Formulación de integral de trayectoria

Un método común para derivar la fórmula de la integral de trayectoria consiste en dividir el intervalo de tiempo en segmentos pequeños. Una vez hecho esto, la fórmula del producto de Trotter nos indica que la no conmutatividad de los operadores de energía cinética y potencial puede ignorarse.

Para una partícula en un potencial suave, la integral de trayectoria se aproxima mediante trayectorias en zigzag , que en una dimensión es un producto de integrales ordinarias. Para el movimiento de la partícula desde la posición x _a en el instante t _a hasta x _b en el instante t _b , la secuencia temporal

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

se puede dividir en n + 1 segmentos más pequeños t _j − t _{j − 1} , donde j = 1, ..., n + 1 , de duración fija

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

Este proceso se denomina segmentación temporal . ^{[ 12 ] : 498}

Se puede calcular una aproximación para la integral de trayectoria como proporcional a

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

donde L ( x , v ) es el lagrangiano del sistema unidimensional con variable de posición x ( t ) y velocidad v = ẋ ( t ) consideradas (ver más abajo), y dx _j corresponde a la posición en el paso de tiempo j , si la integral de tiempo se aproxima mediante una suma de n términos.

En el límite n → ∞ , esto se convierte en una integral funcional que, aparte de un factor no esencial, es directamente el producto de las amplitudes de probabilidad ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (más precisamente, puesto que hay que trabajar con un espectro continuo, las densidades respectivas) para encontrar la partícula mecánica cuántica en t _a en el estado inicial x _a y en t _b en el estado final x _b .

En realidad, L es el lagrangiano clásico del sistema unidimensional considerado,

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=TV={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

y el mencionado "zigzag" corresponde a la aparición de los términos

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

en la suma de Riemann que aproxima la integral de tiempo, que finalmente se integra sobre x ₁ a x _n con la medida de integración dx ₁ ... dx _n , x̃ _j es un valor arbitrario del intervalo correspondiente a j , por ejemplo su centro, ⁠ x _j + x _{j −1} / 2 ⁠ .

Así, a diferencia de la mecánica clásica, no solo contribuye la trayectoria estacionaria, sino que también contribuyen todas las trayectorias virtuales entre el punto inicial y el punto final.

En términos de la función de onda en la representación de posición, la fórmula de la integral de trayectoria se lee de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$denota la integración sobre todos los caminos${\displaystyle \mathbf {x} }$con${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$y dónde${\displaystyle Z}$es un factor de normalización. Aquí${\displaystyle S}$es la acción, dada por

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

La representación de la integral de trayectoria da la amplitud cuántica para ir del punto x al punto y como una integral sobre todas las trayectorias. Para una acción de partícula libre (para simplificar, sea m = 1 , ħ = 1 )

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

La integral se puede evaluar explícitamente.

Para ello, conviene empezar sin el factor i en la exponencial, de modo que las grandes desviaciones se supriman con números pequeños, y no cancelando las contribuciones oscilatorias. La amplitud (o núcleo) se lee:

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

Dividir la integral en segmentos de tiempo:

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

donde D se interpreta como una colección finita de integrales en cada múltiplo entero de ε . Cada factor en el producto es una gaussiana como función de x ( t + ε ) centrada en x ( t ) con varianza ε . Las integrales múltiples son una convolución repetida de esta gaussiana G _ε con copias de sí misma en instantes adyacentes:

${\displaystyle K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

donde el número de convoluciones es ⁠ T / ε ⁠ . El resultado es fácil de evaluar tomando la transformada de Fourier de ambos lados, de modo que las convoluciones se convierten en multiplicaciones:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

La transformada de Fourier de la gaussiana G es otra gaussiana de varianza recíproca:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

y el resultado es

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

La transformada de Fourier da K , y es de nuevo una gaussiana con varianza recíproca:

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{-{\frac {(xy)^{2}}{2T}}}.}$

La constante de proporcionalidad no se determina realmente mediante el método de segmentación temporal, sino únicamente la relación entre los valores de las distintas opciones de punto final. La constante de proporcionalidad debe elegirse de forma que, entre cada dos segmentos temporales, la evolución temporal sea unitaria desde el punto de vista cuántico, pero una manera más esclarecedora de fijar la normalización es considerar la integral de trayectoria como la descripción de un proceso estocástico .

