Suma

En matemáticas , la sumatoria es la adición de una secuencia de números , llamados sumandos o sumandos ; el resultado es su suma o total . Además de números, también se pueden sumar otros tipos de valores: funciones , vectores , matrices , polinomios y, en general, elementos de cualquier tipo de objeto matemático sobre el que se defina una operación denotada con el signo "+".

Las sumas de secuencias infinitas se denominan series . Estas series implican el concepto de límite y no se tratan en este artículo.

La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de sumas. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota como 1 + 2 + 4 + 2 y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Dado que la suma es asociativa y conmutativa , no se necesitan paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. La suma de una secuencia de un solo sumando da como resultado el sumando mismo. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.

Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, mediante un patrón regular, en función de su posición en la secuencia. Para patrones simples, la suma de secuencias largas se puede representar reemplazando la mayoría de los sumandos por puntos suspensivos. Por ejemplo, la suma de los primeros 100 números naturales se puede escribir como 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. De lo contrario, la suma se denota utilizando la notación Σ , donde es una letra griega mayúscula sigma ampliada . Por ejemplo, la suma de los primeros n números naturales se puede denotar como ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Para sumas largas y sumas de longitud variable (definidas con puntos suspensivos o notación Σ), es un problema común encontrar expresiones de forma cerrada para el resultado. Por ejemplo, ^{[ a ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Aunque no siempre existen fórmulas de este tipo, se han descubierto muchas fórmulas de sumatoria, algunas de las más comunes y elementales se enumeran en el resto de este artículo.

La notación matemática utiliza un símbolo que representa de forma compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de sumatoria , , una forma ampliada de la letra griega mayúscula sigma . ^{[ 1 ]} Esto se define como donde i es el "índice de sumatoria" o "variable ficticia", ^{[ 2 ]} a _i es una variable indexada que representa cada término de la suma; m es el "límite inferior de la sumatoria", y n es el "límite superior de la sumatoria". El " i = m " debajo del símbolo de sumatoria significa que el índice i comienza siendo igual a m . El índice, i , se incrementa en uno para cada término sucesivo, deteniéndose cuando i = n . ^{[ b ]} Esto se lee como "suma de a _i , desde i = m hasta n ". Sin embargo, algunas notaciones pueden incluir el índice en el límite superior de la sumatoria, u omitir el índice en el límite inferior como en o , respectivamente. ^{[ 3 ]} Hay variantes de notación sigma donde se omite el rango de límites, que denota solo la variable ficticia, como . ^{[ 4 ]} Aquí hay un ejemplo que muestra la suma de cuadrados: En general, si bien cualquier variable puede usarse como índice de suma (siempre que no se produzca ambigüedad), algunas de las más comunes incluyen letras como , ^{[ c ]} , , y ; esta última también se usa a menudo para el límite superior de una suma. ^{[ 5 ]} Alternativamente, el índice y los límites de la suma a veces se omiten de la definición de suma si el contexto es suficientemente claro. Esto se aplica particularmente cuando el índice va de 1 a n . Por ejemplo, se podría escribir que . ^{[ 6 ]}${\textstyle \sum }$$${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$${\textstyle \sum _{m}^{n}a_{i}}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$$${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

A menudo se utilizan generalizaciones de esta notación, en las que se proporciona una condición lógica arbitraria y se pretende que la suma se tome sobre todos los valores que satisfacen la condición. Por ejemplo, es una notación alternativa para la suma de sobre todos los ( enteros ) en el rango especificado. ^{[ 5 ]} De manera similar, es la suma de sobre todos los elementos en el conjunto , ^{[ 7 ] [ 8 ]} y es la suma de sobre todos los enteros positivos que dividen a . ^{[ d ]}${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$${\textstyle \sum _ {k=0}^{99}f(k),}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\textstyle \sum _ {d\,|\,n}\;\mu (d)}$${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

