Combinación lineal

En matemáticas , una combinación lineal o superposición es una expresión construida a partir de un conjunto de términos multiplicando cada término por una constante y sumando los resultados (por ejemplo, una combinación lineal de x e y sería cualquier expresión de la forma ax + by , donde a y b son constantes). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} El concepto de combinaciones lineales es fundamental para el álgebra lineal y campos matemáticos relacionados. La mayor parte de este artículo trata sobre combinaciones lineales en el contexto de un espacio vectorial sobre un cuerpo , con algunas generalizaciones al final del artículo.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Como _es habitual, llamamos a los elementos de V vectores y a los elementos de K escalares . Si v₁ _{, ...} , vₙ son vectores y a₁ , ..., _aₙ son escalares, entonces la combinación lineal de esos vectores con esos escalares como coeficientes es

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Existe cierta ambigüedad en el uso del término "combinación lineal" respecto a si se refiere a la expresión o a su valor. En la mayoría de los casos, se enfatiza el valor, como en la afirmación "el conjunto de todas las combinaciones lineales de v ₁ ,..., v _n siempre forma un subespacio". Sin embargo, también se podría decir "dos combinaciones lineales diferentes pueden tener el mismo valor", en cuyo caso la referencia es a la expresión. La sutil diferencia entre estos usos radica en la esencia de la noción de dependencia lineal : una familia F de vectores es linealmente independiente precisamente si cualquier combinación lineal de los vectores en F (como valor) es única (como expresión). En cualquier caso, incluso cuando se consideran como expresiones, lo único que importa de una combinación lineal es el coeficiente de cada v _i ; modificaciones triviales como permutar los términos o sumar términos con coeficiente cero no producen combinaciones lineales distintas.

En una situación dada, K y V pueden especificarse explícitamente, o pueden ser obvios por el contexto. En ese caso, a menudo hablamos de una combinación lineal de los vectores v ₁ ,..., v _n , con los coeficientes sin especificar (excepto que deben pertenecer a K ). O, si S es un subconjunto de V , podemos hablar de una combinación lineal de vectores en S , donde tanto los coeficientes como los vectores no están especificados, excepto que los vectores deben pertenecer al conjunto S (y los coeficientes deben pertenecer a K ). Finalmente, podemos hablar simplemente de una combinación lineal , donde no se especifica nada (excepto que los vectores deben pertenecer a V y los coeficientes deben pertenecer a K ); en este caso probablemente se hace referencia a la expresión , ya que cada vector en V es ciertamente el valor de alguna combinación lineal.

Cabe señalar que, por definición, una combinación lineal involucra solo un número finito de vectores, salvo en los casos descritos en la sección §  Generalizaciones . Sin embargo, el conjunto S del que se toman los vectores (si se menciona) puede ser infinito ; cada combinación lineal individual involucrará solo un número finito de vectores. Además, no hay razón para que n no pueda ser cero ; en ese caso, por convención declaramos que el resultado de la combinación lineal es el vector cero en V.

Consideremos un cuerpo arbitrario K , un espacio vectorial arbitrario V y sean v₁ _, ..., vₙ vectores (en _V ). Es interesante considerar el conjunto de todas _las combinaciones lineales de estos vectores. Este conjunto se denomina espacio vectorial generado ( o simplemente espacio vectorial generado ) de los vectores, digamos S = { v₁ , ..., vₙ _} . Escribimos el espacio vectorial generado por S como span( S ) ^{[ 4 ] [ 5 ]} o sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Supongamos que, para algunos conjuntos de vectores v ₁ ,..., v _n , un único vector puede escribirse de dos maneras diferentes como una combinación lineal de ellos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ donde }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Esto es equivalente, restando estos (${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$), a decir que una combinación no trivial es cero: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Si esto es posible, entonces v ₁ ,..., v _n se denominan linealmente dependientes ; de lo contrario, son linealmente independientes . De manera similar, podemos hablar de dependencia o independencia lineal de un conjunto arbitrario S de vectores.

Si S es linealmente independiente y el espacio generado por S es igual a V , entonces S es una base para V.

Al restringir los coeficientes utilizados en las combinaciones lineales, se pueden definir los conceptos relacionados de combinación afín , combinación cónica y combinación convexa , y las nociones asociadas de conjuntos cerrados bajo estas operaciones.

Debido a que estas son operaciones más restringidas , más subconjuntos estarán cerrados bajo ellas, por lo que los subconjuntos afines, los conos convexos y los conjuntos convexos son generalizaciones de los subespacios vectoriales: un subespacio vectorial es también un subespacio afín, un cono convexo y un conjunto convexo, pero un conjunto convexo no tiene por qué ser un subespacio vectorial, afín o un cono convexo.

