Representación de espín

Supongamos que${\displaystyle Q(x)=1,Q(y)=1,<x,y>=0}$para${\displaystyle x,y\in V}$. Entonces${\displaystyle Q(x+iy)=Q(x)-Q(y)=0}$Decimos que${\displaystyle x+iy}$es isotrópico y que genera un subespacio unidimensional totalmente isotrópico${\displaystyle \{\lambda (x+iy)|\lambda \in C\}}$. Similarmente,${\displaystyle x-iy}$es isotrópico y genera un subespacio unidimensional totalmente isotrópico.

Una construcción estándar de las representaciones de espín de so ( n , C ) comienza con la elección de un par ( W , W ^∗ ) de subespacios totalmente isótropos máximos (con respecto a Q ) de V con W ∩ W ^∗ = 0 . Hagamos tal elección. Si n = 2 m o n = 2 m + 1 , entonces W y W ^∗ tienen dimensión m . Si n = 2 m , entonces V = W ⊕ W ^∗ , mientras que si n = 2 m + 1 , entonces V = W ⊕ U ⊕ W ^∗ , donde U es el complemento ortogonal unidimensional de W ⊕ W ^∗ . La forma bilineal ⟨ .,. ⟩ asociado a Q induce un emparejamiento entre W y W ^∗ , que debe ser no degenerado, porque W y W ^∗ son subespacios totalmente isotrópicos y Q es no degenerado. Por lo tanto, W y W ^∗ son espacios vectoriales duales .

Más concretamente, sea a ₁ , ... a _m una base para W . Entonces existe una única base α ₁ , ... α _m de W ^∗ tal que

${\displaystyle \langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Si A es una matriz m × m , entonces A induce un endomorfismo de W con respecto a esta base y la transpuesta A ^T induce una transformación de W ^∗ con

${\displaystyle \langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle }$

para todo w en W y w ^∗ en W ^∗ . De ello se deduce que el endomorfismo ρ _A de V , igual a A en W , − A ^T en W ^∗ y cero en U (si n es impar), es asimétrico,

${\displaystyle \langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle }$

para todo u , v en V , y por lo tanto (ver grupo clásico ) un elemento de so ( n , C ) ⊂ End( V ) .

El uso de las matrices diagonales en esta construcción define una subálgebra de Cartan h de so ( n , C ) : el rango de so ( n , C ) es m , y las matrices diagonales n × n determinan una subálgebra abeliana m- dimensional.

Sea ε ₁ , ... ε _m la base de h ^∗ tal que, para una matriz diagonal A , ε _k ( ρ _A ) es la k ª entrada diagonal de A . Claramente esta es una base para h ^∗ . Dado que la forma bilineal identifica so ( n , C ) con${\displaystyle \wedge ^{2}V}$, explícitamente,

${\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y,\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),}$^{[ 1 ]}

Ahora es fácil construir el sistema de raíces asociado a h . Los espacios de raíces (autoespacios simultáneos para la acción de h ) están generados por los siguientes elementos:

${\displaystyle a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,}$con raíz (autovalor simultáneo)${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle a_{i}\wedge \alpha _{j}}$(que está en h si i = j ) con raíz${\displaystyle \varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,}$con raíz${\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},}$

y, si n es impar y u es un elemento distinto de cero de U ,

${\displaystyle a_{i}\wedge u,}$con raíz${\displaystyle \varepsilon _ {i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge u,}$con raíz${\displaystyle -\varepsilon _{i}.}$

Así, con respecto a la base ε ₁ , ... ε _m , las raíces son los vectores en h ^∗ que son permutaciones de

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

junto con las permutaciones de

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

si n = 2 m + 1 es impar.

Un sistema de raíces positivas viene dado por ε _i + ε _j ( i ≠ j ), ε _i − ε _j ( i < j ) y (para n impar) ε _i . Las raíces simples correspondientes son

${\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.}$

Las raíces positivas son combinaciones lineales de números enteros no negativos de las raíces simples.

Una construcción de las representaciones de espín de so ( n , C ) utiliza el álgebra exterior (s).

${\displaystyle S=\wedge ^{\bullet }W}$y/o${\displaystyle S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.}$

Existe una acción de V sobre S tal que para cualquier elemento v = w + w ^∗ en W ⊕ W ^∗ y cualquier ψ en S la acción viene dada por:

${\displaystyle v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),}$

donde el segundo término es una contracción ( multiplicación interior ) definida usando la forma bilineal, que empareja W y W ^∗ . Esta acción respeta las relaciones de Clifford v ² = Q ( v ) 1 , y por lo tanto induce un homomorfismo del álgebra de Clifford Cl _n C de V a End( S ) . Una acción similar puede definirse en S ′ , de modo que tanto S como S ′ son módulos de Clifford .