También existen formas de generalizar el uso de muchas notaciones sigma. Por ejemplo, se escribe la suma doble como dos notaciones sigma con diferentes variables ficticias . Considerando que el rango de ambas notaciones sigma es el mismo, las notaciones sigma dobles se pueden encapsular en una sola notación, por lo que la suma doble se reescribe como . ^{[ 9 ]}${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$

El términoA veces se utiliza la serie finita al hablar de la suma presentada anteriormente. A diferencia de laserie infinita, el límite superior tiende ainfinito , lo que resulta en convergencia si existe un resultado de la suma, o divergencia en caso contrario. El límite en la notación sigma de la serie infinita puede denotarse alternativamente como. ^{[ 9 ]}${\textstyle \sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$${\textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}}$

De manera similar, se utiliza una notación parecida para el producto de una secuencia , donde se usa , una forma ampliada de la letra griega mayúscula pi , en lugar de . ^{[ 10 ]}${\textstyle \prod }$${\textstyle \sum }$

Es posible sumar menos de 2 números:

• Si la suma tiene un sumando , entonces la suma evaluada es .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• Si la suma no tiene sumandos, entonces la suma evaluada es cero , porque cero es el elemento neutro de la suma. Esto se conoce como suma vacía .

Estos casos degenerados generalmente solo se utilizan cuando la notación de sumatoria produce un resultado degenerado en un caso especial. Por ejemplo, si en la definición anterior, entonces solo hay un término en la suma; si , entonces no hay ninguno. ${\displaystyle n=m}$${\displaystyle n=m-1}$

La expresión «suma algebraica» se refiere a la suma de términos que pueden tener signos positivos o negativos. Los términos con signo positivo se suman, mientras que los términos con signo negativo se restan.

El origen de la notación de sumatoria se remonta a 1675, cuando Gottfried Wilhelm Leibniz , en una carta a Henry Oldenburg , sugirió el símbolo para marcar la suma de diferenciales ( en latín : calculus summatorius ), de ahí la forma de S. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} El cambio de nombre de este símbolo a integral surgió más tarde en intercambios con Johann Bernoulli . ^{[ 13 ]} En 1755, el símbolo de sumatoria Σ se atestigua en Institutiones calculi differentialis de Leonhard Euler . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Euler utiliza el símbolo en expresiones como . El uso de la notación sigma fue atestiguado posteriormente por matemáticos como Lagrange , quien denotó y en 1772. ^{[ 14 ] [ 16 ]} Fourier y CGJ Jacobi también denotaron la notación sigma en 1829, ^{[ 14 ]} pero Fourier incluyó límites inferiores y superiores como en . ^{[ 17 ] [ 18 ]} Además de la notación sigma, la letra mayúscula S está atestiguada como símbolo de sumatoria para series en 1823, que aparentemente estaba muy extendida. ^{[ 14 ]}${\textstyle \int }$${\estilo de texto \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$${\textstyle \sum }$${\textstyle \sum ^{n}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

La sumatoria puede definirse recursivamente como un operador que toma como entrada una función y dos números naturales, de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum :(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\times \mathbb {N} \times \mathbb {N} )\mapsto \mathbb {R} }$, de tal manera que:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, para ;${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, para .${\displaystyle b\geqslant a}$

En la notación de la teoría de la medida y la integración , una suma puede expresarse como una integral definida ,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

donde es el subconjunto de los enteros desde hasta , y donde es la medida de conteo sobre los enteros. ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mu }$

Dada una función f definida sobre los números enteros en el intervalo [ m , n ] , se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Esto se conoce como una serie telescópica y es el análogo del teorema fundamental del cálculo en el cálculo de diferencias finitas , que establece que:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

dónde

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

es la derivada de f .

