Cuerpo de brillo constante

En geometría convexa , un cuerpo de brillo constante es un conjunto convexo tridimensional cuyas proyecciones bidimensionales tienen todas la misma área. Una esfera es un cuerpo de brillo constante, pero existen otros. Los cuerpos de brillo constante son una generalización de las curvas de ancho constante , pero no son lo mismo que otra generalización, las superficies de ancho constante .

El nombre proviene de interpretar el cuerpo como un cuerpo brillante con luminancia isotrópica , de modo que una fotografía (con el enfoque en el infinito) del cuerpo tomada desde cualquier ángulo tendría la misma energía luminosa total incidiendo sobre la foto.

Un cuerpo tiene brillo constante si y solo si las curvaturas gaussianas recíprocas en pares de puntos de tangencia opuestos de planos de soporte paralelos tienen sumas casi iguales en todas partes. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Según un análogo del teorema de Barbier , todos los cuerpos de brillo constante que tienen la misma área proyectada${\displaystyle A}$ya que cada uno tiene la misma superficie,${\displaystyle \textstyle {\sqrt {A/\pi }}}$. ^{[ 1 ]} Esto se puede demostrar mediante la fórmula de Crofton .

El primer cuerpo conocido de brillo constante que no es una esfera fue construido por Wilhelm Blaschke en 1915. Su límite es una superficie de revolución de un triángulo curvo (pero no el triángulo de Reuleaux ). Es lisa excepto en un círculo y en un punto aislado donde es atravesada por el eje de revolución. El círculo separa dos parches de geometría diferente: uno de estos dos parches es una calota esférica y el otro forma parte de un balón de fútbol americano , una superficie de curvatura gaussiana constante con una punta afilada. Pares de planos de soporte paralelos a este cuerpo tienen un plano tangente a un punto singular (con curvatura recíproca cero) y el otro tangente a uno de estos dos parches, los cuales tienen la misma curvatura. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Entre los cuerpos de revolución de brillo constante, la forma de Blaschke (también llamada cuerpo de Blaschke-Firey) es la de volumen mínimo, y la esfera es la de volumen máximo. ^{[ 3 ]}

Se pueden obtener ejemplos adicionales combinando múltiples cuerpos de brillo constante mediante la suma de Blaschke , una operación sobre cuerpos convexos que preserva la propiedad de tener brillo constante. ^{[ 3 ]}

Una curva de anchura constante en el plano euclidiano posee una propiedad análoga: todas sus proyecciones unidimensionales tienen la misma longitud. En este sentido, los cuerpos de brillo constante son una generalización tridimensional de este concepto bidimensional, diferente de las superficies de anchura constante . ^{[ 1 ]}

Desde el trabajo de Blaschke, se ha conjeturado que la única forma que posee brillo y anchura constantes es una esfera. Esto fue formulado explícitamente por Soji Nakajima en 1926, y se conoció como el problema de Nakajima . El propio Nakajima demostró la conjetura bajo el supuesto adicional de que el contorno de la forma es liso. Una demostración completa de la conjetura fue publicada en 2006 por Ralph Howard. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}