Superestadística

La superestadística ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una rama de la mecánica estadística o física estadística dedicada al estudio de sistemas no lineales y fuera del equilibrio . Se caracteriza por utilizar la superposición de múltiples modelos estadísticos diferentes para lograr la no linealidad deseada. En términos de ideas estadísticas ordinarias, esto es equivalente a la composición de las distribuciones de variables aleatorias y puede considerarse un caso simple de un modelo doblemente estocástico .

Consideremos ^{[ 3 ]} un sistema termodinámico extendido que se encuentra localmente en equilibrio y tiene una distribución de Boltzmann , es decir, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado con energía${\displaystyle E}$es proporcional a${\displaystyle \exp(-\beta E)}$. Aquí${\displaystyle \beta }$es la temperatura inversa local. Un sistema termodinámico de no equilibrio se modela considerando fluctuaciones macroscópicas de la temperatura inversa local. Estas fluctuaciones ocurren en escalas de tiempo mucho mayores que los tiempos de relajación microscópicos a la distribución de Boltzmann. Si las fluctuaciones de${\displaystyle \beta }$se caracterizan por una distribución${\displaystyle f(\beta )}$, el factor de Boltzmann superestadístico del sistema viene dado por

${\displaystyle B(E)=\int _{0}^{\infty }d\beta f(\beta )\exp(-\beta E).}$

Esto define la función de partición superestadística.

${\displaystyle Z=\sum _ {i=1}^{W}B(E_{i})}$

para sistemas que pueden asumir estados de energía discretos${\displaystyle \{E_{i}\}_{i=1}^{W}}$. La probabilidad de encontrar el sistema en estado${\displaystyle E_{i}}$entonces se da por

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}B(E_{i}).}$

Modelado de las fluctuaciones de${\displaystyle \beta }$conduce a una descripción en términos de estadística de la estadística de Boltzmann, o "superestadística". Por ejemplo, si${\displaystyle \beta }$Si sigue una distribución Gamma, la superestadística resultante corresponde a la estadística de Tsallis. ^{[ 4 ]} La superestadística también puede conducir a otras estadísticas, como distribuciones de ley de potencias o exponenciales estiradas. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Cabe señalar que la palabra «super» aquí se refiere a la superposición de las estadísticas.

Esta rama está estrechamente relacionada con la familia exponencial y la mezcla . Estos conceptos se utilizan en muchos métodos de aproximación, como el filtrado de partículas (donde la distribución se aproxima mediante funciones delta), por ejemplo.

• estadística de Maxwell-Boltzmann
• EGD Cohen