , mientras que la suma de los valores absolutos de los términos es la serie armónica , $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{1 \over n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots ,}$$ que diverge según la divergencia de la serie armónica, ^{[ 28 ]} por lo que la serie armónica alternada es condicionalmente convergente. Por ejemplo, reordenando los términos de la serie armónica alternada de modo que cada término positivo de la serie original vaya seguido de dos términos negativos de la serie original en lugar de solo uno se obtiene ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad =\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[3mu]&\quad ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ que es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$veces la serie original, por lo que tendría una suma de la mitad del logaritmo natural de 2. Según el teorema de la serie de Riemann, también son posibles reordenamientos de la serie armónica alternada para producir cualquier otro número real.

La adición de dos series${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$y${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$está dado por la suma término a término ^{[ 13 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$, o, en notación de sumatoria, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$$

Usando los símbolos${\displaystyle s_{a,n}}$y${\displaystyle s_{b,n}}$para las sumas parciales de la serie añadida y${\displaystyle s_{a+b,n}}$Para las sumas parciales de la serie resultante, esta definición implica que las sumas parciales de la serie resultante siguen${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$Entonces, la suma de la serie resultante, es decir, el límite de la sucesión de sumas parciales de la serie resultante, satisface $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$$ cuando existen los límites. Por lo tanto, primero, la serie resultante de la suma es sumable si las series sumadas eran sumables y, segundo, la suma de la serie resultante es la suma de las sumas de las series sumadas. La suma de dos series divergentes puede producir una serie convergente: por ejemplo, la suma de una serie divergente con una serie de sus términos multiplicada por${\displaystyle -1}$producirá una serie de ceros que converge a cero. Sin embargo, para cualesquiera dos series donde una converge y la otra diverge, el resultado de su suma diverge. ^{[ 35 ]}

Para series de números reales o complejos, la suma de series es asociativa , conmutativa e invertible . Por lo tanto, la suma de series confiere a los conjuntos de series convergentes de números reales o complejos la estructura de un grupo abeliano , y también confiere a los conjuntos de todas las series de números reales o complejos (independientemente de sus propiedades de convergencia) la estructura de un grupo abeliano.

El producto de una serie${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$con un número constante${\displaystyle c}$, llamado escalar en este contexto, viene dado por el producto término a término ^{[ 35 ].}${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$, o, en notación de sumatoria,

$${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$$

Usando los símbolos${\displaystyle s_{a,n}}$para las sumas parciales de la serie original y${\displaystyle s_{ca,n}}$para las sumas parciales de la serie después de la multiplicación por${\displaystyle c}$, esta definición implica que${\displaystyle s_{ca,n}=cs_{a,n}}$a pesar de${\displaystyle n,}$y por lo tanto también${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{ca,n}=c\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n},}$cuando existen los límites. Por lo tanto, si una serie es sumable, cualquier múltiplo escalar distinto de cero de la serie también es sumable y viceversa: si una serie es divergente, entonces cualquier múltiplo escalar distinto de cero de ella también es divergente.

La multiplicación escalar de números reales y complejos es asociativa, conmutativa, invertible y se distribuye sobre la suma de series.

En resumen, la suma de series y la multiplicación escalar confieren al conjunto de series convergentes y al conjunto de series de números reales la estructura de un espacio vectorial real . De forma similar, se obtienen espacios vectoriales complejos para series y series convergentes de números complejos. Todos estos espacios vectoriales son de dimensión infinita.

La multiplicación de dos series${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$y${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$para generar una tercera serie${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$, llamado producto de Cauchy, ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 36 ] [ 38 ]} puede escribirse en notación de sumatoria $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$$ con cada${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}={}\!}$${\displaystyle \!a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$Aquí, la convergencia de las sumas parciales de la serie${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$No es tan sencillo de establecer como para la suma. Sin embargo, si ambas series${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$y${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$son series absolutamente convergentes , entonces la serie resultante de multiplicarlas también converge absolutamente con una suma igual al producto de las dos sumas de las series multiplicadas, ^{[ 13 ] [ 36 ] [ 39 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{c,n}=\left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}\right)\cdot \left(\,\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n}\right).}$$

La multiplicación de series absolutamente convergentes de números reales y complejos es asociativa, conmutativa y se distribuye sobre la suma de series. Junto con la suma de series, la multiplicación de series confiere a los conjuntos de series absolutamente convergentes de números reales o complejos la estructura de un anillo conmutativo , y junto con la multiplicación escalar, también la estructura de un álgebra conmutativa ; estas operaciones también confieren a los conjuntos de todas las series de números reales o complejos la estructura de un álgebra asociativa .

