Superálgebra

En matemáticas y física teórica , una superálgebra es una${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$- álgebra graduada . ^{[ 1 ]} Es decir, es un álgebra sobre un anillo o cuerpo conmutativo con una descomposición en partes "pares" e "impares" y un operador de multiplicación que respeta la graduación.

El prefijo super- proviene de la teoría de la supersimetría en física teórica. Las superálgebras y sus representaciones , los supermódulos , proporcionan un marco algebraico para formular la supersimetría. El estudio de estos objetos se denomina a veces superálgebra lineal . Las superálgebras también desempeñan un papel importante en el campo relacionado de la supergeometría, donde intervienen en las definiciones de variedades graduadas , supervariedades y superesquemas .

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​un anillo conmutativo . En la mayoría de las aplicaciones,${\displaystyle K}$es un campo de característica 0, como por ejemplo${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Una superálgebra sobre${\displaystyle K}$es un${\displaystyle K}$-módulo${\displaystyle A}$con una descomposición de suma directa

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

junto con una multiplicación bilineal${\displaystyle A\times A\to A}$de tal manera que

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteteq A_{i+j}}$

donde los subíndices se leen módulo 2, es decir, se consideran como elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$.

Un superanillo , o${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$- Anillo graduado , es una superálgebra sobre el anillo de los números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Los elementos de cada uno de los${\displaystyle A_{i}}$Se dice que son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo${\displaystyle x}$, denotado por${\displaystyle |x|}$, es 0 o 1 según si está en${\displaystyle A_{0}}$o${\displaystyle A_{1}}$. Se dice que los elementos de paridad 0 son pares y los de paridad 1 son impares . Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Si ambos son homogéneos, entonces también lo es el producto.${\displaystyle xy}$y${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$.

Una superálgebra asociativa es aquella cuya multiplicación es asociativa , y una superálgebra unitaria es aquella cuyo elemento neutro es multiplicativo . El elemento neutro en una superálgebra unitaria es necesariamente par. Salvo que se especifique lo contrario, se asume que todas las superálgebras en este artículo son asociativas y unitarias.

Una superálgebra conmutativa (o álgebra superconmutativa) es aquella que satisface una versión graduada de la conmutatividad . Específicamente,${\displaystyle A}$es conmutativa si

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

para todos los elementos homogéneos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de${\displaystyle A}$Existen superálgebras que son conmutativas en el sentido ordinario, pero no en el sentido de superálgebra. Por esta razón, las superálgebras conmutativas a menudo se denominan superconmutativas para evitar confusiones. ^{[ 2 ]}

Cuando el${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$La calificación surge como un "acumulado" de una${\displaystyle \mathbb {Z} }$- o${\displaystyle \mathbb {N} }$- Álgebra graduada en componentes pares e impares, entonces se pueden encontrar en la literatura dos convenciones de signos distintas (pero esencialmente equivalentes). ^{[ 3 ]} Estas pueden llamarse la "convención de signos cohomológica" y la "superconvención de signos". Se diferencian en cómo se comporta el antípoda (intercambio de dos elementos). En el primer caso, se tiene un mapa de intercambio

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

dónde${\displaystyle m=\deg x}$es el grado (${\displaystyle \mathbb {Z} }$- o${\displaystyle \mathbb {N} }$-calificación) de${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$la paridad. Asimismo,${\displaystyle n=\deg y}$es el grado de${\displaystyle y}$y con paridad${\displaystyle q.}$Esta convención se observa comúnmente en entornos matemáticos convencionales, como la geometría diferencial y la topología diferencial. La otra convención es tomar

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

con las paridades dadas como${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$y${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$la paridad. Esto se ve con mayor frecuencia en textos de física y requiere el uso juicioso de un functor de paridad para rastrear isomorfismos. Pierre Deligne proporciona argumentos detallados . ^{[ 3 ]}

