Superaditividad

En matemáticas , una función${\displaystyle f}$es superaditivo si ${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$ a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en el dominio de${\displaystyle f.}$

De manera similar, una secuencia${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$Se denomina superaditivo si satisface la desigualdad.$${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$ a pesar de${\displaystyle m}$y${\displaystyle n.}$

El término "superaditivo" también se aplica a funciones de un álgebra booleana a los números reales donde${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$tales como probabilidades más bajas .

• El mapa${\displaystyle f(x)=x^{2}}$es una función superaditiva para números reales no negativos porque${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy\geq f(x)+f(y).}$

• El determinante es superaditivo para matrices hermitianas no negativas , es decir, si${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$son hermíticos no negativos entonces${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$Esto se deduce del teorema del determinante de Minkowski , que establece de forma más general que${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$es superaditiva (equivalentemente, cóncava ) ^{[ 1 ]} para matrices hermíticas no negativas de tamaño${\displaystyle n}$: Si${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$son hermíticos no negativos entonces${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• Horst Alzer demostró ^{[ 2 ]} que la función gamma de Hadamard${\displaystyle H(x)}$es superaditivo para todos los números reales${\displaystyle x,y}$con${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$^{[ 3 ]}
• Información mutua

Si${\displaystyle f}$es una función superaditiva cuyo dominio contiene${\displaystyle 0,}$entonces${\displaystyle f(0)\leq 0.}$Para ver esto, simplemente configure${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle y=0}$en la desigualdad definitoria.

El negativo de una función superaditiva es subaditivo .

La principal razón para el uso de secuencias superaditivas es el siguiente lema debido a Michael Fekete . ^{[ 4 ]}

Lema: (Fekete) Para toda secuencia superaditiva${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$el límite${\displaystyle \lim a_{n}/n}$es igual al supremo${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ (El límite puede ser infinito positivo, como es el caso de la secuencia${\displaystyle a_{n}=\log n!}$Por ejemplo.)

El análogo del lema de Fekete también se cumple para funciones subaditivas . Existen extensiones del lema de Fekete que no requieren que la definición de superaditividad anterior se cumpla para todas las funciones.${\displaystyle m}$y${\displaystyle n.}$ También existen resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se enuncia en el lema de Fekete si se presenta algún tipo de superaditividad y subaditividad. Una buena exposición de este tema se puede encontrar en Steele (1997). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Integral de Choquet – Integral subaditiva o superaditiva 
• Medida interna
• Subaditividad : propiedad de algunas funciones matemáticas. 
• Función sublineal : un tipo de función en álgebra lineal. 

Notas

• György Polya y Gábor Szegö. (1976). Problemas y teoremas en análisis, volumen 1 . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-05672-6.

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