Categoría de pseudo-tensor

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías , una categoría pseudotensorial es una generalización de una categoría monoidal simétrica (también conocida como categoría tensorial) introducida por A. Beilinson y V. Drinfeld en su libro "Álgebras quirales".

La noción también puede definirse como una operada coloreada o multicategoría . En particular, una categoría pseudotensorial con un solo objeto es lo mismo que una operada .

Una categoría pseudotensorial C consta de los siguientes datos ^{[ 1 ]}

• Una clase de objetos ,
• Para cada conjunto finito${\displaystyle I}$, cada conjunto finito de objetos${\displaystyle X_{i},i\in I}$parametrizado por${\displaystyle I}$y otro objeto${\displaystyle Y}$, el conjunto

  ${\displaystyle P_{I}(\{X_{i}\},Y),}$

• Para cada mapa sobreyectivo${\displaystyle J\to I}$entre conjuntos finitos, conjuntos finitos de objetos${\displaystyle \{Y_{i}\}_{i\in I},\{X_{j}\}_{j\in J}}$y un objeto Z , el mapa

  ${\displaystyle \circ :P_{I}(\{Y_{i}\},Z)\times \prod _{i\in I}P_{\pi ^{-1}(i)}(\{X_{j}\},Y_{i})\to P_{J}(\{X_{j}\},Z),}$

• Para cada objeto${\displaystyle X}$, el elemento${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$en${\displaystyle P_{*}(\{X\},X)}$donde * es un conjunto con un solo elemento,

sujeto a los axiomas de asociatividad y unitaridad

• para mapas sobreyectivos${\displaystyle K\to J}$y${\displaystyle J\to I}$,${\displaystyle \varphi \circ (\psi _ {i}\circ \chi _ {j})=(\varphi \circ \psi _ {i})\circ \chi _ {j}}$,
• ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ \varphi =\varphi \circ \operatorname {id} _{X_{i}}=\varphi }$.

Sea C una categoría pseudotensorial. Para objetos dados${\displaystyle X,Y}$, dejar${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=P_{*}(\{X\},Y)}$. Entonces la clase de objetos en${\displaystyle C}$junto con Hom,${\displaystyle \circ }$y las identidades forman una categoría. Por lo tanto, una categoría pseudotensorial puede pensarse como una categoría junto con datos adicionales. En particular, una categoría es lo mismo que una categoría pseudotensorial con${\displaystyle P_{I}=\emptyset ,\#I>1}$. ^{[ 2 ]}

En el otro extremo, una categoría pseudotensorial con un solo objeto es lo mismo que una operada . ^{[ 3 ]} De hecho, una categoría con un solo objeto es un monoide (semigrupo unitario) y, por lo tanto, una categoría pseudotensorial con un solo objeto es como un monoide pero con varios operadores n-arios. Un conjunto finito${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$En la definición de un pseudotensor, se trata de un conjunto finito no ordenado . Esto equivale a la invariancia bajo un grupo simétrico en la definición de una operada.

Finalmente, sea C una categoría monoidal simétrica. Entonces,

${\displaystyle P_{I}(\{X_{i}\},Y)=\operatorname {Hom} (\otimes _{i\in I}X_{i},Y),}$

lo cual está bien definido ya que C es simétrico. La estructura simétrica-monoidal incluye isomorfismos coherentes.

${\displaystyle \otimes _{j\in J}X_{j}{\overset {\sim }{\to }}\otimes _{i\in I}(\otimes _{j\in \pi ^{-1}(i)}X_{j})}$

lo cual da${\displaystyle \circ }$en la definición de una categoría pseudotensorial. Recíprocamente, una categoría pseudotensorial con tal${\displaystyle \otimes _{i\in I}X_{i}}$y los isomorfismos coherentes definen una categoría monoidal simétrica. De esta manera, una categoría pseudotensorial generaliza una categoría monoidal simétrica. ^{[ 4 ]}

En la definición, podemos omitir el requisito de simetría; es decir, en lugar de un conjunto finito de objetos, podemos usar una secuencia finita de objetos. En este caso, obtenemos la noción de multicategoría . En otras palabras, una categoría pseudotensorial es (esencialmente) una multicategoría simétrica.

Al igual que una categoría enriquecida , una categoría pseudotensorial también puede definirse sobre una categoría monoidal simétrica V ; es decir, requerimos${\displaystyle P_{I}}$así como${\displaystyle \circ }$tomar valores en V en lugar de la categoría de conjuntos en la definición. Un caso particularmente importante es cuando V es la categoría de espacios vectoriales; es decir, las imágenes de${\displaystyle P_{I}}$son conjuntos de mapas multilineales y si el producto tensorial está disponible,

${\displaystyle P_{I}(\{X_{i}\},Y)=\operatorname {Hom} (\otimes _{i\in I}X_{i},Y).}$

• Cap. 1 de A. Beilinson y V. Drinfeld, "Álgebras quirales",
• § 1.4. de Kontsevich, Maxim ; Soibelman, Yan (2000). "Deformaciones de álgebras sobre operadas y la conjetura de Deligne". Conferencia Moshé Flato 1999: Cuantización, deformaciones y simetrías I. págs. 255–307 . arXiv : math/0001151 . ISBN  9780792365402.

• https://mathoverflow.net/questions/134687/pseutotensor-category