El resultado tiene una interpretación probabilística. La suma sobre todas las trayectorias del factor exponencial puede considerarse como la suma sobre cada trayectoria de la probabilidad de seleccionar dicha trayectoria. La probabilidad es el producto sobre cada segmento de la probabilidad de seleccionar ese segmento, de modo que cada segmento se elige probabilísticamente de forma independiente. El hecho de que la respuesta sea una distribución gaussiana que se propaga linealmente en el tiempo constituye el teorema del límite central , que puede interpretarse como la primera evaluación histórica de una integral de trayectoria estadística.

La interpretación de probabilidad proporciona una elección de normalización natural. La integral de trayectoria debe definirse de manera que

${\displaystyle \int K(xy;T)\,dy=1.}$

Esta condición normaliza la función gaussiana y produce un núcleo que obedece la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Para las integrales de trayectoria oscilatorias, aquellas con una i en el numerador, la segmentación temporal produce gaussianas convolucionadas, al igual que antes. Sin embargo, ahora el producto de convolución es marginalmente singular, ya que requiere límites precisos para evaluar las integrales oscilatorias. Para que los factores estén bien definidos, la forma más sencilla es añadir una pequeña parte imaginaria al incremento de tiempo ε . Esto está estrechamente relacionado con la rotación de Wick . Entonces, el mismo argumento de convolución que antes proporciona el núcleo de propagación:

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{\frac {i(xy)^{2}}{2T}},}$

que, con la misma normalización que antes (no la normalización de suma de cuadrados, ya que esta función tiene una norma divergente), obedece a una ecuación de Schrödinger libre:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Esto significa que cualquier superposición de K s también obedecerá la misma ecuación, por linealidad. Definiendo

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

Entonces ψ _t obedece la ecuación de Schrödinger libre al igual que K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

El lagrangiano para el oscilador armónico simple es ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Escriba su trayectoria x ( t ) como la trayectoria clásica más alguna perturbación, x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t ) y la acción como S = S _c + δS . La trayectoria clásica se puede escribir como

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

Esta trayectoria produce la acción clásica

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

A continuación, expanda la desviación de la trayectoria clásica como una serie de Fourier y calcule la contribución a la acción δS , que da como resultado

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

Esto significa que el propagador es

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

para alguna normalización

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

Utilizando la representación de producto infinito de la función sinc ,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

El propagador se puede escribir como

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

Sea T = t _f − t _i . Este propagador se puede escribir en términos de autoestados de energía como

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

Utilizando las identidades i sin ωT = ⁠ 1 / 2 ⁠ e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} ) y cos ωT = ⁠ 1 / 2 ⁠ e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} ) , esto equivale a

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

Se pueden absorber todos los términos después del primer e ^{− iωT /2} en R ( T ) , obteniendo así

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

Finalmente, se puede expandir R ( T ) en potencias de e ^{− iωT} : Todos los términos de esta expansión se multiplican por el factor e ^{− iωT /2} que aparece al principio, obteniendo términos de la forma

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

La comparación con la expansión de autoestados anterior produce el espectro de energía estándar para el oscilador armónico simple,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

Sin embargo, la aproximación de Feynman con división temporal no existe para las integrales de trayectoria cuántico-mecánicas más importantes de los átomos, debido a la singularidad del potencial de Coulomb e² ^/ r en el origen. Solo después de reemplazar el tiempo t por otro parámetro de pseudotiempo dependiente de la trayectoria

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

La singularidad se elimina y existe una aproximación segmentada en el tiempo, que es exactamente integrable, ya que puede hacerse armónica mediante una simple transformación de coordenadas, como descubrieron en 1979 İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert . ^{[ 14 ]} La combinación de una transformación de tiempo dependiente de la trayectoria y una transformación de coordenadas es una herramienta importante para resolver muchas integrales de trayectoria y se denomina genéricamente transformación de Duru-Kleinert .

