Superselección

En mecánica cuántica , la superselección extiende el concepto de reglas de selección .

Las reglas de superselección son reglas postuladas que prohíben la preparación de estados cuánticos que exhiben coherencia entre autoestados de ciertas observables . ^{[ 1 ]} Fueron introducidas originalmente por Gian Carlo Wick , Arthur Wightman y Eugene Wigner para imponer restricciones adicionales a la teoría cuántica más allá de las de las reglas de selección .

Matemáticamente hablando, dos estados cuánticos $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$ están separados por una regla de selección si $\langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0$ para el hamiltoniano dado $H$ , mientras que están separados por una regla de superselección si $\langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0$ para todas las observables físicas $A$ . Porque no hay conexiones observables $\langle \psi _ {1}|$ y $|\psi _{2}\rangle$ no pueden ser puestos en una superposición cuántica $\alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle$ y/o una superposición cuántica no se puede distinguir de una mezcla clásica de los dos estados. También implica que hay una cantidad clásicamente conservada que difiere entre los dos estados. ^{[ 2 ]}

Un sector de superselección es un concepto utilizado en mecánica cuántica cuando una representación de un *-álgebra se descompone en componentes irreducibles . Formaliza la idea de que no todos los operadores autoadjuntos son observables porque la fase relativa de una superposición de estados no nulos de diferentes componentes irreducibles no es observable (los valores esperados de los observables no pueden distinguirlos).

Formulación

Supongamos que A es un álgebra * -unitaria y O es una subálgebra * -unitaria cuyos elementos autoadjuntos corresponden a observables. Una representación unitaria de O puede descomponerse como la suma directa de representaciones unitarias irreducibles de O. Cada componente isotípica en esta descomposición se denomina sector de superselección . Los observables preservan los sectores de superselección.

Relación con la simetría

Las simetrías a menudo dan lugar a sectores de superselección (aunque esta no es la única forma en que ocurren). Supongamos que un grupo G actúa sobre A , y que H es una representación unitaria tanto de A como de G que es equivariante en el sentido de que para todo g en G , a en A y ψ en H ,

g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )

Supongamos que O es una subálgebra invariante de A bajo G (todos los observables son invariantes bajo G , pero no todo operador autoadjunto invariante bajo G es necesariamente un observable). H se descompone en sectores de superselección, cada uno de los cuales es el producto tensorial de una representación irreducible de G con una representación de O.

Esto se puede generalizar asumiendo que H es solo una representación de una extensión o recubrimiento K de G. (Por ejemplo, G podría ser el grupo de Lorentz y K el recubrimiento doble de espín correspondiente ). Alternativamente, se puede reemplazar G por un álgebra de Lie , una superálgebra de Lie o un álgebra de Hopf .

Ejemplos

Consideremos una partícula cuántica confinada a un bucle cerrado (es decir, una línea periódica de periodo L ). Los sectores de superselección están etiquetados por un ángulo θ entre 0 y 2π. Todas las funciones de onda dentro de un único sector de superselección satisfacen

\psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).

Sectores de superselección

Un sistema físico de gran tamaño con infinitos grados de libertad no siempre pasa por todos los estados posibles, incluso si posee energía suficiente. Si un imán se magnetiza en una dirección determinada, cada espín fluctuará a cualquier temperatura, pero la magnetización neta nunca cambiará. Esto se debe a que es infinitamente improbable que todos los espines, en cada posición, fluctúen simultáneamente de la misma manera.

Un sistema grande suele tener sectores de superselección. En un sólido, las distintas rotaciones y traslaciones que no son simetrías de la red definen sectores de superselección. En general, una regla de superselección es una magnitud que nunca puede cambiar debido a fluctuaciones locales. Además de los parámetros de orden , como la magnetización de un imán, también existen magnitudes topológicas, como el número de vueltas . Si una cuerda se enrolla alrededor de un alambre circular, el número total de vueltas nunca cambia bajo fluctuaciones locales. Esta es una ley de conservación ordinaria . Si el alambre es una línea infinita, bajo condiciones en las que el vacío no tiene fluctuaciones del número de vueltas coherentes en todo el sistema, la ley de conservación es una regla de superselección: la probabilidad de que la cuerda se desenrolle es cero.

Existen fluctuaciones cuánticas, superposiciones derivadas de diferentes configuraciones de una integral de trayectoria de tipo fase, y fluctuaciones estadísticas derivadas de una integral de trayectoria de tipo Boltzmann. Ambas integrales de trayectoria poseen la propiedad de que grandes cambios en un sistema prácticamente infinito requieren una improbable coincidencia entre las fluctuaciones. Por lo tanto, existen reglas de superselección tanto en mecánica estadística como en mecánica cuántica.