El álgebra de Lie so ( n , C ) es isomorfa al álgebra de Lie complejizada spin _n ^C en Cl _n C a través del mapeo inducido por el recubrimiento Spin( n ) → SO( n ) ^{[ 2 ]}

${\displaystyle v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].}$

De ello se deduce que tanto S como S ′ son representaciones de so ( n , C ) . En realidad son representaciones equivalentes , por lo que nos centramos en S .

La descripción explícita muestra que los elementos α _i ∧ a _i de la subálgebra de Cartan h actúan sobre S mediante

${\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).}$

Una base para S viene dada por elementos de la forma

${\displaystyle a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}}$

para 0 ≤ k ≤ m e i ₁ < ... < i _k . Estos claramente abarcan espacios de peso para la acción de h : α _i ∧ a _i tiene valor propio −1/2 en el vector base dado si i = i _j para algún j , y tiene valor propio 1/2 en caso contrario.

De ello se deduce que los pesos de S son todas las combinaciones posibles de

${\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

y cada espacio de pesos es unidimensional. Los elementos de S se denominan espinores de Dirac .

Cuando n es par, S no es una representación irreducible :${\displaystyle S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W}$y${\displaystyle S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W}$son subespacios invariantes. Los pesos se dividen en aquellos con un número par de signos menos y aquellos con un número impar de signos menos. Tanto S ₊ como S ₋ son representaciones irreducibles de dimensión 2 ^{m − 1} cuyos elementos se denominan espinores de Weyl . También se conocen como representaciones de espín quiral o representaciones de medio espín. Con respecto al sistema de raíces positivo anterior, los pesos más altos de S ₊ y S ₋ son

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$y${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

respectivamente. La acción de Clifford identifica Cl _n C con End( S ) y la subálgebra par se identifica con los endomorfismos que preservan S ₊ y S ₋ . El otro módulo de Clifford S ′ es isomorfo a S en este caso.

Cuando n es impar, S es una representación irreducible de so ( n , C ) de dimensión 2 ^m : la acción de Clifford de un vector unitario u ∈ U viene dada por

${\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.}$

y por lo tanto los elementos de so ( n , C ) de la forma u ∧ w o u ∧ w ^∗ no conservan las partes pares e impares del álgebra exterior de W . El peso más alto de S es

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

La acción de Clifford no es fiel en S : Cl _n C puede identificarse con End( S ) ⊕ End( S ′ ), donde u actúa con signo opuesto en S ′ . Más precisamente, las dos representaciones están relacionadas por la involución de paridad α de Cl _n C (también conocida como el automorfismo principal), que es la identidad en la subálgebra par, y menos la identidad en la parte impar de Cl _n C . En otras palabras, hay un isomorfismo lineal de S a S ′ , que identifica la acción de A en Cl _n C sobre S con la acción de α ( A ) sobre S ′ .

Si λ es un peso de S , también lo es − λ . De ello se deduce que S es isomorfo a la representación dual S ^∗ .

Cuando n = 2 m + 1 es impar, el isomorfismo B : S → S ^∗ es único salvo escala por el lema de Schur , ya que S es irreducible, y define una forma bilineal invariante no degenerada β en S mediante

${\displaystyle \beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).}$

Aquí invariancia significa que

${\displaystyle \beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0}$

para todo ξ en so ( n , C ) y φ , ψ en S — en otras palabras, la acción de ξ es sesgada con respecto a β . De hecho, es cierto aún más: S ^∗ es una representación del álgebra de Clifford opuesta , y por lo tanto, dado que Cl _n C solo tiene dos módulos simples no triviales S y S ′ , relacionados por la involución de paridad α , existe un antiautomorfismo τ de Cl _n C tal que

${\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)}$

para cualquier A en Cl _n C . De hecho, τ es reversión (el antiautomorfismo inducido por la identidad en V ) para m par, y conjugación (el antiautomorfismo inducido por menos la identidad en V ) para m impar. Estos dos antiautomorfismos están relacionados por la involución de paridad α , que es el automorfismo inducido por menos la identidad en V . Ambos satisfacen τ ( ξ ) = − ξ para ξ en so ( n , C ).

Cuando n = 2 m , la situación depende más sensiblemente de la paridad de m . Para m par, un peso λ tiene un número par de signos menos si y solo si − λ lo tiene; de ​​ello se deduce que hay isomorfismos separados B _± : S _± → S _± ^∗ de cada representación de medio espín con su dual, cada uno determinado de forma única salvo por escala. Estos pueden combinarse en un isomorfismo B : S → S ^∗ . Para m impar, λ es un peso de S ₊ si y solo si − λ es un peso de S ₋ ; por lo tanto, hay un isomorfismo de S ₊ a S ₋ ^∗ , de nuevo único salvo por escala, y su transpuesta proporciona un isomorfismo de S ₋ a S ₊ ^∗ . Estos pueden de nuevo combinarse en un isomorfismo B : S → S ^∗ .