La integral de trayectoria reproduce la ecuación de Schrödinger para el estado inicial y final, incluso en presencia de un potencial. Esto se aprecia mejor al calcular la integral de trayectoria en intervalos de tiempo infinitesimalmente separados.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Dado que la separación temporal es infinitesimal y las oscilaciones cancelantes se vuelven severas para valores grandes de ẋ , la integral de trayectoria tiene mayor peso para y cerca de x . En este caso, en el orden más bajo, la energía potencial es constante y solo la contribución de la energía cinética es no trivial. (Esta separación de los términos de energía cinética y potencial en el exponente es esencialmente la fórmula del producto de Trotter ). La exponencial de la acción es

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

El primer término rota la fase de ψ ( x ) localmente en una cantidad proporcional a la energía potencial. El segundo término es el propagador de partículas libres, que corresponde a i veces un proceso de difusión. En el orden más bajo en ε son aditivos; en cualquier caso se tiene con (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Como ya se mencionó, la dispersión en ψ es difusiva a partir de la propagación de partículas libres, con una rotación infinitesimal adicional en fase que varía lentamente de punto a punto con respecto al potencial:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

Esta es la ecuación de Schrödinger. La normalización de la integral de trayectoria debe fijarse exactamente igual que en el caso de partículas libres. Un potencial continuo arbitrario no afecta la normalización, aunque los potenciales singulares requieren un tratamiento cuidadoso.

Dado que los estados obedecen la ecuación de Schrödinger, la integral de trayectoria debe reproducir las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los promedios de las variables x y ẋ , pero resulta instructivo observar esto directamente. El enfoque directo muestra que los valores esperados calculados a partir de la integral de trayectoria reproducen los valores habituales de la mecánica cuántica.

Comencemos considerando la integral de trayectoria con un estado inicial fijo.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

Ahora bien, x ( t ) en cada instante de tiempo distinto es una variable de integración distinta. Por lo tanto, es legítimo cambiar las variables en la integral mediante un desplazamiento: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ) , donde ε ( t ) es un desplazamiento diferente en cada instante de tiempo, pero ε (0) = ε ( T ) = 0 , ya que los puntos extremos no se integran:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

El cambio en la integral debido al desplazamiento es, al primer orden infinitesimal en ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

lo cual, integrando por partes en t , da como resultado:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

Pero esto fue simplemente un cambio de variables de integración, que no modifica el valor de la integral para cualquier elección de ε ( t ) . La conclusión es que esta variación de primer orden es cero para un estado inicial arbitrario y en cualquier instante de tiempo arbitrario:

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

Esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Si la acción contiene términos que multiplican ẋ y x , en el mismo momento, las manipulaciones anteriores son solo heurísticas, porque las reglas de multiplicación para estas cantidades son igual de no conmutativas en la integral de trayectoria que en el formalismo de operadores.

Si la variación en la acción supera a ħ en varios órdenes de magnitud, generalmente tenemos interferencia destructiva, excepto en las proximidades de aquellas trayectorias que satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange , que ahora se reinterpreta como la condición para la interferencia constructiva. Esto se puede demostrar utilizando el método de fase estacionaria aplicado al propagador. A medida que ħ disminuye, la exponencial en la integral oscila rápidamente en el dominio complejo para cualquier cambio en la acción. Por lo tanto, en el límite cuando ħ tiende a cero, solo los puntos donde la acción clásica no varía contribuyen al propagador.

La formulación de la integral de trayectoria no deja claro a primera vista que las cantidades x y p no conmutan. En la integral de trayectoria, estas son simplemente variables de integración y no tienen un orden obvio. Feynman descubrió que la no conmutatividad sigue presente. ^{[ 15 ]}

Para ver esto, consideremos la integral de trayectoria más simple, el paseo browniano. Esto aún no es mecánica cuántica, por lo que en la integral de trayectoria la acción no se multiplica por i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

La cantidad x ( t ) fluctúa, y la derivada se define como el límite de una diferencia discreta.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

La distancia que recorre un paseo aleatorio es proporcional a √t , de modo que:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

Esto demuestra que el paseo aleatorio no es diferenciable, ya que la razón que define la derivada diverge con probabilidad uno.

La cantidad xẋ es ambigua, con dos posibles significados:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

En cálculo elemental, las dos solo difieren en una cantidad que tiende a 0 cuando ε tiende a 0. Pero en este caso, la diferencia entre las dos no es 0:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

Dejar

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

Entonces f ( t ) es una cantidad estadística que fluctúa rápidamente, cuyo valor promedio es 1, es decir, un "proceso gaussiano" normalizado. Las fluctuaciones de dicha cantidad pueden describirse mediante un lagrangiano estadístico.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

Las ecuaciones de movimiento para f, derivadas de la extremización de la acción S correspondiente a L, simplemente la igualan a 1. En física, dicha cantidad es "igual a 1 como identidad de operador". En matemáticas, "converge débilmente a 1". En cualquier caso, es 1 en cualquier valor esperado, o cuando se promedia en cualquier intervalo, o para todos los fines prácticos.

