Grupo Ree

En matemáticas , un grupo de Ree es un grupo de tipo Lie sobre un cuerpo finito . Reciben su nombre de Rimhak Ree , quien los construyó a partir de un automorfismo excepcional de un diagrama de Dynkin que invierte la dirección de los enlaces múltiples, generalizando así los grupos de Suzuki hallados por Suzuki mediante un método diferente. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Fueron la última de las familias infinitas de grupos simples finitos en ser descubiertas.

A diferencia de los grupos de Steinberg , los grupos de Ree no se definen mediante los puntos de un grupo algebraico reductivo conexo definido sobre un cuerpo finito; en otras palabras, no existe un "grupo algebraico de Ree" relacionado con los grupos de Ree de la misma manera que (por ejemplo) los grupos unitarios se relacionan con los grupos de Steinberg. Sin embargo, existen algunos grupos algebraicos pseudoreductivos exóticos sobre cuerpos no perfectos cuya construcción está relacionada con la construcción de los grupos de Ree, ya que utilizan los mismos automorfismos exóticos de los diagramas de Dynkin que modifican la longitud de las raíces.

Tits definió grupos de Ree sobre cuerpos infinitos de características 2 y 3. ^{[ 3 ]} Tits ^{[ 4 ]} y Hée ^{[ 5 ]} introdujeron grupos de Ree de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita .

Si X es un diagrama de Dynkin , Chevalley construyó grupos algebraicos divididos correspondientes a X , en particular dando grupos X ( F ) con valores en un cuerpo F . Estos grupos tienen los siguientes automorfismos:

• Cualquier endomorfismo σ del cuerpo F induce un endomorfismo α _σ del grupo X ( F ).
• Cualquier automorfismo π del diagrama de Dynkin induce un automorfismo α _π del grupo X ( F ) .

Los grupos de Steinberg y Chevalley pueden construirse como puntos fijos de un endomorfismo de X ( F ) para F , la clausura algebraica de un cuerpo. Para los grupos de Chevalley, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius de F , mientras que para los grupos de Steinberg el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius multiplicado por un automorfismo del diagrama de Dynkin.

Sobre cuerpos de característica 2, los grupos B ₂ ( F ) y F ₄ ( F ) y sobre cuerpos de característica 3, los grupos G ₂ ( F ) tienen un endomorfismo cuyo cuadrado es el endomorfismo α _φ asociado al endomorfismo de Frobenius φ del cuerpo F . En términos generales, este endomorfismo α _π proviene del automorfismo de orden 2 del diagrama de Dynkin donde se ignoran las longitudes de las raíces.

Supongamos que el cuerpo F tiene un endomorfismo σ cuyo cuadrado es el endomorfismo de Frobenius: σ ² = φ . Entonces el grupo de Ree se define como el grupo de elementos g de X ( F ) tales que α _π ( g ) = α _σ ( g ) . Si el cuerpo F es perfecto, entonces α _π y α _φ son automorfismos, y el grupo de Ree es el grupo de puntos fijos de la involución α _φ /α _π de X ( F ) .

En el caso de que F sea un cuerpo finito de orden p ^k (con p = 2 o 3), existe un endomorfismo con cuadrado igual al Frobenius exactamente cuando k = 2 n + 1 es impar, en cuyo caso es único. Por lo tanto, esto da los grupos de Ree finitos como subgrupos de B ₂ (2 ^{2 n +1} ), F ₄ (2 ^{2 n +1} ) y G ₂ (3 ^{2 n +1} ) fijados por una involución.

La relación entre los grupos de Chevalley, el grupo de Steinberg y los grupos de Ree es aproximadamente la siguiente. Dado un diagrama de Dynkin X , Chevalley construyó un esquema de grupo sobre los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$cuyos valores sobre cuerpos finitos son los grupos de Chevalley. En general, se pueden tomar los puntos fijos de un endomorfismo α de X ( F ) donde F es la clausura algebraica de un cuerpo finito, de tal manera que alguna potencia de α es alguna potencia del endomorfismo de Frobenius φ. Los tres casos son los siguientes:

• Para los grupos de Chevalley, α = φ ⁿ para algún entero positivo n . En este caso, el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de X definidos sobre un cuerpo finito.
• Para los grupos de Steinberg, α ^m = φ ⁿ para algunos enteros positivos m , n con m dividiendo a n y m > 1. En este caso, el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de una forma retorcida (cuasisplit) de X definida sobre un cuerpo finito.
• Para los grupos de Ree, α ^m = φ ⁿ para algunos enteros positivos m , n con m no divisible por n . En la práctica, m = 2 y n es impar. Los grupos de Ree no se definen como los puntos de algún grupo algebraico conexo con valores en un cuerpo. Son los puntos fijos de un automorfismo de orden m = 2 de un grupo definido sobre un cuerpo de orden p ⁿ con n impar, y no existe un cuerpo correspondiente de orden p ^{n /2} (aunque algunos autores pretenden que sí en su notación para los grupos).