En una teoría donde el vacío es invariante bajo una simetría, la carga conservada da lugar a sectores de superselección en el caso de que la carga se conserve. La carga eléctrica se conserva en nuestro universo, por lo que a primera vista parece un ejemplo trivial. Pero cuando un superconductor llena el espacio, o equivalentemente en una fase de Higgs , la carga eléctrica sigue conservándose globalmente, pero ya no define los sectores de superselección. El movimiento del superconductor puede introducir cargas en cualquier volumen con un coste mínimo. En este caso, los sectores de superselección del vacío se etiquetan según la dirección del campo de Higgs. Dado que las diferentes direcciones de Higgs están relacionadas por una simetría exacta, todas son exactamente equivalentes. Esto sugiere una profunda relación entre las direcciones de ruptura de simetría y las cargas conservadas.

Simetría discreta

En el modelo de Ising bidimensional , a bajas temperaturas existen dos estados puros distintos: uno con el espín promedio apuntando hacia arriba y otro con el espín promedio apuntando hacia abajo. Esta es la fase ordenada. A altas temperaturas, solo existe un estado puro con un espín promedio de cero. Esta es la fase desordenada. En la transición de fase entre ambos estados, se rompe la simetría entre el espín hacia arriba y el espín hacia abajo.

Por debajo de la temperatura de transición de fase, un modelo de Ising infinito puede encontrarse en la configuración predominantemente positiva o predominantemente negativa. Si comienza en la fase predominantemente positiva, nunca alcanzará la predominantemente negativa, aunque invertir todos los espines dé como resultado la misma energía. Al cambiar la temperatura, el sistema adquirió una nueva regla de superselección: el espín promedio. Existen dos sectores de superselección: predominantemente negativo y predominantemente positivo.

También existen otros sectores de superselección; por ejemplo, estados donde la mitad izquierda del plano es mayoritariamente positiva y la mitad derecha del plano es mayoritariamente negativa.

Cuando aparece una nueva regla de superselección, el sistema se ordena espontáneamente. Por encima de la temperatura crítica, el modelo de Ising está desordenado. En principio, podría visitar cualquier estado. Por debajo de la transición, el sistema elige una de dos posibilidades al azar y nunca cambia de opinión.

Para cualquier sistema finito, la superselección es imperfecta. Un modelo de Ising en una red finita eventualmente fluctuará entre valores predominantemente positivos y predominantemente negativos a cualquier temperatura distinta de cero, pero esto lleva mucho tiempo. El tiempo es exponencialmente pequeño en relación con el tamaño del sistema, medido en longitudes de correlación , por lo que, a efectos prácticos, el cambio nunca ocurre, incluso en sistemas solo unas pocas veces mayores que la longitud de correlación.

Simetrías continuas

Si un campo estadístico o cuántico tiene tres campos escalares de valor real $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ y la energía o acción solo depende de combinaciones que son simétricas bajo rotaciones de estos componentes entre sí, las contribuciones con la dimensión más baja son ( convención de suma ):

|\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,

y definir la acción en un contexto de campo cuántico o la energía libre en el contexto estadístico. Hay dos fases. Cuando t es grande, el potencial tiende a mover el promedio. $\phi$ a cero. Para t grande y negativo, el potencial cuadrático empuja $\phi$ pero el potencial cuártico impide que se vuelva infinito. Si esto se hace en una integral de trayectoria cuántica, se trata de una transición de fase cuántica ; en una función de partición clásica, de una transición de fase clásica.

Así, a medida que t se mueve hacia valores más negativos en cualquiera de los dos contextos, el campo tiene que elegir alguna dirección hacia la que apuntar. Una vez que lo hace, no puede cambiar de opinión. El sistema se ha ordenado . En la fase ordenada, todavía hay un poco de simetría: rotaciones alrededor del eje de ruptura. El campo puede apuntar en cualquier dirección etiquetada por todos los puntos en una esfera unitaria en $\phi$ espacio, que es el espacio cociente del subgrupo SO(2) no roto en el grupo de simetría completa SO(3).

En la fase desordenada, los sectores de superselección se describen mediante la representación SO(3), bajo la cual una configuración dada se transforma globalmente. Dado que SO(3) es ininterrumpida, las diferentes representaciones no se mezclan entre sí. Ninguna fluctuación local generará configuraciones SO(3) no triviales desde el infinito. Una configuración local se define completamente por su representación.

Existe una brecha de masa, o longitud de correlación, que separa las configuraciones con transformaciones SO(3) no triviales del vacío invariante rotacionalmente. Esto se cumple hasta el punto crítico en t, donde la brecha de masa desaparece y la longitud de correlación es infinita. La desaparición de la brecha indica que las fluctuaciones en el campo SO(3) están a punto de condensarse.

En la región ordenada, existen configuraciones de campo que pueden transportar carga topológica. Estas se etiquetan mediante elementos del segundo grupo de homotopía. $\pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z}$ Cada una de estas configuraciones describe una configuración de campo diferente que, a grandes distancias del origen, es una configuración en espiral. Si bien cada configuración aislada posee energía infinita, delimita sectores de superselección donde la diferencia de energía entre dos estados es finita. Además, se pueden generar abundantemente pares de configuraciones en espiral con carga topológica opuesta al aproximarse a la transición desde abajo.

