Grupo supersoluble

En matemáticas , un grupo es supersoluble si tiene una serie normal invariante cuyos factores son todos grupos cíclicos . La supersolubilidad es más fuerte que la noción de solubilidad .

Sea G un grupo . G es supersoluble si existe una serie normal.

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G}$

de tal manera que cada grupo cociente${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\;}$es cíclico y cada${\displaystyle H_{i}}$es normal en${\displaystyle G}$.

Por el contrario, para un grupo resoluble la definición requiere que cada cociente sea abeliano . En otra dirección, un grupo policíclico debe tener una serie subnormal con cada cociente cíclico, pero no hay ningún requisito de que cada${\displaystyle H_{i}}$ser normal en${\displaystyle G}$Como todo grupo finito resoluble es policíclico, esto puede considerarse una de las diferencias clave entre las definiciones. Por ejemplo concreto, el grupo alternante de cuatro puntos,${\displaystyle A_{4}}$, es resoluble pero no superresoluble.

Algunos datos sobre los grupos supersolubles:

• Los grupos supersolubles son siempre policíclicos y, por lo tanto, solubles .
• Todo grupo nilpotente generado de forma finita es supersoluble.
• Todos los grupos metacíclicos son supersolubles.
• El subgrupo conmutador de un grupo supersoluble es nilpotente.
• Los subgrupos y los grupos cociente de grupos supersolubles son supersolubles.
• Un grupo supersoluble finito tiene una serie normal invariante con cada factor cíclico de orden primo.
• De hecho, los números primos pueden elegirse en un orden adecuado: para cada primo p, y para π el conjunto de primos mayores que p, existe un grupo supersoluble finito con un único subgrupo de Hall π . Dichos grupos se denominan a veces grupos de torre de Sylow ordenados.
• Todo grupo de orden libre de cuadrados , y todo grupo con subgrupos de Sylow cíclicos (un grupo Z ), es supersoluble.
• Toda representación compleja irreducible de un grupo supersoluble finito es monomial, es decir, inducida por el carácter lineal de un subgrupo. En otras palabras, todo grupo supersoluble finito es un grupo monomial .
• Todo subgrupo maximal en un grupo supersoluble tiene índice primo .
• Un grupo finito es supersoluble si y solo si cada subgrupo maximal tiene índice primo.
• Un grupo finito es supersoluble si y solo si toda cadena máxima de subgrupos tiene la misma longitud. Esto es importante para quienes se interesan en el retículo de subgrupos de un grupo, y a veces se le denomina condición de cadena de Jordan-Dedekind .
• Además, un grupo finito es supersoluble si y solo si su retículo de subgrupos es un retículo supersoluble , lo que supone un fortalecimiento significativo de la condición de cadena de Jordan-Dedekind.
• Según el teorema de Baum , todo grupo finito supersoluble tiene un algoritmo DFT que se ejecuta en tiempo O ( n log n ).