Definir el orden temporal como el orden del operador:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

Esto se conoce como el lema de Itō en cálculo estocástico y las relaciones de conmutación canónicas (euclidianizadas) en física.

Para una acción estadística general, un argumento similar muestra que

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

y en mecánica cuántica, la unidad imaginaria adicional en la acción convierte esto en la relación de conmutación canónica,

${\displaystyle [x,p]=i}$

Para una partícula en el espacio curvo, el término cinético depende de la posición, y la división temporal mencionada anteriormente no se puede aplicar, lo que constituye una manifestación del conocido problema de ordenación de operadores en la mecánica cuántica de Schrödinger. Sin embargo, este problema se puede resolver transformando la integral de trayectoria en el espacio plano dividida en el tiempo al espacio curvo mediante una transformación de coordenadas multivaluada ( mapeo no holonómico explicado aquí ).

A veces (por ejemplo, una partícula que se mueve en el espacio curvo) también tenemos factores de teoría de la medida en la integral funcional:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

Este factor es necesario para restablecer la unidad.

Por ejemplo, si

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

Entonces significa que cada segmento espacial se multiplica por la medida √ g . Esta medida no puede expresarse como un funcional que multiplica la medida D x porque pertenecen a clases completamente diferentes.

Elementos matriciales del tipo${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$tomar la forma

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

Esto se generaliza a múltiples operadores, por ejemplo

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$,

y al valor esperado general del vacío (en el límite de tiempo grande)

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

Si reemplazamos${\displaystyle t}$por${\displaystyle -it}$, el operador de evolución temporal${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$es reemplazado por${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$. (Este cambio se conoce como rotación de Wick .) Si repetimos la derivación de la fórmula de la integral de trayectoria en este contexto, obtenemos ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$,

dónde${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$es la acción euclidiana, dada por

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

Nótese el cambio de signo entre esta acción y la acción normal, donde el término de energía potencial es negativo. (El término euclidiano proviene del contexto de la teoría cuántica de campos, donde el cambio del tiempo real al imaginario modifica la geometría del espacio-tiempo de lorentziana a euclidiana).

Ahora bien, la contribución de la energía cinética a la integral de trayectoria es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

dónde${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$incluye toda la dependencia restante del integrando en la trayectoria. Esta integral tiene una interpretación matemática rigurosa como integración contra la medida de Wiener , denotada${\displaystyle \mu _{x}}$La medida de Wiener, construida por Norbert Wiener, proporciona una base rigurosa al modelo matemático de Einstein del movimiento browniano . El subíndice${\displaystyle x}$indica que la medida${\displaystyle \mu _{x}}$es compatible con rutas${\displaystyle \mathbf {x} }$con${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$.

Tenemos entonces una versión rigurosa de la integral de trayectoria de Feynman, conocida como la fórmula de Feynman-Kac : ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$,

¿Dónde ahora?${\displaystyle \psi (x,t)}$satisface la versión rotada de Wick de la ecuación de Schrödinger,

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

Aunque la ecuación de Schrödinger rotada por Wick no tiene un significado físico directo, presenta propiedades interesantes del operador de Schrödinger.${\displaystyle {\hat {H}}}$puede extraerse estudiándolo. ^{[ 18 ]}

Gran parte del estudio de las teorías cuánticas de campos desde la perspectiva de la integral de trayectoria, tanto en la literatura matemática como en la física, se realiza en el contexto euclidiano, es decir, después de una rotación de Wick. En particular, existen varios resultados que demuestran que si se puede construir una teoría de campos euclidiana con propiedades adecuadas, se puede deshacer la rotación de Wick para recuperar la teoría física lorentziana. ^{[ 19 ]} Por otro lado, es mucho más difícil dar significado a las integrales de trayectoria (incluso a las integrales de trayectoria euclidianas) en la teoría cuántica de campos que en la mecánica cuántica. ^{[ 20 ]}