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle 4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Cuando cada término de una serie es un número real no negativo, por ejemplo, cuando los términos son los valores absolutos de otra serie de números reales o complejos, la sucesión de sumas parciales es no decreciente. Por lo tanto, una serie con términos no negativos converge si y solo si la sucesión de sumas parciales está acotada, y así, encontrar una cota para una serie o para los valores absolutos de sus términos es una forma eficaz de demostrar la convergencia o la convergencia absoluta de una serie. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 47 ] [ 50 ]}

Por ejemplo, la serie${\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots \,}$es convergente y absolutamente convergente porque${\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}}$a pesar de${\displaystyle n\geq 2}$y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales de la serie de esos términos de acotación no negativos están acotadas superiormente por 2. ^{[ 43 ]} El valor exacto de esta serie es${\textstyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$; véase el problema de Basilea .

Este tipo de estrategia de acotación es la base de las pruebas generales de comparación de series. Primero está la prueba general de comparación directa : ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 47 ]} Para cualquier serie${\textstyle \sum a_{n}}$, Si${\textstyle \sum b_{n}}$es una serie absolutamente convergente tal que${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$para algún número real positivo${\displaystyle C}$y para suficientemente grande${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$converge absolutamente también. Si${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$diverge y${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ para todos suficientemente grandes${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$tampoco converge absolutamente, aunque aún podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si la${\displaystyle a_{n}}$alternan en signo. El segundo es el criterio general de comparación de límites : ^{[ 53 ] [ 54 ]} Si${\textstyle \sum b_{n}}$es una serie absolutamente convergente tal que${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$para suficientemente grande${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$converge absolutamente también. Si${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$diverge y${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$para todos suficientemente grandes${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$tampoco converge absolutamente, aunque aún podría ser condicionalmente convergente si la${\displaystyle a_{n}}$varían en signo.

Utilizando comparaciones con series geométricas específicamente, ^{[ 20 ] [ 21 ]} esas dos pruebas de comparación generales implican otras dos pruebas comunes y generalmente útiles para la convergencia de series con términos no negativos o para la convergencia absoluta de series con términos generales. La primera es la prueba de la razón : ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]} si existe una constante${\displaystyle C<1}$de tal manera que${\displaystyle \left\vert {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$para todos suficientemente grandes ${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$converge absolutamente. Cuando la razón es menor que${\displaystyle 1}$pero no menos de una constante menor que${\displaystyle 1}$La convergencia es posible, pero esta prueba no la establece. En segundo lugar, está la prueba de la raíz : ^{[ 55 ] [ 58 ] [ 59 ]} si existe una constante${\displaystyle C<1}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{1/n}\leq C}$para todos suficientemente grandes ${\displaystyle n}$, entonces${\textstyle \sum a_{n}}$converge absolutamente.

Alternativamente, utilizando comparaciones con representaciones en serie de integrales específicamente, se deriva la prueba integral : ^{[ 60 ] [ 61 ]} si${\displaystyle f(x)}$es una función monótona decreciente positiva definida en el intervalo${\displaystyle [1,\infty )}$ luego para una serie con términos${\displaystyle a_{n}=f(n)}$a pesar de ${\displaystyle n}$,${\textstyle \sum a_{n}}$converge si y solo si la integral${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$es finito. El uso de comparaciones con versiones aplanadas de una serie conduce a la prueba de condensación de Cauchy : ^{[ 29 ] [ 30 ]} si la secuencia de términos${\displaystyle a_{n}}$es no negativo y no creciente, entonces las dos series${\textstyle \sum a_{n}}$y${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$son ambas convergentes o ambas divergentes.

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. La convergencia condicional se comprueba de forma diferente a la convergencia absoluta.

