Espacio Super Minkowski

En matemáticas y física , el espacio super Minkowski o superespacio de Minkowski es una extensión supersimétrica del espacio de Minkowski , que a veces se utiliza como la variedad base (o más bien, supervariedad ) para los supercampos . Sobre él actúa el álgebra super Poincaré .

La supervariedad subyacente del espacio super Minkowski es isomorfa a un espacio supervectorial dado por la suma directa del espaciotiempo Minkowski ordinario en d dimensiones (a menudo tomado como 4) y un número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de representaciones espinoriales reales del álgebra de Lorentz. (Cuando${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$Esto es ligeramente ambiguo porque hay dos representaciones de espín real diferentes, por lo que es necesario reemplazar una.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$por un par de números enteros${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$, aunque algunos autores utilizan una convención diferente y toman${\displaystyle {\mathcal {N}}}$copias de ambas representaciones de espín.)

Sin embargo, esta construcción es engañosa por dos razones: primero, el espacio super Minkowski es en realidad un espacio afín sobre un grupo en lugar de un grupo, o en otras palabras no tiene un "origen" distinguido, y segundo, el supergrupo subyacente de traslaciones no es un espacio supervectorial sino un supergrupo nilpotente de longitud nilpotente 2.

Este supergrupo tiene la siguiente superálgebra de Lie . Supongamos que${\displaystyle M}$es el espacio de Minkowski (de dimensión${\displaystyle d}$), y${\displaystyle S}$es una suma finita de representaciones espinoriales reales irreducibles para${\displaystyle d}$Espacio de Minkowski de -dimensiones.

Luego hay una aplicación bilineal simétrica e invariante.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:S\times S\rightarrow M}$Es definida positiva en el sentido de que, para cualquier${\displaystyle s}$, el elemento${\displaystyle [s,s]}$está en el cono positivo cerrado de${\displaystyle M}$, y${\displaystyle [s,s]\neq 0}$si${\displaystyle s\neq 0}$Esta aplicación bilineal es única salvo isomorfismo.

La superálgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g_{0}}}\oplus {\mathfrak {g_{1}}}=M\oplus S}$tiene${\displaystyle M}$como su parte uniforme, y${\displaystyle S}$como su parte impar (fermiónica). El mapa bilineal invariante${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$se extiende a toda la superálgebra para definir el corchete de Lie (graduado)${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$, donde el corchete de mentira de cualquier cosa en${\displaystyle M}$Con cualquier cosa es cero.

Las dimensiones de la(s) representación(es) espinorial(es) real(es) irreducible(s) para diversas dimensiones d del espaciotiempo se muestran en la tabla a continuación. La tabla también muestra el tipo de estructura de realidad para la representación espinorial y el tipo de forma bilineal invariante en dicha representación.

La tabla se repite cada vez que la dimensión aumenta en 8, excepto que las dimensiones de las representaciones de espín se multiplican por 16.

En la literatura de física, un espaciotiempo super Minkowski se especifica a menudo dando la dimensión${\displaystyle d}$de la parte bosónica par (dimensión del espaciotiempo) y el número de veces${\displaystyle {\mathcal {N}}}$que cada representación espinorial irreducible aparece en la parte impar, la parte fermiónica.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es el número de supercargas en el álgebra de super Poincaré asociada al espacio de super Minkowski.

En matemáticas, el espaciotiempo de Minkowski a veces se especifica en la forma M ^{m | n} o${\displaystyle \mathbb {R} ^{m|n}}$donde m es la dimensión de la parte par y n la dimensión de la parte impar. Esta es la notación utilizada para${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$- espacios vectoriales graduados . La notación puede extenderse para incluir la signatura del espaciotiempo subyacente, a menudo es${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1|n}}$si${\displaystyle m=d}$.