Un ejemplo de aplicación de la ecuación anterior es el siguiente:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Utilizando el teorema del binomio , esto se puede reescribir como:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

La fórmula anterior se utiliza más comúnmente para invertir el operador de diferencia , definido por: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

donde f es una función definida en los enteros no negativos. Por lo tanto, dada dicha función f , el problema consiste en calcular la antidiferencia de f , una función tal que . Es decir, Esta función está definida salvo la adición de una constante, y puede elegirse como ^{[ 19 ]}${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$${\displaystyle \Delta F=f}$${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

No siempre existe una expresión de forma cerrada para dicha suma, pero la fórmula de Faulhaber proporciona una forma cerrada en el caso en que y, por linealidad , para toda función polinómica de n . ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

Muchas de estas aproximaciones se pueden obtener mediante la siguiente relación entre sumas e integrales , que se cumple para cualquier función creciente f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

y para cualquier función f decreciente :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Para aproximaciones más generales, consulte la fórmula de Euler-Maclaurin .

Para sumas en las que el sumando viene dado (o puede interpolarse) por una función integrable del índice, la suma puede interpretarse como una suma de Riemann que aparece en la definición de la integral definida correspondiente. Por lo tanto, cabe esperar que, por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

ya que el lado derecho es, por definición, el límite del lado izquierdo. Sin embargo, para una suma dada n es fijo, y poco se puede decir sobre el error en la aproximación anterior sin suposiciones adicionales sobre f : es evidente que para funciones que oscilan de forma descontrolada, la suma de Riemann puede estar arbitrariamente lejos de la integral de Riemann. ${\displaystyle n\to \infty }$

Las fórmulas que aparecen a continuación implican sumas finitas; para sumas infinitas o sumas finitas de expresiones que involucran funciones trigonométricas u otras funciones trascendentales , consulte la lista de series matemáticas .

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( distributividad ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( conmutatividad y asociatividad ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(desplazamiento de índice)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$para una biyección σ de un conjunto finito A sobre un conjunto B (cambio de índice); esto generaliza la fórmula anterior.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(Dividir una suma, utilizando la asociatividad )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(una variante de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(la suma desde el primer término hasta el último es igual a la suma desde el último hasta el primero)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(un caso particular de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(conmutatividad y asociatividad, de nuevo)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(otra aplicación de la conmutatividad y la asociatividad)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares , para índices pares)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares, para índices impares)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$(El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores).

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$(La exponencial de una suma es el producto de las exponenciales de los sumandos)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$para cualquier función de .${\textstyle f}$${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$para cada c que no depende de i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Suma de la progresión aritmética más simple , que consta de los primeros n números naturales.) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(Suma de los primeros números naturales impares)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(Suma de los primeros números naturales pares)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$(La suma de logaritmos es el logaritmo del producto)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Suma de los primeros cuadrados , véase número piramidal cuadrado .) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( Teorema de Nicómaco ) ^{[ 19 ] : 52}

De manera más general, se tiene la fórmula de Faulhaber para${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

donde denota un número de Bernoulli y es un coeficiente binomial . ${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

En las siguientes sumas, se supone que a es diferente de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(suma de una progresión geométrica )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(caso especial para a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( a veces la derivada con respecto a a de la progresión geométrica)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(suma de una sucesión aritmético-geométrica )

Existen muchísimas identidades de sumatoria que involucran coeficientes binomiales (un capítulo entero de Matemáticas Concretas está dedicado solo a las técnicas básicas). Algunas de las más básicas son las siguientes.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$el teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$el caso especial donde a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, el caso especial donde p = a = 1 − b , que, para expresa la suma de la distribución binomial${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$el valor en a = b = 1 de la derivada con respecto a a del teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$ the value at a = b = 1 of the antiderivative with respect to a of the binomial theorem

In the following summations, ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$ is the number of k-permutations of n.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, where and ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ denotes the floor function.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$ (the nth harmonic number)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$ (a generalized harmonic number)

The following are useful approximations (using theta notation):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$ for real c greater than −1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$ (See Harmonic number)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$ for real c greater than 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$ for non-negative real c

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$ for non-negative real c, d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$ for non-negative real b > 1, c, d

• Capital-pi notation
• Einstein notation
• Iverson bracket
• Iterated binary operation
• Kahan summation algorithm
• Product (mathematics)
• Summation by parts
• Sigma § Unicode

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

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