Representación semisimple

En matemáticas , específicamente en la teoría de la representación , una representación semisimple (también llamada representación completamente reducible ) es una representación lineal de un grupo o un álgebra que es una suma directa de representaciones simples (también llamadas representaciones irreducibles ). ^{[ 1 ]} Es un ejemplo de la noción matemática general de semisimplicidad . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Muchas representaciones que aparecen en las aplicaciones de la teoría de la representación son semisimples o pueden aproximarse mediante representaciones semisimples. Un módulo semisimple sobre un álgebra sobre un cuerpo es un ejemplo de representación semisimple. Recíprocamente , una representación semisimple de un grupo G sobre un cuerpo k es un módulo semisimple sobre el álgebra de grupo k [ G ].

Sea V una representación de un grupo G ; o, más generalmente, sea V un espacio vectorial sobre el cual actúa un conjunto de endomorfismos lineales . En general, se dice que un espacio vectorial sobre el cual actúa un conjunto de endomorfismos lineales es simple (o irreducible) si los únicos subespacios invariantes para dichos operadores son el cero y el propio espacio vectorial; una representación semisimple es entonces una suma directa de representaciones simples en ese sentido. ^{[ 1 ]}

Los siguientes son equivalentes: ^{[ 4 ]}

1. V es semisimple como representación.
2. V es una suma de subrepresentaciones simples .
3. Cada subrepresentación W de V admite una representación complementaria : una subrepresentación W ' tal que${\displaystyle V=W\oplus W'}$.

La equivalencia de las condiciones anteriores puede demostrarse basándose en el siguiente lema , que es de interés independiente:

Demostración del lema : Escribir${\displaystyle V=\bigoplus _ {i\in I}V_ {i}}$dónde${\displaystyle V_{i}}$son representaciones simples. Sin pérdida de generalidad , podemos asumir${\displaystyle V_{i}}$son subrepresentaciones; es decir, podemos asumir que la suma directa es interna. Ahora, consideremos la familia de todas las sumas directas posibles.${\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$con varios subconjuntos${\displaystyle J\subset I}$. Establece el orden parcial diciendo que la suma directa sobre K es menor que la suma directa sobre J si${\displaystyle K\subset J}$. Por el lema de Zorn , podemos encontrar un máximo${\displaystyle J\subset I}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$Afirmamos que${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$. Por definición,${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$por lo que solo necesitamos demostrar que${\displaystyle V=\operatorname {ker} p+V_{J}}$. Si${\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}$es una subrepresentación adecuada de${\displaystyle V}$entonces existe${\displaystyle k\in IJ}$de tal manera que${\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}$. Desde${\displaystyle V_{k}}$es simple (irreducible),${\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}$Esto contradice la máxima de${\displaystyle J}$, entonces${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$como se afirma. Por lo tanto, ${\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}$es una sección de p .${\displaystyle \square }$

Tenga en cuenta que no podemos tomar${\displaystyle J}$al conjunto de${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}$La razón es que puede suceder, y sucede con frecuencia, que${\displaystyle X}$es un subespacio de${\displaystyle Y\oplus Z}$y sin embargo${\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}$Por ejemplo, tomemos${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$ser tres líneas distintas a través del origen en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Para un contraejemplo explícito, sea${\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}F}$sea ​​el álgebra de matrices de 2x2 y establezca${\displaystyle V=A}$, la representación regular de${\displaystyle A}$. Colocar${\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$y${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$y establecer${\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$. Entonces${\displaystyle V_{1}}$,${\displaystyle V_{2}}$y${\displaystyle W}$son todos irreductibles${\displaystyle A}$-módulos y${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$. Dejar${\displaystyle p:V\to V/W}$sea ​​la sobreyección natural. Entonces${\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}$y${\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$. En este caso,${\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}$pero${\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}$porque esta suma no es directa.

