espacio supervectorial

En matemáticas , un espacio supervectorial es un${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$- espacio vectorial graduado , es decir, un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$con una descomposición dada de subespacios de grado${\displaystyle 0}$y grado${\displaystyle 1}$El estudio de los superespacios vectoriales y sus generalizaciones se denomina a veces álgebra superlineal . Estos objetos encuentran su principal aplicación en la física teórica, donde se utilizan para describir los diversos aspectos algebraicos de la supersimetría .

Un espacio supervectorial es un${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$-espacio vectorial graduado con descomposición ^{[ 1 ]}

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Vectores que son elementos de cualquiera de${\displaystyle V_{0}}$o${\displaystyle V_{1}}$Se dice que son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo distinto de cero, denotada por${\displaystyle |x|}$, es${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$según si está en${\displaystyle V_{0}}$o${\displaystyle V_{1}}$,

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

Vectores de paridad${\displaystyle 0}$se denominan pares y los de paridad${\displaystyle 1}$Los elementos pares se denominan impares . En física teórica, a los elementos pares se les llama a veces elementos de Bose o bosónicos , y a los impares, elementos de Fermi o fermiónicos. Las definiciones de los superespacios vectoriales suelen darse únicamente en términos de elementos homogéneos y luego se extienden a elementos no homogéneos mediante linealidad.

Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita y las dimensiones de${\displaystyle V_{0}}$y${\displaystyle V_{1}}$son${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$respectivamente, entonces${\displaystyle V}$Se dice que tiene dimensión${\displaystyle p|q}$. El espacio de supercoordenadas estándar, denotado${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$es el espacio de coordenadas ordinario${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$donde el subespacio par está abarcado por el primero${\displaystyle p}$vectores base de coordenadas y el espacio impar está generado por el último${\displaystyle q}$.

Un subespacio homogéneo de un superespacio vectorial es un subespacio lineal generado por elementos homogéneos. Los subespacios homogéneos son superespacios vectoriales por derecho propio (con la graduación correspondiente).

Para cualquier espacio supervectorial${\displaystyle V}$, se puede definir el espacio de paridad invertida${\displaystyle \Pi V}$ser el superespacio vectorial con los subespacios pares e impares intercambiados. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

Un homomorfismo , un morfismo en la categoría de superespacios vectoriales, de un superespacio vectorial a otro es una transformación lineal que preserva el grado . Una transformación lineal${\displaystyle f:V\rightarrow W}$entre espacios supervectoriales se conserva el grado si

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

Es decir, mapea los elementos pares de${\displaystyle V}$incluso elementos de${\displaystyle W}$y elementos extraños de${\displaystyle V}$a elementos extraños de${\displaystyle W}$Un isomorfismo de superespacios vectoriales es un homomorfismo biyectivo . El conjunto de todos los homomorfismos${\displaystyle V\rightarrow W}$se denota${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$. ^{[ 2 ]}

Toda transformación lineal, no necesariamente preservando el grado, de un espacio supervectorial a otro puede escribirse de forma única como la suma de una transformación que preserva el grado y otra que lo invierte ; es decir, una transformación${\displaystyle f:V\rightarrow W}$de tal manera que

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

Declarar que las transformaciones que preservan el grado son pares y las que invierten el grado son impares da como resultado el espacio de todas las transformaciones lineales desde${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$, denotado${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$y llamado interno${\displaystyle \mathrm {Hom} }$, la estructura de un espacio supervectorial. En particular, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).}$

Una transformación que invierte el grado${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$puede considerarse como un homomorfismo de${\displaystyle V}$al espacio de paridad invertida${\displaystyle \Pi W}$, de modo que

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).}$

Las construcciones algebraicas habituales para espacios vectoriales ordinarios tienen su equivalente en el contexto de los superespacios vectoriales.

Así como se pueden generalizar los espacios vectoriales sobre un cuerpo a módulos sobre un anillo conmutativo , se pueden generalizar los superespacios vectoriales sobre un cuerpo a supermódulos sobre un álgebra (o anillo) superconmutativa .

Una construcción común al trabajar con superespacios vectoriales es ampliar el campo de escalares a un álgebra de Grassmann superconmutativa . Dado un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$dejar

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

denotemos el álgebra de Grassmann generada por${\displaystyle N}$elementos extraños anticommutativos${\displaystyle \theta _{i}}$Cualquier supervector${\displaystyle V}$espacio sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$puede estar integrado en un módulo más${\displaystyle R}$al considerar el producto tensorial (graduado)

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

La categoría de espacios supervectoriales , denotada por${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$, es la categoría cuyos objetos son superespacios vectoriales (sobre un campo fijo).${\displaystyle \mathbb {K} }$) y cuyos morfismos son transformaciones lineales pares (es decir, las que preservan el grado).

El enfoque categórico del álgebra superlineal consiste en formular primero definiciones y teoremas sobre objetos algebraicos ordinarios (no graduados) en el lenguaje de la teoría de categorías y, a continuación, transferirlos directamente a la categoría de espacios supervectoriales. Esto da lugar a un tratamiento de "superobjetos" como superálgebras , superálgebras de Lie , supergrupos , etc., que es completamente análogo al de sus contrapartes no graduadas.

La categoría${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$es una categoría monoidal con el producto super tensorial como producto monoidal y el espacio super vectorial puramente par${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$como objeto unitario. El operador de trenzado involutivo

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

dado por

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x}$

en elementos homogéneos, gira${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$en una categoría monoidal simétrica . Este isomorfismo de conmutatividad codifica la "regla de los signos", esencial para el álgebra superlineal. En esencia, indica que se añade un signo negativo cuando se intercambian dos elementos impares. En el ámbito categórico, no es necesario preocuparse por los signos siempre que se utilice el operador mencionado donde corresponda.

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$es también una categoría monoidal cerrada con el objeto interno Hom ,${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$, dado por el superespacio vectorial de todas las aplicaciones lineales de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$. El ordinario${\displaystyle \mathrm {Hom} }$colocar${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$es el subespacio par en él:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

El hecho de que${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$está cerrado significa que el functor${\displaystyle -\otimes V}$es adjunto izquierdo al functor${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$, dada una biyección natural

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).}$

Una superálgebra sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$puede describirse como un espacio supervectorial${\displaystyle {\mathcal {A}}}$con un mapa de multiplicación

${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}

que es un homomorfismo de superespacio vectorial. Esto es equivalente a exigir ^{[ 5 ]}

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

La asociatividad y la existencia de una identidad pueden expresarse con los diagramas conmutativos usuales, de modo que una superálgebra asociativa unitaria sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$es un monoide en la categoría${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$.

• Deligne, P .; Morgan, JW (1999). «Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)» . Campos cuánticos y cuerdas: Un curso para matemáticos . Vol.  1. Sociedad Matemática Americana . págs. 41–97 . ISBN  0-8218-2012-5– vía IAS .

• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol.  11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.