Categoría monoidal simétrica

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría en la que un "producto tensorial"${\displaystyle \otimes }$se define) de tal manera que el producto tensorial sea simétrico (es decir,${\displaystyle A\otimes B}$es, en cierto sentido estricto, naturalmente isomorfo a${\displaystyle B\otimes A}$para todos los objetos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de la categoría). Uno de los ejemplos prototípicos de una categoría monoidal simétrica es la categoría de espacios vectoriales sobre algún cuerpo fijo k, utilizando el producto tensorial ordinario de espacios vectoriales .

Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) tal que, para cada par A , B de objetos en C , existe un isomorfismo${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$llamado mapa de intercambio ^{[ 1 ]} que es natural tanto en A como en B y tal que los siguientes diagramas conmutan:

• La coherencia de la unidad:

  

• La coherencia asociativa:

  

• La ley inversa:

  

En los diagramas anteriores, a , l y r representan, respectivamente, el isomorfismo de asociatividad, el isomorfismo de unidad izquierda y el isomorfismo de unidad derecha.

Algunos ejemplos y contraejemplos de categorías monoidales simétricas:

• La categoría de conjuntos . El producto tensorial es el producto cartesiano de la teoría de conjuntos , y cualquier conjunto unitario puede fijarse como el objeto unidad.
• La categoría de grupos . El producto tensorial es el producto directo de grupos , y el grupo trivial es el objeto unitario.
• En términos más generales, cualquier categoría con productos finitos , es decir, una categoría monoidal cartesiana , es monoidal simétrica. El producto tensorial es el producto directo de objetos, y cualquier objeto terminal (producto vacío) es el objeto unidad.
• La categoría de bimódulos sobre un anillo R es monoidal (utilizando el producto tensorial ordinario de módulos ), pero no necesariamente simétrica. Si R es conmutativo , la categoría de R -módulos izquierdos es monoidal simétrica. Esta última clase de ejemplo incluye la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
• Dado un cuerpo k y un grupo (o un álgebra de Lie sobre k ), la categoría de todas las representaciones k -lineales del grupo (o del álgebra de Lie) es una categoría monoidal simétrica. Aquí se utiliza el producto tensorial estándar de representaciones .
• Las categorías ( Ste ,${\displaystyle \circledast }$) y ( Ste ,${\displaystyle \odot }$) de espacios de estereotipos sobre${\displaystyle {\mathbb {C} }}$son monoidales simétricos y además, ( Ste ,${\displaystyle \circledast }$) es una categoría monoidal simétrica cerrada con el functor interno hom.${\displaystyle \oslash }$.

El espacio de clasificación (realización geométrica del nervio ) de una categoría monoidal simétrica es un${\displaystyle E_{\infty }}$espacio, por lo que su completitud de grupo es un espacio de bucle infinito . ^{[ 2 ]}

Una categoría monoidal simétrica de daga es una categoría monoidal simétrica con una estructura de daga compatible .

Un cosmos es una categoría monoidal simétrica cerrada, completa y cocompleta .

En una categoría monoidal simétrica, los isomorfismos naturales${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$son sus propios inversos en el sentido de que${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$. Si abandonamos este requisito (pero seguimos exigiendo que${\displaystyle A\otimes B}$ser naturalmente isomorfo a${\displaystyle B\otimes A}$), obtenemos la noción más general de una categoría monoidal trenzada .

• Categoría de pseudo-tensor

• Categoría monoidal simétrica en el n Lab
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