Prueba de equivalencias ^{[ 6 ]}${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$: Consideremos p como la sobreyección natural.${\displaystyle V\to V/W}$. Dado que V es semisimple, p se divide y, por lo tanto, a través de una sección,${\displaystyle V/W}$es isomorfo a una subrepresentación que es complementaria a W.

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$: Primero observaremos que toda subrepresentación no nula W tiene una subrepresentación simple. Reduciendo W a una subrepresentación cíclica (no nula) podemos suponer que es finitamente generada. Entonces tiene una subrepresentación máxima U. Por la condición 3.,${\displaystyle V=U\oplus U'}$para algunos${\displaystyle U'}$Por ley modular, implica${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$. Entonces${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$es una subrepresentación simple de W ("simple" debido a la maximalidad). Esto establece la observación. Ahora, tomemos${\displaystyle W}$ser la suma de todas las subrepresentaciones simples, que, por 3., admite una representación complementaria${\displaystyle W'}$. Si${\displaystyle W'\neq 0}$, entonces, por la observación temprana,${\displaystyle W'}$contiene una subrepresentación simple y por lo tanto${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$, una tontería. Por lo tanto,${\displaystyle W'=0}$.

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: ^{[ 7 ]} La implicación es una generalización directa de un hecho básico del álgebra lineal: que se puede extraer una base de un conjunto generador de un espacio vectorial. Es decir, podemos demostrar la siguiente afirmación, un poco más precisa:

• Cuando${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$es una suma de subrepresentaciones simples, una descomposición semisimple${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$algún subconjunto${\displaystyle I'\subset I}$, se puede extraer de la suma.

Como en la demostración del lema, podemos encontrar una suma directa máxima.${\displaystyle W}$que consta de algunos${\displaystyle V_{i}}$'s. Ahora, para cada i en I , por simplicidad, o bien${\displaystyle V_{i}\subset W}$o${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$En el segundo caso, la suma directa${\displaystyle W\oplus V_{i}}$es una contradicción a la maximalidad de W. Por lo tanto,${\displaystyle V_{i}\subset W}$.${\displaystyle \square }$

La descomposición de una representación semisimple en representaciones simples, denominada descomposición semisimple, no tiene por qué ser única; por ejemplo, para una representación trivial, las representaciones simples son espacios vectoriales unidimensionales y, por lo tanto, una descomposición semisimple equivale a la elección de una base del espacio vectorial de representación. ^{[ 16 ]} La descomposición isotípica , por otro lado, es un ejemplo de descomposición única. ^{[ 17 ]}

Sin embargo, para una representación semisimple de dimensión finita V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los números de representaciones simples salvo isomorfismo que aparecen en la descomposición de V (1) son únicos y (2) determinan completamente la representación salvo isomorfismo; ^{[ 18 ]} esto es una consecuencia del lema de Schur de la siguiente manera. Supongamos que se da una representación semisimple de dimensión finita V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado: por definición, es una suma directa de representaciones simples. Al agrupar en la descomposición las representaciones simples que son isomorfas entre sí, salvo isomorfismo, se encuentra una descomposición (no necesariamente única): ^{[ 18 ]}

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

dónde${\displaystyle V_{i}}$son representaciones simples, mutuamente no isomorfas entre sí, y${\displaystyle m_{i}}$son enteros positivos . Por el lema de Schur,

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$se refiere a las aplicaciones lineales equivariantes . Además, cada${\displaystyle m_{i}}$no cambia si${\displaystyle V_{i}}$es reemplazado por otra representación simple isomorfa a${\displaystyle V_{i}}$. Por lo tanto, los números enteros${\displaystyle m_{i}}$son independientes de las descomposiciones elegidas; son las multiplicidades de representaciones simples${\displaystyle V_{i}}$, salvo isomorfismo, en V . ^{[ 19 ]}

