superálgebra de Lie

En matemáticas , una superálgebra de Lie es una generalización de un álgebra de Lie para incluir una${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$- graduación . Las superálgebras de Lie son importantes en la física teórica, donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría .

La noción de${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$La calificación utilizada aquí es distinta de una segunda${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$graduación con orígenes cohomológicos. Un álgebra de Lie graduada (por ejemplo, graduada por${\displaystyle \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \mathbb {N} }$) que es anticonmutativo y tiene una identidad de Jacobi graduada también tiene una${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$graduación; esto es la "agrupación" del álgebra en partes pares e impares. Esta agrupación no se suele denominar "super". Por lo tanto, las superálgebras de Lie supergraduadas llevan un par de${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$- Gradaciones: una de ellas supersimétrica y la otra clásica. Pierre Deligne llama a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles, y a menudo existe desacuerdo sobre cómo deben considerarse. ^{[ 1 ]}

_{Formalmente, una superálgebra de} Lie es un álgebra graduada Z2 no asociativa , o superálgebra , sobre un anillo conmutativo (típicamente R o C ) cuyo producto [·, ·], llamado supercorchete de Lie o superconmutador , satisface las dos condiciones (análogos de los axiomas usuales del álgebra de Lie , con graduación): 

Súper asimetría:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

La identidad super jacobiana: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

donde x , y y z son puros en la _graduación Z2 . Aquí, | x | denota el grado de x (0 o 1). El grado de [x,y] es la suma de los grados de x e y módulo 2.

También se añaden a veces los axiomas${\displaystyle [x,x]=0}$para | x |  =  0 (si 2 es invertible, esto se deduce automáticamente) y${\displaystyle [[x,x],x]=0}$para | x |  =  1 (si 3 es invertible, esto se deduce automáticamente). Cuando el anillo base son los enteros o la superálgebra de Lie es un módulo libre, estas condiciones son equivalentes a la condición de que se cumpla el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (y, en general, son condiciones necesarias para que se cumpla el teorema).

Al igual que ocurre con las álgebras de Lie, al álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf .

Las superálgebras de Lie aparecen en física de varias maneras diferentes. En la supersimetría convencional , los elementos pares de la superálgebra corresponden a bosones y los elementos impares a fermiones . Esto corresponde a un corchete que tiene una graduación de cero:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

Esto no siempre es así; por ejemplo, en la supersimetría BRST y en el formalismo de Batalin-Vilkovisky , es al revés, lo que corresponde al corchete de tener una graduación de -1:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

Esta distinción cobra especial relevancia cuando un álgebra posee no uno, sino dos productos asociativos graduados . Además del corchete de Lie, puede existir un producto «ordinario», dando lugar así a la superálgebra de Poisson y al álgebra de Gerstenhaber . Dichas graduaciones también se observan en la teoría de la deformación .

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$sea ​​una superálgebra de Lie. Al examinar la identidad de Jacobi, se observa que hay ocho casos dependiendo de si los argumentos son pares o impares. Estos se dividen en cuatro clases, indexadas por el número de elementos impares: ^{[ 3 ]}

1. No hay elementos extraños. La afirmación es simplemente eso.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$es un álgebra de Lie ordinaria.
2. Un elemento extraño. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-módulo para la acción${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$.
3. Dos elementos extraños. La identidad de Jacobi dice que el corchete${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$es simétrico${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-mapa.
4. Tres elementos extraños. Para todos${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$,${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$.

Por lo tanto, la subálgebra par${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$de una superálgebra de Lie forma un álgebra de Lie (normal) a medida que desaparecen todos los signos y el supercorchete se convierte en un corchete de Lie normal, mientras que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$es una representación lineal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$y existe una simetría${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$- mapa lineal equivariante${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$de tal manera que,

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Las condiciones (1) – (3) son lineales y pueden entenderse todas en términos de álgebras de Lie ordinarias. La condición (4) es no lineal y es la más difícil de verificar al construir una superálgebra de Lie a partir de un álgebra de Lie ordinaria (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$) y una representación (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$).

A${\displaystyle *}$La superálgebra de Lie es una superálgebra de Lie compleja equipada con una aplicación antilineal involutiva de sí misma a sí misma que respeta la graduación Z _{2 y satisface [} x , y ] ^* = [ y ^* , x ^* ] para todo x e y en la superálgebra de Lie. (Algunos autores prefieren la convención [ x , y ] ^* = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^* ]; cambiar * por −* cambia entre las dos convenciones). Su álgebra envolvente universal sería un ^* -álgebra ordinaria .    

Dada cualquier superálgebra asociativa${\displaystyle A}$Se puede definir el superconmutador en elementos homogéneos mediante

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

y luego extendiéndose linealmente a todos los elementos. El álgebra${\displaystyle A}$junto con el superconmutador se convierte entonces en una superálgebra de Lie. El ejemplo más simple de este procedimiento es quizás cuando${\displaystyle A}$es el espacio de todas las funciones lineales${\displaystyle \mathbf {Fin} (V)}$de un espacio supervectorial${\displaystyle V}$a sí mismo. Cuando${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$, este espacio se denota por${\displaystyle M^{p|q}}$o${\displaystyle M(p|q)}$. ^{[ 4 ]} Con el corchete de Lie como se indicó anteriormente, el espacio se denota${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$. ^{[ 5 ]}

Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie. Si al álgebra se le aplica una graduación Z² , de modo que el corchete de Lie se convierte en un supercorchete de Lie, se obtiene la _{superálgebra} de Poisson . Si, además, el producto asociativo se convierte en superconmutativo , se obtiene una superálgebra de Poisson superconmutativa.

