Superficie K3 supersingular

En geometría algebraica , una superficie K3 supersingular es una superficie K3 sobre un campo k de característica p > 0 tal que las pendientes de Frobenius en la cohomología cristalina H ² ( X , W ( k )) son todas iguales a 1. ^[1] Estas también se han llamado superficies K3 supersingulares de Artin . Las superficies K3 supersingulares pueden considerarse las más especiales e interesantes de todas las superficies K3.

De manera más general, una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo de característica p > 0 se llama supersingular si todas las pendientes de Frobenius sobre la cohomología cristalina H ^a ( X , W ( k )) son iguales a a /2, para todo a . En particular, esto da la noción estándar de una variedad abeliana supersingular . Para una variedad X sobre un cuerpo finito F _q , es equivalente a decir que los valores propios de Frobenius sobre la cohomología l-ádica H ^a ( X , Q _l ) son iguales a q ^{a /2} por raíces de la unidad. De ello se deduce que cualquier variedad en característica positiva cuya cohomología l -ádica se genera por ciclos algebraicos es supersingular.

Una superficie K3 cuya cohomología l -ádica se genera mediante ciclos algebraicos se denomina a veces superficie K3 supersingular de Shioda . Dado que el segundo número de Betti de una superficie K3 es siempre 22, esta propiedad significa que la superficie tiene 22 elementos independientes en su grupo de Picard (ρ = 22). De lo que hemos dicho, una superficie K3 con número de Picard 22 debe ser supersingular.

Por el contrario, la conjetura de Tate implicaría que cada superficie supersingular K3 sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tiene número de Picard 22. Esto ahora se sabe en cada característica p excepto 2, ya que la conjetura de Tate fue probada para todas las superficies K3 en la característica p al menos 3 por Nygaard-Ogus (1985), Maulik (2014), Charles (2013) y Madapusi Pera (2013).

Para ver que las superficies K3 con número de Picard 22 existen solo en característica positiva, se puede usar la teoría de Hodge para demostrar que el número de Picard de una superficie K3 en característica cero es como máximo 20. De hecho, el diamante de Hodge para cualquier superficie K3 compleja es el mismo (ver clasificación ), y la fila del medio lee 1, 20, 1. En otras palabras, h ^2,0 y h ^0,2 toman ambas el valor 1, con h ^1,1 = 20. Por lo tanto, la dimensión del espacio abarcado por los ciclos algebraicos es como máximo 20 en característica cero; las superficies con este valor máximo a veces se denominan superficies K3 singulares .

Otro fenómeno que solo puede ocurrir en característica positiva es que una superficie K3 puede ser uniracional . Michael Artin observó que cada superficie K3 uniracional sobre un cuerpo algebraicamente cerrado debe tener número de Picard 22. (En particular, una superficie K3 uniracional debe ser supersingular). Por el contrario, Artin conjeturó que cada superficie K3 con número de Picard 22 debe ser uniracional. ^[2] La conjetura de Artin fue demostrada en característica 2 por Rudakov y Shafarevich (1978). Las pruebas en cada característica p al menos 5 fueron reclamadas por Liedtke (2013) y Lieblich (2014), pero luego refutadas por Bragg y Lieblich (2022).

El primer ejemplo de una superficie K3 con número de Picard 22 fue dado por Tate (1965), quien observó que la ecuación cuártica de Fermat

w4 + x4 + y4 + z4 = ^0​​​

tiene número de Picard 22 sobre cuerpos algebraicamente cerrados de característica 3 módulo 4. Luego Shioda demostró que la superficie modular elíptica de nivel 4 (la curva elíptica generalizada universal E (4) → X (4)) en característica 3 módulo 4 es una superficie K3 con número de Picard 22, como lo es la superficie de Kummer del producto de dos curvas elípticas supersingulares en característica impar. Shimada (2004, 2004b) demostró que todas las superficies K3 con número de Picard 22 son dobles recubrimientos del plano proyectivo . En el caso de característica 2, el doble recubrimiento puede necesitar ser un recubrimiento inseparable .

El discriminante de la forma de intersección en el grupo de Picard de una superficie K3 con número de Picard 22 es una potencia par

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de la característica p , como lo demostraron Artin y Milne . Aquí e se denomina invariante de Artin de la superficie K3. Artin demostró que

1 ≤ e ≤ 10.

Existe una estratificación de Artin correspondiente de los espacios de módulos de superficies K3 supersingulares, que tienen dimensión 9. El subespacio de superficies K3 supersingulares con invariante de Artin e tiene dimensión e − 1.