Estos conceptos suelen surgir cuando se pueden tomar ciertas combinaciones lineales de objetos, pero no cualquiera: por ejemplo, las distribuciones de probabilidad son cerradas bajo combinaciones convexas (forman un conjunto convexo), pero no bajo combinaciones cónicas o afines (o lineales), y las medidas positivas son cerradas bajo combinaciones cónicas pero no afines o lineales; por lo tanto, se definen las medidas con signo como el cierre lineal.

Las combinaciones lineales y afines se pueden definir sobre cualquier cuerpo (o anillo), pero las combinaciones cónicas y convexas requieren una noción de "positivo" y, por lo tanto, solo se pueden definir sobre un cuerpo ordenado (o anillo ordenado ), generalmente los números reales.

Si solo se permite la multiplicación escalar , y no la suma, se obtiene un cono (no necesariamente convexo) ; a menudo se restringe la definición a permitir solo la multiplicación por escalares positivos.

Todos estos conceptos suelen definirse como subconjuntos de un espacio vectorial ambiente (excepto los espacios afines, que también se consideran "espacios vectoriales que olvidan el origen"), en lugar de axiomatizarse de forma independiente.

De forma más abstracta, en el lenguaje de la teoría de la operada , se pueden considerar los espacios vectoriales como álgebras sobre la operada.${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$(la suma directa infinita , por lo que solo un número finito de términos son distintos de cero; esto corresponde a tomar solo sumas finitas), que parametriza combinaciones lineales: el vector${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$por ejemplo corresponde a la combinación lineal${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$De manera similar, se pueden considerar combinaciones afines, combinaciones cónicas y combinaciones convexas como correspondientes a las suboperadas donde los términos suman 1, los términos son todos no negativos, o ambas cosas, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el símplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$siendo el símplex estándar espacios modelo, y observaciones tales como que todo politopo convexo acotado es la imagen de un símplex. Aquí las suboperadas corresponden a operaciones más restringidas y, por lo tanto, a teorías más generales.

Desde este punto de vista, podemos pensar en las combinaciones lineales como el tipo de operación más general en un espacio vectorial; decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre la operada de combinaciones lineales es precisamente afirmar que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales.

Las operaciones básicas de suma y multiplicación escalar, junto con la existencia de una identidad aditiva e inversos aditivos, no pueden combinarse de una manera más complicada que la combinación lineal genérica: las operaciones básicas son un conjunto generador para la operada de todas las combinaciones lineales.

En definitiva, este hecho constituye la base de la utilidad de las combinaciones lineales en el estudio de los espacios vectoriales.

Si V es un espacio vectorial topológico , entonces puede haber una manera de dar sentido a ciertas combinaciones lineales infinitas , utilizando la topología de V. Por ejemplo, podríamos hablar de a₁v₁ ₊ a₂v₂ ₊ a₃v₃ + ... , _{continuando indefinidamente . Estas combinaciones} lineales infinitas no siempre tienen sentido; las llamamos convergentes cuando lo tienen. Permitir más combinaciones lineales en este caso también puede conducir a un concepto diferente de espacio generado , independencia _{lineal y base. Los artículos sobre las distintas variantes de} espacios vectoriales topológicos profundizan en estos aspectos.    

Si K es un anillo conmutativo en lugar de un cuerpo, todo lo dicho anteriormente sobre combinaciones lineales se generaliza a este caso sin cambios. La única diferencia es que llamamos a estos espacios V módulos en lugar de espacios vectoriales. Si K es un anillo no conmutativo , el concepto también se generaliza, con una salvedad: dado que los módulos sobre anillos no conmutativos tienen versiones izquierda y derecha, nuestras combinaciones lineales también pueden tener cualquiera de estas versiones, según corresponda al módulo dado. Esto es simplemente cuestión de realizar la multiplicación escalar en el lado correcto.

Un giro más complicado se produce cuando V es un bimódulo sobre dos anillos, K _L y K _R . En ese caso, la combinación lineal más general se ve así:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

donde a ₁ ,..., a _n pertenecen a K _L , b ₁ ,..., b _n pertenecen a K _R , y v ₁ ,…, v _n pertenecen a V .

• Suma ponderada

• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien explicada . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (3.ª  ed.). Springer . doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5.ª  ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (5.ª  ed.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

• Combinaciones lineales y generación de vectores: Comprensión de las combinaciones lineales y la generación de vectores , khanacademy.org.