La relación es la siguiente: el entero${\displaystyle d}$en la notación física es el número entero${\displaystyle m}$en la notación matemática, mientras que el entero${\displaystyle n}$en la notación matemática es${\displaystyle D}$veces el entero${\displaystyle {\mathcal {N}}}$en la notación física, donde${\displaystyle D}$es la dimensión de (cualquiera de) la(s) representación(es) de espinor real irreducible(s). Por ejemplo, la${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$El espacio-tiempo de Minkowski es${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$Una expresión general es entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|D{\mathcal {N}}}}$.

Cuando${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$, existen dos representaciones de espinores reales irreducibles diferentes, y los autores utilizan diversas convenciones diferentes. Utilizando la notación anterior, si hay${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}}$copias de la única representación y${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}}$del otro, luego definiendo${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$La expresión anterior se mantiene.

En física, la letra P se utiliza para la base de la parte bosónica par de la superálgebra de Lie, y la letra Q se usa a menudo para la base de la complejización de la parte fermiónica impar; por lo tanto, las constantes de estructura de la superálgebra de Lie pueden ser complejas en lugar de reales. Con frecuencia, los elementos base Q aparecen en pares complejos conjugados, de modo que el subespacio real puede recuperarse como los puntos fijos de la conjugación compleja.

La dimensión real asociada al factor${\displaystyle {\mathcal {N}}}$o${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$se puede encontrar para el espacio de Minkowski generalizado con dimensión${\displaystyle n}$y firma arbitraria${\displaystyle (p,q)}$. La sutileza anterior cuando${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$en cambio se convierte en una sutileza cuando${\displaystyle p-q\equiv 0\mod 4}$. En el resto de esta sección, la firma se refiere a la diferencia${\displaystyle p-q}$.

La dimensión depende de la estructura de la realidad en la representación de espín. Esto depende de la signatura.${\displaystyle p-q}$módulo 8, dado por la tabla

La dimensión también depende de${\displaystyle n}$Podemos escribir${\displaystyle n}$como cualquiera de las dos${\displaystyle 2m}$o${\displaystyle 2m+1}$, dónde${\displaystyle m:=\lfloor n/2\rfloor }$Definimos la representación de espín${\displaystyle S}$ser la representación construida utilizando el álgebra exterior de algún espacio vectorial, como se describe aquí . La dimensión compleja de${\displaystyle S}$es${\displaystyle 2^{m}}$. Si la signatura es par, entonces esto se divide en dos representaciones irreducibles de medio espín.${\displaystyle S_{+}}$y${\displaystyle S_{-}}$de dimensión${\displaystyle 2^{m-1}}$, mientras que si la firma es extraña, entonces${\displaystyle S}$es en sí mismo irreducible. Cuando la signatura es par, existe la sutileza adicional de que si la signatura es un múltiplo de 4, entonces estas representaciones de medio espín no son equivalentes, de lo contrario son equivalentes.

Entonces, si la firma es extraña,${\displaystyle {\mathcal {N}}}$cuenta el número de copias de la representación de espín${\displaystyle S}$. Si la firma es par y no es múltiplo de 4,${\displaystyle {\mathcal {N}}}$cuenta el número de copias de la representación de medio giro. Si la firma es un múltiplo de 4, entonces${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$cuenta el número de copias de cada representación de medio giro.

Si la estructura de la realidad es real, entonces la dimensión compleja se convierte en la dimensión real. Por otro lado, si la estructura de la realidad es cuaterniónica o compleja (hermítica), la dimensión real es el doble de la dimensión compleja.

La dimensión real asociada a${\displaystyle {\mathcal {N}}}$o${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$se resume en la siguiente tabla:

Esto permite calcular la dimensión del superespacio con el espaciotiempo subyacente.${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$con${\displaystyle {\mathcal {N}}}$sobrealimentadores, o${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$se sobrecarga cuando la firma es un múltiplo de 4. El espacio supervectorial asociado es${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|{\mathcal {N}}D}}$con${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$donde proceda.

• Superespacio
• espacio supervectorial
• Álgebra super-Poincaré

• Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel ; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David ; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten, Edward (eds.), Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos, Vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 41–97 , ISBN  978-0-8218-1198-6, MR 1701597