El producto de Whitehead sobre grupos de homotopía proporciona muchos ejemplos de superálgebras de Lie sobre los números enteros.

El álgebra super-Poincaré genera las isometrías del superespacio plano .

Las superálgebras de Lie simples, complejas y de dimensión finita fueron clasificadas por Victor Kac .

Son (excluyendo las álgebras de Lie): ^{[ 6 ]}

La superálgebra de Lie lineal especial${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$.

La superálgebra de mentira${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$es la subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$que consiste en matrices con supertraza cero. Es simple cuando${\displaystyle m\not =n}$. Si${\displaystyle m=n}$, entonces la matriz identidad${\displaystyle I_{2m}}$genera un ideal. Al calcular este ideal se obtiene ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$lo cual es sencillo para${\displaystyle m\geq 2}$.

La superálgebra de Lie ortosimpléctica${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$.

Consideremos una forma bilineal par, no degenerada y supersimétrica.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$en${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$. Entonces, la superálgebra de Lie ortosimpléctica es la subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$que consisten en matrices que dejan esta forma invariante:$${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$Su parte par viene dada por${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$.

La excepcional superálgebra de Lie${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$.

Existe una familia de superálgebras de Lie de dimensión (9∣8) que dependen de un parámetro.${\displaystyle \alpha }$Estas son deformaciones de${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$. Si${\displaystyle \alpha \not =0}$y${\displaystyle \alpha \not =-1}$, entonces D(2,1,α) es simple. Además${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$si${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$están bajo la misma órbita según los mapas${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$y${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$.

La excepcional superálgebra de Lie${\displaystyle F(4)}$.

Tiene dimensión (24|16). Su parte par está dada por${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$.

La excepcional superálgebra de Lie${\displaystyle G(3)}$.

Tiene dimensión (17|14). Su parte par está dada por${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$.

También hay dos supuestas series extrañas llamadas${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$y${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$.

Los tipos Cartan . Se pueden dividir en cuatro familias:${\displaystyle W(n)}$,${\displaystyle S(n)}$,${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$y${\displaystyle H(n)}$Para el tipo Cartan de superálgebras de Lie simples, la parte impar ya no es completamente reducible bajo la acción de la parte par.

La clasificación consta de las 10 series W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n) , K (2 m + 1, n ), HO(m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO(m, m + 1; β) ( m ≥ 2), SHO  ~  (2 m , 2 m ), SKO  ~  (2 m + 1, 2 m + 3) y las cinco álgebras excepcionales:

mi(1, 6) , mi(5, 10) , mi(4, 4) , mi(3, 6) , mi(3, 8)

Las dos últimas son particularmente interesantes (según Kac) porque tienen el grupo de gauge del modelo estándar SU (3)× S U(2)× U (1) como su álgebra de nivel cero. Las superálgebras de Lie (afines) de dimensión infinita son simetrías importantes en la teoría de supercuerdas . Específicamente, las álgebras de Virasoro con${\displaystyle {\mathcal {N}}}$Las supersimetrías son${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$que solo tienen extensiones centrales hasta${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$. ^{[ 7 ]}

En teoría de categorías , una superálgebra de Lie se puede definir como una superálgebra no asociativa cuyo producto satisface

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

donde σ es el trenzado de permutación cíclica${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$. En forma diagramática:

• Álgebra de Gerstenhaber
• Álgebra de Lie aniónica
• álgebra de Grassmann
• Representación de una superálgebra de Lie
• Superespacio
• Supergrupo
• Álgebra envolvente universal

• Cheng, S.-J.; Wang, W. (2012). Dualidades y representaciones de superálgebras de Lie . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 144. 302  págs . ISBN  978-0-8218-9118-6.
• Freund, PGO (1983). Introducción a la supersimetría . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511564017 . ISBN 978-0521-356-756.
• Grozman, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. (2005). "Lie Superalgebras of String Theories". Acta Mathematica Vietnamica . 26 (2005): 27– 63. arXiv : hep-th/9702120 . Bibcode : 1997hep.th....2120G .
• Kac, VG (1977). "Superálgebras de Lie" . Advances in Mathematics . 26 (1): 8– 96. doi : 10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
• Kac, VG (2010). «Clasificación de grupos simples de supersimetrías de dimensión infinita y teoría cuántica de campos». Visions in Mathematics . pp. 162–183 . arXiv : math/9912235 . doi : 10.1007/978-3-0346-0422-2_6 . ISBN  978-3-0346-0421-5. S2CID 15597378 . 
• Manin, YI (1997). Teoría de campos de gauge y geometría compleja (2.ª  ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, IM (2012). Superálgebras de Lie y álgebras envolventes . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  131.  488 págs. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol.  11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.

• El material de Irving Kaplansky sobre superálgebras de Lie