Superficie

El área superficial (símbolo A ) de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. ^{[ 1 ]} La definición matemática del área superficial en presencia de superficies curvas es considerablemente más compleja que la definición de la longitud de arco de curvas unidimensionales, o del área superficial para poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas ), para los cuales el área superficial es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera , se les asigna un área superficial utilizando su representación como superficies paramétricas . Esta definición de área superficial se basa en métodos de cálculo infinitesimal e implica derivadas parciales e integración doble .

Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general de área superficial a principios del siglo XX. Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría geométrica de la medida , que estudia diversas nociones de área superficial para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.

Aunque las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa de área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

que asigna un número real positivo a una cierta clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área de superficie es su aditividad : el área del todo es la suma de las áreas de las partes . De manera más rigurosa, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S ₁ , ..., S _r que no se superponen excepto en sus límites, entonces

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

Las áreas superficiales de las formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente . Dado que el área superficial es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser iguales y el área debe depender únicamente de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área superficial es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos . Estas propiedades caracterizan de forma única el área superficial para una amplia clase de superficies geométricas llamadas superficies lisas por partes . Dichas superficies constan de un número finito de piezas que pueden representarse en la forma paramétrica.

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

con una función continuamente diferenciable${\displaystyle {\vec {r}}.}$El área de una pieza individual se define mediante la fórmula

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

De esta forma, el área de S _D se obtiene integrando la longitud del vector normal.${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$a la superficie sobre la región apropiada D en el plano paramétrico uv . El área de toda la superficie se obtiene sumando las áreas de las partes, utilizando la aditividad de áreas superficiales. La fórmula principal se puede especializar a diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de gráficas z = f ( x , y ) y superficies de revolución .

Una de las sutilezas del área superficial, en comparación con la longitud de arco de las curvas, es que el área superficial no puede definirse simplemente como el límite de las áreas de figuras poliédricas que se aproximan a una superficie lisa dada. Hermann Schwarz demostró que, incluso para el cilindro, diferentes elecciones de superficies planas aproximadas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como la linterna de Schwarz . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

A finales del siglo XIX y principios del XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron diversos enfoques para una definición general de área superficial. Si bien para superficies lisas por partes existe una noción natural única de área superficial, si una superficie es muy irregular o rugosa, puede resultar imposible asignarle un área. Un ejemplo típico es una superficie con púas densamente distribuidas. Muchas superficies de este tipo aparecen en el estudio de los fractales . En la teoría geométrica de la medida se estudian extensiones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares. Un ejemplo específico de dicha extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.

La superficie específica es importante en la cinética química . Generalmente, aumentar la superficie específica de una sustancia incrementa la velocidad de una reacción química . Por ejemplo, el hierro en polvo fino se quema , ^{[ 5 ]} mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable como para utilizarse en estructuras. Para diferentes aplicaciones, puede ser deseable una superficie específica mínima o máxima.

El área de superficie de un organismo es importante en varias consideraciones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión . ^{[ 7 ]} Los animales usan sus dientes para triturar el alimento en partículas más pequeñas, aumentando el área de superficie disponible para la digestión. ^{[ 8 ]} El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades , lo que aumenta considerablemente el área disponible para la absorción. ^{[ 9 ]} Los elefantes tienen orejas grandes , lo que les permite regular su propia temperatura corporal. ^{[ 10 ]} En otros casos, los animales necesitarán minimizar el área de superficie; ^{[ 11 ]} por ejemplo, las personas cruzan los brazos sobre el pecho cuando tienen frío para minimizar la pérdida de calor.

La relación superficie-volumen (SA:V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que la superficie, limitando así la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular hacia los espacios intersticiales o hacia otras células. ^{[ 12 ]} De hecho, representando una célula como una esfera idealizada de radio r , el volumen y la superficie son, respectivamente, V = (4/3) πr ³ y SA = 4 πr ² . La relación superficie-volumen resultante es, por lo tanto, 3/ r . Así, si una célula tiene un radio de 1 μm, la relación SA:V es 3; mientras que si el radio de la célula es en cambio 10 μm, entonces la relación SA:V se convierte en 0,3. Con un radio celular de 100, la relación SA:V es 0,03. Por lo tanto, la superficie disminuye drásticamente con el aumento del volumen.

• Longitud del perímetro
• Área proyectada
• Teoría BET , técnica para la medición del área superficial específica de los materiales.
• Área esférica
• Integral de superficie

• Yu.D. Burago ; VA Zalgaller ; LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Área" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Vídeo sobre superficie en Thinkwell