Un ejemplo importante de una prueba de convergencia condicional es la prueba de series alternadas o prueba de Leibniz : ^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]} Una serie de la forma${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$con todo${\displaystyle a_{n}>0}$Se denomina alternante . Dicha serie converge si la secuencia no negativa${\displaystyle a_{n}}$es monótonamente decreciente y converge a ${\displaystyle 0}$Lo contrario, en general, no es cierto. Un ejemplo famoso de aplicación de esta prueba es la serie armónica alternada.$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$ que es convergente según la prueba de series alternadas (y su suma es igual a ${\displaystyle \ln 2}$), aunque la serie formada al tomar el valor absoluto de cada término es la serie armónica ordinaria , que es divergente. ^{[ 65 ] [ 66 ]}

La prueba de series alternadas puede considerarse un caso especial de la prueba de Dirichlet más general : ^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]} si${\displaystyle (a_{n})}$es una sucesión de términos de números reales no negativos decrecientes que converge a cero, y${\displaystyle (\lambda _{n})}$es una sucesión de términos con sumas parciales acotadas, entonces la serie${\textstyle \sum \lambda _{n}a_{n}}$converge. Tomando${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$Recupera la prueba de series alternas.

La prueba de Abel es otra técnica importante para manejar series semiconvergentes. ^{[ 67 ] [ 29 ]} Si una serie tiene la forma${\textstyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$donde las sumas parciales de la serie con términos${\displaystyle b_{n}}$,${\displaystyle s_{b,n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$están delimitados,${\displaystyle \lambda _{n}}$tiene variación limitada y${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$existe: si${\textstyle \sup _{n}|s_{b,n}|<\infty ,}$${\textstyle \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty ,}$y${\displaystyle \lambda _{n}s_{b,n}}$converge, entonces la serie${\textstyle \sum a_{n}}$es convergente.

Otras pruebas de convergencia especializadas para tipos específicos de series incluyen la prueba de Dini ^{[ 70 ]} para series de Fourier .

La evaluación de los errores de truncamiento de series es importante en el análisis numérico (especialmente en métodos numéricos validados y demostraciones asistidas por computadora ). Puede utilizarse para demostrar la convergencia y analizar las tasas de convergencia .

Una serie de potencias es una serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

La serie Taylor en un punto${\displaystyle c}$La función de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en un entorno de${\displaystyle c}$⁠ . Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

es la serie Taylor de${\displaystyle e^{x}}$en el origen y converge a él para cada${\displaystyle x}$.​

A menos que converja solo en ⁠${\displaystyle x=c}$⁠ , dicha serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto ⁠${\displaystyle c}$en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos del límite del disco. El radio de este disco se conoce como radio de convergencia , y en principio puede determinarse a partir de la asintótica de los coeficientes .${\displaystyle a_{n}}$⁠ . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos ) del interior del disco de convergencia: a saber, es uniformemente convergente en conjuntos compactos .

Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler trabajaron con frecuencia con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se consolidó en el siglo XIX, siempre se exigieron demostraciones rigurosas de la convergencia de las series.

Si bien muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratarlas como sumas formales , lo que significa que no se realizan operaciones de suma y el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no necesariamente se interpreta como correspondiente a la suma. En este contexto, lo que interesa es la secuencia de coeficientes en sí, en lugar de la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se utilizan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de las funciones generadoras . La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formal que se utiliza para estudiar álgebras graduadas .

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos admiten una estructura apropiada entonces es posible definir operaciones tales como suma , multiplicación , derivada , antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondiera a la suma. En el contexto más común, los términos provienen de un anillo conmutativo , de modo que la serie de potencias formal se puede sumar término por término y multiplicar mediante el producto de Cauchy . En este caso, el álgebra de la serie de potencias formal es el álgebra total del monoide de los números naturales sobre el anillo de términos subyacente. ^{[ 76 ]} Si el anillo de términos subyacente es un álgebra diferencial , entonces el álgebra de la serie de potencias formal también es un álgebra diferencial, con diferenciación realizada término por término.