La integral de trayectoria es simplemente la generalización de la integral anterior a todos los problemas de mecánica cuántica.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

es la acción del problema clásico en el que se investiga la trayectoria que comienza en el tiempo t = 0 y termina en el tiempo t = t _f , y${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$denota la medida de integración sobre todos los caminos. En el límite clásico,${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$, la trayectoria de acción mínima domina la integral, porque la fase de cualquier trayectoria que se aleje de esta fluctúa rápidamente y las diferentes contribuciones se cancelan. ^{[ 21 ]}

La conexión con la mecánica estadística es la siguiente. Considerando solo trayectorias que comienzan y terminan en la misma configuración, realizamos la rotación de Wick it = ħβ , es decir, hacemos imaginario el tiempo, e integramos sobre todas las posibles configuraciones de inicio y fin. La integral de trayectoria rotada de Wick —descrita en la subsección anterior, con la acción ordinaria reemplazada por su contraparte "euclidiana"— ahora se asemeja a la función de partición de la mecánica estadística definida en un conjunto canónico con temperatura inversa proporcional al tiempo imaginario, 1 / T = i k _B t / ħ . Estrictamente hablando, sin embargo, esta es la función de partición para una teoría de campo estadística .

Claramente, una analogía tan profunda entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística no puede depender de la formulación. En la formulación canónica, se observa que el operador de evolución unitario de un estado viene dado por

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

donde el estado α evoluciona desde el tiempo t = 0. Si se realiza una rotación de Wick aquí y se encuentra la amplitud para ir desde cualquier estado, de vuelta al mismo estado en un tiempo (imaginario) iβ viene dado por

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

que es precisamente la función de partición de la mecánica estadística para el mismo sistema a la temperatura citada anteriormente. Un aspecto de esta equivalencia también era conocido por Erwin Schrödinger, quien comentó que la ecuación que lleva su nombre se parecía a la ecuación de difusión tras la rotación de Wick. Cabe señalar, sin embargo, que la integral de trayectoria euclidiana tiene en realidad la forma de un modelo clásico de mecánica estadística.

En las teorías relativistas, cada teoría cuenta con una representación de partículas y otra de campos. La representación de campos es una suma sobre todas las configuraciones de campo, y la representación de partículas es una suma sobre las diferentes trayectorias de las partículas.

La formulación no relativista se da tradicionalmente en términos de trayectorias de partículas, no de campos. En ella, la integral de trayectoria en las variables usuales, con condiciones de contorno fijas, da la amplitud de probabilidad de que una partícula vaya del punto x al punto y en un tiempo T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

Esto se denomina propagador . Para obtener el estado final en y , aplique K ( x , y ; T ) al estado inicial e integre sobre x, lo que resulta en:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

Para un sistema espacialmente homogéneo, donde K ( x , y ) es solo una función de ( x − y ) , la integral es una convolución , el estado final es el estado inicial convolucionado con el propagador:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

Para una partícula libre de masa m , el propagador puede evaluarse explícitamente a partir de la integral de trayectoria o bien observando que la ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión en tiempo imaginario, y la solución debe ser una gaussiana normalizada:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Al aplicar la transformada de Fourier en ( x − y ) se obtiene otra gaussiana:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

y en el espacio p el factor de proporcionalidad aquí es constante en el tiempo, como se verificará en un momento. La transformada de Fourier en el tiempo, extendiendo K ( p ; T ) a cero para tiempos negativos, da la función de Green, o el propagador en el espacio de frecuencias:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

que es el recíproco del operador que aniquila la función de onda en la ecuación de Schrödinger, lo cual no habría salido bien si el factor de proporcionalidad no fuera constante en la representación del espacio p .

El término infinitesimal en el denominador es un número positivo pequeño, lo que garantiza que la transformada inversa de Fourier en E será distinta de cero solo para tiempos futuros. Para tiempos pasados, el contorno de la transformada inversa de Fourier se cierra hacia valores de E donde no hay singularidad. Esto garantiza que K propaga la partícula hacia el futuro y es la razón del subíndice "F" en G. El término infinitesimal puede interpretarse como una rotación infinitesimal hacia el tiempo imaginario.