Los grupos de Ree de tipo ² B ₂ fueron encontrados por primera vez por Suzuki usando un método diferente, y generalmente se les llama grupos de Suzuki . ^{[ 6 ]} Ree notó que podían construirse a partir de los grupos de tipo B ₂ usando una variación de la construcción de Steinberg . ^{[ 7 ]} Ree se dio cuenta de que una construcción similar podía aplicarse a los diagramas de Dynkin F ₄ y G ₂ , lo que dio lugar a dos nuevas familias de grupos simples finitos.

Los grupos de Ree de tipo ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) fueron introducidos por Ree, ^{[ 1 ]} quien demostró que todos son simples excepto el primero ² G ₂ (3), que es isomorfo al grupo de automorfismos de SL ₂ (8) . Wilson dio una construcción simplificada de los grupos de Ree, ^{[ 8 ]} como los automorfismos de un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el cuerpo con 3 ^{2 n +1} elementos que preservan una forma bilineal, una forma trilineal y un producto que satisface una ley de linealidad retorcida.

El grupo de Ree tiene orden q ³ ( q ³ + 1)( q − 1) , donde q = 3 ^{2 n +1} .

El multiplicador de Schur es trivial para n  ≥  1 y para ² G ₂ (3)′.

El grupo de automorfismos externos es cíclico de orden  2 n  +  1.

El grupo de Ree también se denota ocasionalmente por Ree( q ), R( q ) o E2 _* ⁽ q ) .

El grupo de Ree ² G ₂ ( q ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en q ³ + 1 puntos, y más precisamente actúa como automorfismos de un sistema de Steiner S(2, q +1, q ³ +1) . También actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el cuerpo con q elementos, ya que es un subgrupo de G ₂ ( q ).

Los subgrupos 2-sylow de los grupos de Ree son abelianos elementales de orden 8. El teorema de Walter muestra que los únicos otros grupos simples finitos no abelianos con subgrupos 2-sylow abelianos son los grupos lineales especiales proyectivos en dimensión 2 y el grupo de Janko J1 . Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL ₂ (5) Janko encontró el grupo esporádico J ₁ . Kleidman determinó sus subgrupos maximales. ^{[ 9 ]} 

Los grupos de Ree de tipo ² G ₂ son excepcionalmente difíciles de caracterizar. Thompson estudió este problema, ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} y pudo demostrar que la estructura de dicho grupo está determinada por un cierto automorfismo σ de un cuerpo finito de característica 3, y que si el cuadrado de este automorfismo es el automorfismo de Frobenius, entonces el grupo es el grupo de Ree. También dio algunas condiciones complejas que satisface el automorfismo σ . Finalmente, Bombieri usó la teoría de eliminación para demostrar que las condiciones de Thompson implicaban que σ ² = 3 en todos los casos excepto en 178 casos pequeños, ^{[ 13 ]} que fueron eliminados usando una computadora por Odlyzko y Hunt. Bombieri descubrió este problema después de leer un artículo sobre la clasificación de Gorenstein , ^{[ 14 ]} quien sugirió que alguien ajeno a la teoría de grupos podría ayudar a resolverlo. Enguehard dio una explicación unificada de la solución de este problema por Thompson y Bombieri. ^{[ 15 ]}

Los grupos de Ree de tipo ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) fueron introducidos por Ree. ^{[ 2 ]} Son simples excepto el primero ² F ₄ (2) , que Tits demostró que tiene un subgrupo simple de índice 2, ahora conocido como el grupo de Tits . ^{[ 16 ]} Wilson dio una construcción simplificada de los grupos de Ree como las simetrías de un espacio de 26 dimensiones sobre el cuerpo de orden 2 ^{2 n +1} que preserva una forma cuadrática, una forma cúbica y una multiplicación parcial. ^{[ 17 ]}

El grupo de Ree ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) tiene orden q ¹² ( q ⁶  +  1) ( q ⁴  −  1) ( q ³  +  1) ( q  −  1) donde q = 2 ^{2 n +1} . El multiplicador de Schur es trivial. El grupo de automorfismos externos es cíclico de orden  2 n  +  1.

Estos grupos de Ree tienen la propiedad inusual de que el grupo de Coxeter de su par BN no es cristalográfico: es el grupo diedral de orden 16. Tits demostró que todos los octágonos de Moufang provienen de grupos de Ree de tipo ² F ₄ . ^{[ 18 ]}

• Lista de grupos simples finitos

• ATLAS: Grupo Ree R(27)