Las series de Laurent generalizan las series de potencias al admitir términos con exponentes tanto negativos como positivos. Por lo tanto, una serie de Laurent es cualquier serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Si dicha serie converge, generalmente lo hace en un anillo en lugar de un disco, y posiblemente en algunos puntos de la frontera. La serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Una serie de Dirichlet es una de las formas

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

donde​${\displaystyle s}$es un número complejo . Por ejemplo, si todos${\displaystyle a_{n}}$son iguales a${\displaystyle 1}$Entonces , la suma de la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann.

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general juegan un papel importante en la teoría analítica de números . Generalmente, una serie de Dirichlet converge si la parte real de ⁠${\displaystyle s}$es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una función definida por una serie de Dirichlet es una función analítica que puede extenderse fuera del dominio de convergencia de la serie mediante continuación analítica . Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$⁠ , pero la función zeta puede extenderse a una función holomorfa definida en${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$con un simple poste en ${\displaystyle 1}$.​

Esta serie puede generalizarse directamente a series de Dirichlet generales .

Una serie de funciones cuyos términos son funciones trigonométricas se denomina serie trigonométrica :

$${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

El ejemplo más importante de una serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Las series asintóticas , también llamadas expansiones asintóticas , son series infinitas cuyos términos son funciones de una secuencia de órdenes asintóticos diferentes y cuyas sumas parciales son aproximaciones de alguna otra función en un límite asintótico . En general, no convergen, pero siguen siendo útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. Son herramientas cruciales en la teoría de perturbaciones y en el análisis de algoritmos .

Una serie asintótica no necesariamente puede producir una respuesta tan exacta como se desea lejos del límite asintótico, como sí puede hacerlo una serie convergente ordinaria de funciones. De hecho, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación práctica lejos del límite asintótico después de un número finito de términos; si se incluyen más términos, la serie producirá aproximaciones menos precisas.

Las series infinitas juegan un papel importante en el análisis moderno de la filosofía griega antigua del movimiento , particularmente en las paradojas de Zenón . ^{[ 77 ]} La paradoja de Aquiles y la tortuga demuestra que el movimiento continuo requeriría una infinidad real de instantes temporales, lo cual era posiblemente un absurdo : Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando llega a la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha llegado a una segunda posición; cuando llega a esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Se dice que Zenón argumentó que, por lo tanto, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga, y por lo tanto, que el movimiento continuo debe ser una ilusión. Zenón dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requería una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrapara a la tortuga viene dado por una serie. La resolución del aspecto puramente matemático e imaginativo de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, su suma es finita, lo que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga. Sin embargo, en la filosofía moderna del movimiento, el aspecto físico del problema permanece abierto, y tanto filósofos como físicos dudan, como Zenón, de que los movimientos espaciales sean infinitamente divisibles: las hipotéticas conciliaciones de la mecánica cuántica y la relatividad general en las teorías de la gravedad cuántica a menudo introducen cuantizaciones del espaciotiempo a la escala de Planck . ^{[ 78 ] [ 79 ]}

El matemático griego Arquímedes realizó la primera suma conocida de una serie infinita mediante un método que aún se utiliza en el cálculo actual. Empleó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita, ^{[ 5 ]} y proporcionó una aproximación notablemente precisa de π . ^{[ 80 ] [ 81 ]}

En el siglo XIV, el matemático francés Nicole Oresme desarrolló la primera demostración de la divergencia de la serie armónica . ^{[ 82 ]} Su trabajo, junto con el trabajo contemporáneo de Richard Swineshead sobre una serie diferente, marcó la primera aparición de series infinitas distintas de las series geométricas en matemáticas. ^{[ 83 ]}

Los matemáticos de la escuela de Kerala en la India medieval estudiaban series infinitas hacia el año 1350 d. C. Una de sus obras más importantes —el desarrollo en serie de funciones trigonométricas— fue descrita en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha (alrededor de 1500), y nuevamente en un comentario sobre esta obra, llamado Tantrasangraha-vakhya , de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero las demostraciones para las series del seno, el coseno y la tangente inversa se proporcionaron un siglo después en la obra Yuktibhasa ( c. 1530), escrita en malayalam por Jyesthadeva, y también en un comentario sobre Tantrasangraha . ^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]}

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal con series infinitas y publicó varias series de Maclaurin . En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen . Leonhard Euler, en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de las series hipergeométricas y las series q .

Se considera que la investigación sobre la validez de las series infinitas comenzó con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado las series hipergeométricas.