También es posible reexpresar la evolución temporal no relativista en términos de propagadores que se dirigen hacia el pasado, ya que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo. El propagador del pasado es el mismo que el propagador del futuro, salvo por la obvia diferencia de que se anula en el futuro, y en la gaussiana t se reemplaza por −t . En este caso, la interpretación es que estas son las cantidades que se deben convolucionar para obtener la función de onda inicial:

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

Dado que el único cambio casi idéntico es el signo de E y ε , el parámetro E en la función de Green puede ser la energía si las trayectorias van hacia el futuro, o el negativo de la energía si las trayectorias van hacia el pasado.

En una teoría no relativista, el tiempo medido a lo largo de la trayectoria de una partícula en movimiento y el tiempo medido por un observador externo coinciden. En la relatividad, esto ya no es cierto. En una teoría relativista, el propagador debe definirse como la suma de todas las trayectorias que viajan entre dos puntos en un tiempo propio fijo, medidas a lo largo de la trayectoria (estas trayectorias describen la trayectoria de una partícula en el espacio y en el tiempo):

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}-\alpha }}\,d\tau }.}$

La integral anterior no es trivial de interpretar debido a la raíz cuadrada. Afortunadamente, existe un truco heurístico. La suma se realiza sobre la longitud de arco relativista de la trayectoria de una magnitud oscilante y, al igual que la integral de trayectoria no relativista, debe interpretarse como ligeramente rotada hacia el tiempo imaginario. La función K ( x − y , τ ) puede evaluarse cuando la suma se realiza sobre trayectorias en el espacio euclidiano:

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

Esto describe la suma, sobre todas las trayectorias de longitud T, de la exponencial de menos la longitud. Esto puede interpretarse como una probabilidad. La suma sobre todas las trayectorias es un promedio de probabilidad sobre una trayectoria construida paso a paso. El número total de pasos es proporcional a T , y cada paso es menos probable cuanto más largo sea. Según el teorema del límite central , el resultado de muchos pasos independientes es una gaussiana con varianza proporcional a T :

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

La definición habitual del propagador relativista solo pide que la amplitud viaje de x a y , después de sumar sobre todos los posibles tiempos propios que podría tomar:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

donde W (T) es un factor de ponderación, la importancia relativa de trayectorias de diferente tiempo propio. Debido a la simetría de traslación en el tiempo propio, esta ponderación solo puede ser un factor exponencial y puede absorberse en la constante α :

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

Esta es la representación de Schwinger . Se puede aplicar una transformada de Fourier a la variable ( x − y ) para cada valor de T por separado, y dado que cada contribución de T es una gaussiana, se obtiene cuya transformada de Fourier es otra gaussiana con ancho recíproco. Por lo tanto, en el espacio p , el propagador se puede reexpresar simplemente:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

que es el propagador euclidiano para una partícula escalar. Al rotar p ₀ para que sea imaginario se obtiene el propagador relativista usual, salvo un factor de − i y una ambigüedad, que se aclarará más adelante:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

Esta expresión puede interpretarse en el límite no relativista, donde resulta conveniente dividirla en fracciones parciales :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

Para estados donde hay una partícula no relativista presente, la función de onda inicial tiene una distribución de frecuencia concentrada cerca de p ₀ = m . Al convolucionar con el propagador, lo que en el espacio p simplemente significa multiplicar por el propagador, el segundo término se suprime y el primer término se realza. Para frecuencias cercanas a p ₀ = m , el primer término dominante tiene la forma

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

Esta es la expresión para la función de Green no relativista de una partícula de Schrödinger libre.

El segundo término también tiene un límite no relativista, pero este límite se concentra en frecuencias negativas. El segundo polo está dominado por contribuciones de trayectorias donde el tiempo propio y el tiempo de coordenadas transcurren en sentido opuesto, lo que significa que el segundo término debe interpretarse como la antipartícula. El análisis no relativista muestra que, con esta forma, la antipartícula aún tiene energía positiva.

La forma correcta de expresar esto matemáticamente es que, al añadir un pequeño factor de supresión en el tiempo propio, el límite donde t → −∞ del primer término debe anularse, mientras que el límite t → +∞ del segundo término también debe anularse. En la transformada de Fourier, esto significa desplazar ligeramente el polo en p ₀ , de modo que la transformada inversa de Fourier capte un pequeño factor de decaimiento en una de las direcciones temporales:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

Sin estos términos, la contribución del polo no podría evaluarse de forma inequívoca al tomar la transformada inversa de Fourier de p ₀ . Los términos pueden recombinarse:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

^{que ,} al factorizarse, produce términos infinitesimales de signo opuesto en cada factor. Esta es la forma matemáticamente precisa del propagador de partículas relativistas, libre de ambigüedades. El término ε introduce una pequeña parte imaginaria en α = m² , que en la versión de Minkowski es una pequeña supresión exponencial de trayectorias largas.

