Supermódulo

En matemáticas , un supermódulo es un módulo graduado Z2 sobre un superanillo o superálgebra . Los supermódulos surgen en el álgebra superlineal _, que es un marco matemático para estudiar el concepto de supersimetría en física teórica .

Los supermódulos sobre una superálgebra conmutativa pueden considerarse generalizaciones de los superespacios vectoriales sobre un cuerpo K (de números pares puros) . Los supermódulos suelen tener un papel más destacado en el álgebra lineal que los superespacios vectoriales. Esto se debe a que a menudo es necesario o útil extender el cuerpo de escalares para incluir variables impares. Al hacerlo, se pasa de cuerpos a superálgebras conmutativas y de espacios vectoriales a módulos.

En este artículo, se asume que todas las superálgebras son asociativas y unitarias a menos que se indique lo contrario.

Sea A una superálgebra fija . Un supermódulo derecho sobre A es un módulo derecho E sobre A con una descomposición en suma directa (como un grupo abeliano ).

${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}}$

de tal manera que la multiplicación por elementos de A satisface

${\displaystyle E_{i}A_{j}\subsetetoq E_{i+j}}$

para todo i y j en Z ₂ . Los subgrupos E _i son entonces A ₀ -módulos derechos.

Se dice que los elementos de E _i son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo x , denotada por | x |, es 0 o 1 según pertenezca a E ₀ o E _1. Los elementos de paridad 0 se denominan pares y los de paridad 1, impares . Si a es un escalar homogéneo y x es un elemento homogéneo de E , entonces | x · a | es homogéneo y | x · a | = | x | + | a |.

Asimismo, los supermódulos y superbimódulos izquierdos se definen como módulos o bimódulos izquierdos sobre A cuyas multiplicaciones escalares respetan las graduaciones de la manera obvia. Si A es superconmutativo , entonces todo supermódulo izquierdo o derecho sobre A puede considerarse un superbimódulo estableciendo

${\displaystyle a\cdot x=(-1)^{|a||x|}x\cdot a}$

para elementos homogéneos a ∈ A y x ∈ E , y extendiendo por linealidad. Si A es puramente par, esto se reduce a la definición ordinaria.

Un homomorfismo entre supermódulos es un homomorfismo de módulos que preserva la graduación. Sean E y F supermódulos derechos sobre A. Un mapa

${\displaystyle \phi :E\a F\,}$

es un homomorfismo de supermódulos si

• ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\,}$
• ${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\,}$
• ${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}\,}$

para todo a ∈ A y todo x , y ∈ E . El conjunto de todos los homomorfismos de módulos de E a F se denota por Hom( E , F ).

En muchos casos, es necesario o conveniente considerar una clase más amplia de morfismos entre supermódulos. Sea A un álgebra superconmutativa. Entonces, todos los supermódulos sobre A se consideran superbimódulos de forma natural. Para los supermódulos E y F , sea Hom ( E , F ) el espacio de todas las aplicaciones A-lineales derechas (es decir, todos los homomorfismos de módulos de E a F considerados como A -módulos derechos no graduados). Existe una graduación natural en Hom ( E , F ) donde los homomorfismos pares son aquellos que preservan la graduación.

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}}$

y los homomorfismos impares son aquellos que invierten la gradación

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{1-i}.}$

Si φ ∈ Hom ( E , F ) y a ∈ A son homogéneos entonces

${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\qquad \phi (a\cdot x)=(-1)^{|a||\phi |}a\cdot \phi (x).}$

Es decir, los homomorfismos pares son lineales tanto por la derecha como por la izquierda, mientras que los homomorfismos impares son lineales por la derecha pero antilineales por la izquierda (con respecto al automorfismo de graduación).

Al conjunto Hom ( E , F ) se le puede dar la estructura de un bimódulo sobre A estableciendo

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot \phi )(x)&=a\cdot \phi (x)\\(\phi \cdot a)(x)&=\phi (a\cdot x).\end{aligned}}}$

Con la graduación anterior, Hom ( E , F ) se convierte en un supermódulo sobre A cuya parte par es el conjunto de todos los homomorfismos de supermódulos ordinarios.

${\displaystyle \mathbf {Hom} _ {0}(E,F)=\mathrm {Hom} (E,F).}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , la clase de todos los supermódulos sobre A forma una categoría con homomorfismos de supermódulos como morfismos. Esta categoría es una categoría cerrada monoidal simétrica bajo el superproducto tensorial cuyo functor interno Hom viene dado por Hom .

• Deligne, Pierre ; John W. Morgan (1999). «Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)». Campos cuánticos y cuerdas: Un curso para matemáticos . Vol.  1. Sociedad Matemática Americana. págs. 41–97 . ISBN  0-8218-2012-5.
• Manin, YI (1997). Teoría de campos de gauge y geometría compleja (2.ª  ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-61378-1.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.