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

Sobre este tema, Gauss publicó unas memorias en 1812. En ellas se establecieron criterios más sencillos de convergencia, así como las cuestiones relativas a los restos y al rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas rigurosas de convergencia; demostró que si dos series convergen, su producto no necesariamente lo hace, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían proporcionado diversos criterios, y Colin Maclaurin se había anticipado a algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy impulsó la teoría de las series de potencias mediante el desarrollo de una función compleja en dicha forma.

Abel (1826) en su memoria sobre la serie binomial

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy y dio un resumen completamente científico de la serie para valores complejos de${\displaystyle m}$y${\displaystyle x}$Demostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia.

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales en lugar de generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien realizó la primera investigación elaborada del tema, de De Morgan (desde 1842), cuya prueba logarítmica DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889) han demostrado que falla dentro de una cierta región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales se iniciaron con Kummer (1835) y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), cuyas limitaciones fueron señaladas por Abel, pero los primeros en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy retomó el problema (1853), reconociendo la crítica de Abel y llegando a las mismas conclusiones que Stokes ya había establecido. Thomae utilizó esta doctrina (1866), pero hubo una gran demora en reconocer la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente .

Poisson (1823) estudió las series semiconvergentes y también proporcionó una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. Sin embargo, la solución más importante del problema se debe a Jacobi (1834), quien abordó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula distinta. Malmsten (1847) también desarrolló esta expresión y proporcionó otra. Schlömilch ( Zeitschrift , vol. I, p.  192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Genocchi (1852) ha contribuido aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores se encontraba Wronski , cuya "loi suprême" (1815) apenas fue reconocida hasta que Cayley (1873) la dio a conocer.

Las series de Fourier se investigaban como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy desarrollaban la teoría de las series infinitas. Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701), y aún antes Vieta, habían tratado las series para el desarrollo en serie de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y el coseno del arco . Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot , Schröter , Glaisher y Kummer .

Fourier (1807) se planteó un problema diferente: expandir una función dada de${\displaystyle x}$en términos de los senos o cosenos de múltiplos de${\displaystyle x}$⁠ , un problema que plasmó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes en la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar demostrar el teorema general. Poisson (1820–23) también abordó el problema desde un punto de vista diferente. Sin embargo, Fourier no resolvió la cuestión de la convergencia de su serie, un asunto que Cauchy (1826) intentó abordar y que Dirichlet (1829) trató de manera completamente científica (véase convergencia de las series de Fourier ). El tratamiento de Dirichlet ( Crelle , 1829) de las series trigonométricas fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli y du Bois-Reymond . Entre otros destacados contribuyentes a la teoría de las series trigonométricas y de Fourier se encontraban Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly y Appell .

Al sumar una familia${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$de números reales no negativos sobre el conjunto de índices${\displaystyle I}$, definir

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup {\biggl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}{\biggr \}}\in [0,+\infty ].}$$

Cualquier suma sobre números reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo , lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Cuando el supremo es finito, entonces el conjunto de${\displaystyle i\in I}$de tal manera que${\displaystyle a_{i}>0}$es contable. De hecho, por cada${\displaystyle n\geq 1,}$la cardinalidad${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$del conjunto${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$es finito porque

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Por lo tanto, el conjunto${\displaystyle A=\left\{i\in I:a_{i}>0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$es contable .

Si${\displaystyle I}$es infinitamente numerable y se enumera como${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$entonces la suma definida anteriormente satisface

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}},}$$ proporcionó el valor${\displaystyle \infty }$Se permite para la suma de la serie.

Dejar${\displaystyle a:I\to X}$ser un mapa, también denotado por${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$de algún conjunto no vacío${\displaystyle I}$en un grupo topológico abeliano de Hausdorff${\displaystyle X.}$ Dejar${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$sea ​​la colección de todos los subconjuntos finitos de${\displaystyle I,}$con${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$visto como un conjunto dirigido , ordenado bajo inclusión${\displaystyle \,\subseteq \,}$con unión como unir . La familia${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$Se dice que es incondicionalmente sumable si el siguiente límite , que se denota por${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}a_{i}}$y se llama la suma de${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$existe en${\displaystyle X:}$