En el caso relativista, la representación del propagador mediante la integral de trayectoria de Feynman incluye trayectorias que retroceden en el tiempo y que describen antipartículas. Las trayectorias que contribuyen al propagador relativista se mueven hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, y la interpretación de esto es que la amplitud para que una partícula libre viaje entre dos puntos incluye amplitudes para que la partícula fluctúe en una antipartícula, retroceda en el tiempo y luego avance de nuevo.

A diferencia del caso no relativista, es imposible formular una teoría relativista de la propagación local de partículas sin incluir antipartículas. Todos los operadores diferenciales locales tienen inversos distintos de cero fuera del cono de luz, lo que implica que es imposible impedir que una partícula viaje más rápido que la luz. En una teoría relativista invariante, una partícula de este tipo no puede tener una función de Green que sea distinta de cero únicamente en el futuro.

Sin embargo, la formulación de la integral de trayectoria también es extremadamente importante en su aplicación directa a la teoría cuántica de campos, en la que las "trayectorias" o historias consideradas no son los movimientos de una sola partícula, sino las posibles evoluciones temporales de un campo en todo el espacio. La acción se denomina técnicamente funcional del campo: S [ ϕ ] , donde el campo ϕ ( x, ^μ ) es en sí mismo una función del espacio y el tiempo, y los corchetes recuerdan que la acción depende de todos los valores del campo en todas partes, no solo de un valor particular. Una función dada ϕ ( x, ^μ ) del espacio-tiempo se denomina configuración de campo . En principio, se integra la amplitud de Feynman sobre la clase de todas las posibles configuraciones de campo.

Gran parte del estudio formal de la teoría cuántica de campos se dedica a las propiedades de la integral funcional resultante, y se ha hecho un gran esfuerzo (aún no del todo exitoso) para lograr que estas integrales funcionales sean matemáticamente precisas.

Dicha integral funcional es extremadamente similar a la función de partición en mecánica estadística . De hecho, a veces se la denomina función de partición , y ambas son prácticamente idénticas desde el punto de vista matemático, salvo por el factor i en el exponente del postulado 3 de Feynman. Al continuar analíticamente la integral hasta una variable de tiempo imaginaria (denominada rotación de Wick ), la integral funcional se asemeja aún más a una función de partición estadística y, además, se simplifican algunas de las dificultades matemáticas asociadas al trabajo con estas integrales.

En la teoría cuántica de campos , si la acción está dada por el funcional S de configuraciones de campo (que solo depende localmente de los campos), entonces el valor esperado del vacío ordenado en el tiempo del funcional F acotado polinomialmente , ⟨ F ⟩ , está dado por

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

El símbolo ∫ D ϕ representa aquí de forma concisa la integral de dimensión infinita sobre todas las posibles configuraciones de campo en todo el espacio-tiempo. Como se indicó anteriormente, la integral de trayectoria sin adornos en el denominador garantiza una normalización adecuada.

Estrictamente hablando, la única pregunta que se puede plantear en física es: ¿Qué fracción de estados que satisfacen la condición A también satisfacen la condición B ? La respuesta a esto es un número entre 0 y 1, que puede interpretarse como una probabilidad condicional , escrita como P( B | A ) . En términos de integración de trayectorias, dado que P( B | A ) = ⁠ P( A ∩ B ) / P( A ) ⁠   , esto significa

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

donde el funcional O _en [ ϕ ] es la superposición de todos los estados entrantes que podrían conducir a los estados que nos interesan. En particular, este podría ser un estado correspondiente al estado del Universo justo después del Big Bang , aunque para el cálculo real esto se puede simplificar utilizando métodos heurísticos. Dado que esta expresión es un cociente de integrales de trayectoria, se normaliza de forma natural.

Dado que esta formulación de la mecánica cuántica es análoga al principio de acción clásico, cabría esperar que las identidades relativas a la acción en la mecánica clásica tuvieran contrapartes cuánticas derivables de una integral funcional. Esto suele ser así.