Cuando el número de vueltas es cero, de modo que el campo apunta en todas partes en la misma dirección, hay una infinidad adicional de sectores de superselección, cada uno etiquetado por un valor diferente de la carga SO(2) no rota.

En el estado ordenado, existe una brecha de masa para los sectores de superselección etiquetados con un número entero distinto de cero, debido a que los solitones topológicos son masivos, incluso infinitamente masivos. Sin embargo, no existe brecha de masa para todos los sectores de superselección etiquetados con cero, ya que existen bosones de Goldstone sin masa que describen fluctuaciones en la dirección del condensado.

Si los valores del campo se identifican bajo una reflexión Z ₂ (correspondiente a invertir el signo de todos los $\phi$ campos), los sectores de superselección están etiquetados con un entero no negativo (el valor absoluto de la carga topológica).

Las cargas O(3) solo tienen sentido en la fase desordenada y no en la fase ordenada. Esto se debe a que, al romperse la simetría, se forma un condensado cargado que no es invariante bajo el grupo de simetría. Por el contrario, la carga topológica solo tiene sentido en la fase ordenada y no en la desordenada, porque, de alguna manera simplificada, existe un "condensado topológico" en la fase desordenada que aleatoriza el campo de un punto a otro. Esta aleatorización puede entenderse como el cruce de múltiples límites de enrollamiento topológico condensado.

La cuestión misma de qué cargas son significativas depende en gran medida de la fase. Al aproximarse a la transición de fase desde el lado desordenado, la masa de las partículas cargadas tiende a cero. Al aproximarse desde el lado ordenado, la brecha de masa asociada con las fluctuaciones de los solitones topológicos tiende a cero.

Ejemplos en física de partículas

Mecanismo de Higgs

En el Modelo Estándar de la física de partículas, en el sector electrodébil, el modelo de baja energía es SU(2) y U(1) con ruptura a U(1) por un doblete de Higgs. La única regla de superselección que determina la configuración es la carga eléctrica total. Si hay monopolos, entonces debe incluirse la carga del monopolo.

Si se varía el parámetro t del bosón de Higgs de forma que no adquiera un valor esperado en el vacío, el universo se vuelve simétrico bajo un grupo de gauge SU(2) y U(1) no roto. Si el SU(2) tiene acoplamientos infinitesimalmente débiles, de modo que solo confina a distancias enormes, entonces tanto la representación del grupo SU(2) como la carga U(1) son reglas de superselección. Pero si el SU(2) tiene un acoplamiento distinto de cero, entonces los sectores de superselección están separados por una masa infinita, ya que la masa de cualquier estado en una representación no trivial es infinita.

Al modificar la temperatura, las fluctuaciones del bosón de Higgs pueden anular el valor esperado a una temperatura finita. Por encima de esta temperatura, los números cuánticos SU(2) y U(1) describen los sectores de superselección. Por debajo de la transición de fase, solo la carga eléctrica define el sector de superselección.

condensado de quarks quiral

Consideremos la simetría global del sabor de la cromodinámica cuántica (QCD) en el límite quiral, donde las masas de los quarks son cero. Este no es exactamente el universo en el que vivimos, donde los quarks arriba y abajo tienen una masa diminuta pero distinta de cero, pero es una muy buena aproximación, siempre que se conserve el isospín.

Por debajo de cierta temperatura, que corresponde a la temperatura de restauración de la simetría, la fase se encuentra ordenada. Se forma el condensado quiral y se producen piones de masa pequeña. Las cargas SU(N _{f ),}Isospín , Hipercarga y SU(3) tienen sentido. Por encima de la temperatura de la QCD se encuentra una fase desordenada donde las cargas SU(N _f ) × SU(N _f ) y las cargas de color SU(3) tienen sentido.

Queda por determinar si la temperatura de desconfinamiento de la cromodinámica cuántica (QCD) es también la temperatura a la que se funde el condensado quiral.

Notas

↑ Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry ; Spekkens, Robert W. (abril-junio de 2007). "Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica". Reviews of Modern Physics . 79 (2): 555– 606. arXiv : quant-ph/0610030 . Bibcode : 2007RvMP...79..555B . doi : 10.1103/RevModPhys.79.555 . S2CID 118880279 .
↑ Giulini, Domenico (2007). "Reglas de superselección". arXiv : 0710.1516 [ cuántico-ph ].

Referencias

Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introducción a la teoría cuántica de campos algebraica , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
Moretti, Valter (2017), Teoría espectral y mecánica cuántica: Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1.
Moretti, Valter (2019), Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-030-18345-5.
Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). "Teoría cuántica de campos algebraica". arXiv : math-ph/0602036 .

[1] Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry ; Spekkens, Robert W. (abril-junio de 2007). "Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica". Reviews of Modern Physics . 79 (2): 555– 606. arXiv : quant-ph/0610030 . Bibcode : 2007RvMP...79..555B . doi : 10.1103/RevModPhys.79.555 . S2CID 118880279 .

[2] Giulini, Domenico (2007). "Reglas de superselección". arXiv : 0710.1516 [ cuántico-ph ].

[ 1 ]

[ 2 ]