• Cualquier álgebra sobre un anillo conmutativo${\displaystyle L}$puede considerarse como una superálgebra puramente par sobre${\displaystyle K}$; es decir, tomando${\displaystyle A_{1}}$ser el álgebra trivial (el álgebra con un elemento).
• Cualquier${\displaystyle \mathbb {Z} }$- o${\displaystyle \mathbb {N} }$- El álgebra graduada puede considerarse como superálgebra leyendo la graduación módulo 2. Esto incluye ejemplos como álgebras tensoriales y anillos de polinomios sobre${\displaystyle K}$.
• En particular, cualquier álgebra exterior sobre${\displaystyle K}$es una superálgebra. El álgebra exterior es el ejemplo estándar de un álgebra superconmutativa .
• Los polinomios simétricos y los polinomios alternados juntos forman una superálgebra, siendo las partes pares e impares, respectivamente. Nótese que esto no se obtiene mediante el "rollup" de los${\displaystyle \mathbb {N} }$-álgebra graduada de polinomios, donde la graduación se realiza por grados.
• Las álgebras de Clifford son superálgebras. Las álgebras de Clifford para espacios ortogonales de baja dimensión, como el álgebra geométrica proyectiva, ofrecen una intuición visual sobre las superálgebras: los elementos impares corresponden a isometrías del espacio que invierten la quiralidad, como las reflexiones de rotores; los elementos pares corresponden a isometrías que preservan la quiralidad, como las rotaciones y los movimientos helicoidales.
• El conjunto de todos los endomorfismos (denotado${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$donde la negrita${\displaystyle \mathrm {Hom} }$se denomina interno${\displaystyle \mathrm {Hom} }$, compuesto por todas las aplicaciones lineales) de un superespacio vectorial forma una superálgebra bajo composición.
• El conjunto de todas las supermatrices cuadradas con entradas en${\displaystyle K}$forma una superálgebra denotada por${\displaystyle M_{p|q}(K)}$. Esta álgebra puede identificarse con el álgebra de endomorfismos de un supermódulo libre sobre${\displaystyle K}$de rango${\displaystyle p|q}$y es el Home interno de arriba para este espacio.
• Las superálgebras de Lie son un análogo graduado de las álgebras de Lie . Las superálgebras de Lie no son unitarias ni asociativas; sin embargo, se puede construir el análogo de un álgebra envolvente universal de una superálgebra de Lie, que sí es una superálgebra unitaria y asociativa.

La definición de superálgebras se puede generalizar fácilmente para incluir superálgebras sobre un superanillo conmutativo. La definición anterior constituye entonces una especialización al caso en que el anillo base es puramente par.

Dejar${\displaystyle R}$Sea un superanillo conmutativo. Una superálgebra sobre${\displaystyle R}$es un${\displaystyle R}$-supermódulo${\displaystyle A}$con un${\displaystyle R}$-multiplicación bilineal${\displaystyle A\times A\to A}$que respeta la gradación. La bilinealidad aquí significa que

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

para todos los elementos homogéneos${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle x,y\in A}$.

De forma equivalente, se puede definir una superálgebra sobre${\displaystyle R}$como un superanillo${\displaystyle A}$junto con un homomorfismo de superanillo${\displaystyle R\to A}$cuya imagen se encuentra en el supercentro de${\displaystyle A}$.

También se pueden definir las superálgebras categóricamente . La categoría de todas${\displaystyle R}$-supermódulos forma una categoría monoidal bajo el producto super tensorial con${\displaystyle R}$sirviendo como objeto unitario. Una superálgebra asociativa y unitaria sobre${\displaystyle R}$entonces se puede definir como un monoide en la categoría de${\displaystyle R}$-supermódulos. Es decir, una superálgebra es un${\displaystyle R}$-supermódulo${\displaystyle A}$con dos morfismos (pares)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

para los cuales los diagramas habituales conmutan.

• Deligne, P .; Morgan, JW (1999). «Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)». Campos cuánticos y cuerdas: Un curso para matemáticos . Vol.  1. Sociedad Matemática Americana. págs. 41–97 . ISBN  0-8218-2012-5.
• Kac, VG ; Martínez, C.; Zelmanov, E. (2001). Superálgebras de Jordan simples graduadas de crecimiento uno . Memorias de la serie AMS. Vol.  711. Librería AMS. ISBN 978-0-8218-2645-4.
• Manin, YI (1997). Teoría de campos de gauge y geometría compleja (2.ª  ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-61378-1.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol.  11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.