En el lenguaje del análisis funcional, podemos escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange como

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(El lado izquierdo es una derivada funcional ; la ecuación significa que la acción es estacionaria ante pequeños cambios en la configuración del campo). Los análogos cuánticos de estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Schwinger-Dyson .

Si la medida funcional D ϕ resulta ser invariante traslacionalmente (supondremos esto para el resto de este artículo, aunque esto no se cumple para, digamos, modelos sigma no lineales ), y si suponemos que después de una rotación de Wick

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

que ahora se convierte en

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

Para algún H , tiende a cero más rápido que el recíproco de cualquier polinomio para valores grandes de φ , entonces podemos integrar por partes (después de una rotación de Wick, seguida de una rotación de Wick hacia atrás) para obtener las siguientes ecuaciones de Schwinger-Dyson para la esperanza:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

para cualquier funcional F acotado polinomialmente . En la notación de DeWitt esto se ve como ^{[ 22 ].}

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

Estas ecuaciones son el análogo de las ecuaciones EL en la capa de masas . El orden temporal se toma antes de las derivadas temporales dentro de S _{, i} .

Si J (llamado campo fuente ) es un elemento del espacio dual de las configuraciones de campo (que tiene al menos una estructura afín debido a la suposición de invariancia traslacional para la medida funcional), entonces el funcional generador Z de los campos fuente se define como

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

o

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

dónde

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

Básicamente, si D φ e ^{i S [ φ ]} se considera una distribución funcional (esto no debe tomarse demasiado literalmente como una interpretación de la QFT , a diferencia de su análogo de mecánica estadística rotada de Wick , ¡porque aquí tenemos complicaciones de ordenación temporal !), entonces ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n ) ⟩ son sus momentos , y Z es su transformada de Fourier .

Si F es un funcional de φ , entonces para un operador K , F [ K ] se define como el operador que sustituye K por φ . Por ejemplo, si

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

y G es un funcional de J , entonces

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Luego, a partir de las propiedades de las integrales funcionales

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

obtenemos la ecuación "maestra" de Schwinger-Dyson:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

o

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

Si la medida funcional no es invariante traslacionalmente, podría expresarse como el producto M [ φ ] Dφ , donde M es una función y Dφ es una medida invariante traslacionalmente. Esto es cierto, por ejemplo, para modelos sigma no lineales donde el espacio objetivo es difeomorfo a Rⁿ ^. Sin embargo, si la variedad objetivo es un espacio topológicamente no trivial, el concepto de traslación ni siquiera tiene sentido.

En ese caso, tendríamos que reemplazar la S en esta ecuación por otra función.

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

Si desarrollamos esta ecuación como una serie de Taylor alrededor de J = 0, obtenemos el conjunto completo de ecuaciones de Schwinger-Dyson.

Ahora bien, ¿qué ocurre con el teorema de Noether en la capa de masas para el caso clásico? ¿Tiene también un análogo cuántico? Sí, pero con una salvedad. La medida funcional tendría que ser invariante también bajo el grupo de un parámetro de transformación de simetría.

Supongamos, por simplicidad, que la simetría en cuestión es local (no local en el sentido de una simetría de gauge , sino en el sentido de que el valor transformado del campo en cualquier punto dado bajo una transformación infinitesimal solo dependería de la configuración del campo sobre un entorno arbitrariamente pequeño del punto en cuestión). Supongamos también que la acción es local en el sentido de que es la integral sobre el espaciotiempo de un lagrangiano , y que

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

para alguna función f donde f solo depende localmente de φ (y posiblemente de la posición espaciotemporal).

Si no asumimos ninguna condición de contorno especial, esto no sería una simetría "verdadera" en el verdadero sentido del término en general, a menos que f = 0 o algo así. Aquí, Q es una derivación que genera el grupo de un parámetro en cuestión. También podríamos tener antiderivaciones , como BRST y supersimetría .

Supongamos también que...

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

para cualquier funcional F acotado polinómicamente . Esta propiedad se denomina invariancia de la medida, y no se cumple en general. (Véase anomalía (física) para más detalles).

Entonces,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$

lo cual implica

${\displaystyle \langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }\,ds_{\mu }\right\rangle =0}$

donde la integral se realiza sobre el límite. Este es el análogo cuántico del teorema de Noether.

Ahora, supongamos además que Q es una integral local.

${\displaystyle Q=\int d^{d}x\,q(x)}$