Tanto para m par como para m impar, la libertad en la elección de B puede restringirse a una escala general insistiendo en que la forma bilineal β correspondiente a B satisface (1), donde τ es un antiautomorfismo fijo (ya sea reversión o conjugación).

Las propiedades de simetría de β : S ⊗ S → C pueden determinarse utilizando álgebras de Clifford o teoría de la representación. De hecho, se puede decir mucho más: el cuadrado tensorial S ⊗ S debe descomponerse en una suma directa de k -formas en V para varios k , porque sus pesos son todos elementos en h ^∗ cuyos componentes pertenecen a { ​​− 1,0,1}. Ahora bien, las aplicaciones lineales equivariantes S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ corresponden biyectivamente a las aplicaciones invariantes ∧ ^k V ⊗ S ⊗ S → C y tales aplicaciones no nulas pueden construirse mediante la inclusión de ∧ ^k V en el álgebra de Clifford. Además, si β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) y τ tiene signo ε _k en ∧ ^k V entonces

${\displaystyle \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )}$

para A en ∧ ^k V .

Si n = 2 m +1 es impar, entonces se deduce del lema de Schur que

${\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}}$

(ambos lados tienen dimensión 2 ^{2 m} y las representaciones de la derecha no son equivalentes). Debido a que las simetrías están regidas por una involución τ que es conjugación o reversión, la simetría del componente ∧ ^2j V ^∗ alterna con j . La combinatoria elemental da

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}$

y el signo determina qué representaciones aparecen en S ² S y cuáles aparecen en ∧ ² S . ^{[ 3 ]} En particular

${\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),}$y

${\displaystyle \beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )}$

para v ∈ V (que es isomorfo a ∧ ^{2 m} V ), lo que confirma que τ es reversión para m par y conjugación para m impar.

Si n = 2 m es par, entonces el análisis es más complejo, pero el resultado es una descomposición más refinada: S ² S _± , ∧ ² S _± y S ₊ ⊗ S ₋ pueden descomponerse cada uno como una suma directa de k -formas (donde para k = m hay una descomposición adicional en m- formas autoduales y antiautoduales).

El resultado principal es una realización de so ( n , C ) como una subálgebra de un álgebra de Lie clásica en S , que depende de n módulo 8, según la siguiente tabla:

Para n ≤ 6, estas incrustaciones son isomorfismos (sobre sl en lugar de gl para n = 6):

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).}$

Para completar la descripción de la representación real, debemos describir cómo interactúan estas estructuras con las formas bilineales invariantes. Dado que n = p + q ≅ p − q mod 2, existen dos casos: la dimensión y la signatura son pares, y la dimensión y la signatura son impares.

El caso impar es más simple, solo hay una representación de espín compleja S , y no aparecen estructuras hermíticas. Aparte del caso trivial n = 1, S siempre es de dimensión par, digamos dim S = 2 N. Las formas reales de so (2 N , C ) son so ( K ​​, L ) con K + L = 2 N y so ^∗ ( N , H ), mientras que las formas reales de sp (2 N , C ) son sp (2 N , R ) y sp ( K , L ) con K + L = N . La presencia de una acción de Clifford de V sobre S fuerza K = L en ambos casos a menos que pq = 0, en cuyo caso KL =0, que se denota simplemente so (2 N ) o sp ( N ). Por lo tanto, las representaciones de espín impares se pueden resumir en la siguiente tabla.

(†) N es par para n > 3 y para n = 3 , esto es sp (1) .

El caso de dimensión par es similar. Para n > 2 , las representaciones de medio espín complejas son de dimensión par. Además, tenemos que tratar con estructuras hermíticas y las formas reales de sl (2 N , C ) , que son sl (2 N , R ) , su ( K , L ) con K + L = 2 N , y sl ( N , H ) . Las representaciones de espín par resultantes se resumen de la siguiente manera.

(*) Para pq = 0 , tenemos en cambio so (2 N ) + so (2 N )

(†) N es par para n > 4 y para pq = 0 (que incluye n = 4 con N = 1 ), tenemos en su lugar sp ( N ) + sp ( N )

Los isomorfismos de baja dimensión en el caso complejo tienen las siguientes formas reales.

Los únicos isomorfismos especiales de álgebras de Lie reales que faltan en esta tabla son: ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)}$y${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).}$