En la característica 2,

z ² = f ( x , y ) ,

Para un polinomio suficientemente general f ( x , y ) de grado 6, se define una superficie con 21 singularidades aisladas. El modelo mínimo proyectivo suave de dicha superficie es una superficie uniracional K3 y, por lo tanto, una superficie K3 con número de Picard 22. El invariante de Artin más grande aquí es 10.

De manera similar, en la característica 3,

z ³ = g ( x , y ) ,

Para un polinomio suficientemente general g ( x , y ) de grado 4, se define una superficie con 9 singularidades aisladas. El modelo mínimo proyectivo suave de dicha superficie es nuevamente una superficie uniracional K3 y, por lo tanto, una superficie K3 con número de Picard 22. El invariante de Artin más alto en esta familia es 6.

Dolgachev y Kondō (2003) describieron en detalle la superficie supersingular K3 en la característica 2 con el número de Artin 1.

Si la característica p es mayor que 2, Ogus (1979) demostró que toda superficie K3 S con número de Picard 22 e invariante de Artin como máximo 2 es una superficie de Kummer, es decir, la resolución mínima del cociente de una superficie abeliana A por la función x ↦ − x . Más precisamente, A es una superficie abeliana supersingular, isógena al producto de dos curvas elípticas supersingulares.

• Superficie K3
• Conjetura de Tate

• Artin, Michael (1974), "Supersingular K3 Surfaces", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 543–567, SEÑOR  0371899
• Bragg, Daniel; Lieblich, Max (2022), "Puntos perfectos en curvas de género 1 y consecuencias para superficies K3 supersingulares", Compositio Mathematica , 158 : 1052–1083, arXiv : 1904.04803 , doi :10.1112/S0010437X22007382
• Charles, F. (2013), "La conjetura de Tate para superficies K3 sobre cuerpos finitos", Inventiones Mathematicae , 194 : 119–145, arXiv : 1206.4002 , Bibcode :2013InMat.194..119C, doi :10.1007/s00222-012-0443-y, MR  3103257
• Dolgachev, I.; Kondō, S. (2003), "Una superficie K3 supersingular en la característica 2 y la red Leech", Int. Math. Res. Not. (1): 1–23, arXiv : math/0112283 , Bibcode :2001math.....12283D, MR  1935564
• Lieblich, M. (2014), Sobre la uniracionalidad de superficies K3 supersingulares , arXiv : 1403.3073 , Bibcode :2014arXiv1403.3073L
• Liedtke, C. (2013), "Las superficies supersingulares K3 son uniracionales", Inventiones Mathematicae , 200 : 979–1014, arXiv : 1304.5623 , Bibcode : 2015InMat.200..979L, doi : 10.1007/s00222-014-0547-7
• Liedtke, Christian (2016), "Conferencias sobre superficies K3 supersingulares y el teorema de Torelli cristalino", Superficies K3 y sus módulos , Progress in Mathematics, vol. 315, Birkhauser, págs. 171–235, arXiv : 1403.2538 , Bibcode :2014arXiv1403.2538L
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• Maulik, D. (2014), "Superficies K3 supersingulares para primos grandes", Duke Mathematical Journal , 163 : 2357–2425, arXiv : 1203.2889 , Bibcode :2012arXiv1203.2889M, doi :10.1215/00127094-2804783, MR  3265555
• Nygaard, N.; Ogus, A. (1985), "Conjetura de Tate para superficies K3 de altura finita", Annals of Mathematics , 122 : 461–507, doi :10.2307/1971327, JSTOR  1971327, MR  0819555
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• Shimada, Ichiro (2004), "Superficies K3 supersingulares en característica 2 como cubiertas dobles de un plano proyectivo" (PDF) , The Asian Journal of Mathematics , 8 (3): 531–586, arXiv : math/0311073 , Bibcode :2003math.....11073S, doi :10.4310/ajm.2004.v8.n3.a8, MR  2129248, archivado desde el original (PDF) el 20 de julio de 2006
• Shimada, Ichiro (2004b), "Superficies K3 supersingulares en planos dobles séxticos y característicos impares", Mathematische Annalen , 328 (3): 451–468, arXiv : math/0309451 , doi :10.1007/s00208-003-0494-x, MR  2036331
• Shioda, Tetsuji (1979), "Superficies K3 supersingulares", Geometría algebraica (Proc. Summer Meeting, Univ. Copenhagen, Copenhague, 1978) , Lecture Notes in Math., vol. 732, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 564–591, doi :10.1007/BFb0066664, MR  0555718
• Tate, John T. (1965), "Ciclos algebraicos y polos de funciones zeta", Geometría algebraica aritmética (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Nueva York: Harper & Row, págs. 93-110, MR  0225778