En general, dada una representación de dimensión finita${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$de un grupo G sobre un cuerpo k , la composición${\displaystyle \chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k}$se llama el carácter de${\displaystyle (\pi ,V)}$. ^{[ 20 ]} Cuando${\displaystyle (\pi ,V)}$es semisimple con la descomposición${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$como se indicó anteriormente, el rastro${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$es la suma de las trazas de${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$con multiplicidades y por lo tanto, como funciones en G ,

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

dónde${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$son los personajes de${\displaystyle V_{i}}$. Cuando G es un grupo finito o, más generalmente, un grupo compacto y${\displaystyle V}$es una representación unitaria con el producto interno dado por el argumento de promediación, las relaciones de ortogonalidad de Schur dicen: ^{[ 21 ]} los caracteres irreducibles (caracteres de representaciones simples) de G son un subconjunto ortonormal del espacio de funciones de valor complejo en G y por lo tanto${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$.

Existe una descomposición de una representación semisimple que es única, llamada descomposición isotípica de la representación. Por definición, dada una representación simple S , el componente isotípico de tipo S de una representación V es la suma de todas las subrepresentaciones de V que son isomorfas a S ; ^{[ 17 ]} obsérvese que el componente también es isomorfo a la suma directa de alguna elección de subrepresentaciones isomorfas a S (por lo que el componente es único, mientras que los sumandos no necesariamente lo son).

Entonces, la descomposición isotípica de una representación semisimple V es la descomposición de suma directa (única): ^{[ 17 ] [ 22 ]}

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

dónde${\displaystyle {\widehat {G}}}$es el conjunto de clases de isomorfismo de representaciones simples de G y${\displaystyle V^{\lambda }}$es el componente isotípico de V de tipo S para algunos${\displaystyle S\in \lambda }$.

En el análisis de Fourier , una función (buena) se descompone como el límite de la serie de Fourier de la función. De manera muy similar, una representación en sí misma puede no ser semisimple, pero puede ser la completación (en un sentido adecuado) de una representación semisimple. El caso más básico de esto es el teorema de Peter-Weyl , que descompone la representación regular izquierda (o derecha) de un grupo compacto en la completación en el espacio de Hilbert de la suma directa de todas las representaciones unitarias simples. Como corolario , ^{[ 23 ]} existe una descomposición natural para${\displaystyle W=L^{2}(G)}$= el espacio de Hilbert de (clases de) funciones de cuadrado integrable en un grupo compacto G :

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

dónde${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$significa la finalización de la suma directa y la suma directa se extiende sobre todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias simples de dimensión finita.${\displaystyle (\pi ,V)}$de G. [ ^{nota 1 ]} Nótese aquí que toda representación unitaria simple (salvo un isomorfismo) aparece en la suma con multiplicidad igual a la dimensión de la representación ^.

Cuando el grupo G es un grupo finito, el espacio vectorial${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$es simplemente el álgebra de grupo de G y también la completación es vacía. Por lo tanto, el teorema simplemente dice que

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

Es decir, cada representación simple de G aparece en la representación regular con multiplicidad igual a la dimensión de la representación. ^{[ 24 ]} Este es uno de los hechos estándar en la teoría de representaciones de un grupo finito (y es mucho más fácil de demostrar).

Cuando el grupo G es el grupo del círculo${\displaystyle S^{1}}$, el teorema equivale exactamente al análisis de Fourier clásico. ^{[ 25 ]}

En mecánica cuántica y física de partículas , el momento angular de un objeto puede describirse mediante representaciones complejas del grupo de rotación SO(3) , todas las cuales son semisimples. ^{[ 26 ]} Debido a la conexión entre SO(3) y SU(2) , el espín no relativista de una partícula elemental se describe mediante representaciones complejas de SU(2) y el espín relativista se describe mediante representaciones complejas de SL ₂ ( C ) , todas las cuales son semisimples. ^{[ 26 ]} En el acoplamiento del momento angular , los coeficientes de Clebsch-Gordan surgen de las multiplicidades de representaciones irreducibles que aparecen en la descomposición semisimple de un producto tensorial de representaciones irreducibles. ^{[ 27 ]}