Polinomio simétrico

En matemáticas , un polinomio simétrico es un polinomio $P (X 1, X 2, ..., X n)$ en $n$ variables, tal que si se intercambian cualquiera de las variables, se obtiene el mismo polinomio. Formalmente, $P$ es un polinomio simétrico si para cualquier permutación $σ$ de los subíndices $1, 2, ..., n$ se tiene $P (X σ(1), X σ(2), ..., X σ(n)) = P (X 1, X 2, ..., X n)$ .

Los polinomios simétricos surgen de forma natural al estudiar la relación entre las raíces de un polinomio de una variable y sus coeficientes , ya que estos últimos pueden expresarse mediante polinomios en las raíces, y todas las raíces desempeñan un papel similar en este contexto. Desde esta perspectiva, los polinomios simétricos elementales son los polinomios simétricos más fundamentales. De hecho, un teorema denominado teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de polinomios simétricos elementales. Esto implica que toda expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede, alternativamente, expresarse como una expresión polinómica en los coeficientes del polinomio.

Los polinomios simétricos también forman una estructura interesante por sí mismos, independientemente de cualquier relación con las raíces de un polinomio. En este contexto, otras colecciones de polinomios simétricos específicos, como los polinomios homogéneos completos , los polinomios de suma de potencias y los polinomios de Schur , desempeñan un papel importante junto con los elementales. Las estructuras resultantes, y en particular el anillo de funciones simétricas , son de gran importancia en combinatoria y en teoría de la representación .

Ejemplos

Los siguientes polinomios en dos variables X ₁ y X ₂ son simétricos:

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7

4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}

como es el siguiente polinomio en tres variables X ₁ , X ₂ , X ₃ :

X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}

Hay muchas maneras de construir polinomios simétricos específicos con cualquier número de variables (véanse los distintos tipos a continuación). Un ejemplo de un tipo algo diferente es:

\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}

donde primero se construye un polinomio que cambia de signo con cada intercambio de variables, y al tomar el cuadrado se vuelve completamente simétrico (si las variables representan las raíces de un polinomio mónico, este polinomio da su discriminante ).

Por otro lado, el polinomio en dos variables

X_{1}-X_{2}

no es simétrico, ya que si uno intercambia $X_{1}$ y $X_{2}$ uno obtiene un polinomio diferente, $X_{2}-X_{1}$ . De manera similar en tres variables

X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}

Tiene simetría únicamente bajo permutaciones cíclicas de las tres variables, lo cual no es suficiente para ser un polinomio simétrico. Sin embargo, lo siguiente es simétrico:

X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}

Aplicaciones

teoría de Galois

Un contexto en el que aparecen las funciones polinómicas simétricas es en el estudio de polinomios univariados mónicos de grado n con n raíces en un cuerpo dado . Estas n raíces determinan el polinomio, y cuando se consideran como variables independientes, los coeficientes del polinomio son funciones polinómicas simétricas de las raíces. Además, el teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que una función polinómica f de las n raíces puede expresarse como (otra) función polinómica de los coeficientes del polinomio determinado por las raíces si y solo si f es un polinomio simétrico.

Esto da lugar al método para resolver ecuaciones polinómicas invirtiendo esta función, "rompiendo" la simetría. Dados los coeficientes del polinomio (los polinomios simétricos elementales en las raíces), ¿cómo se pueden recuperar las raíces? Esto lleva al estudio de soluciones de polinomios utilizando el grupo de permutación de las raíces, originalmente en forma de resolventes de Lagrange , desarrollado posteriormente en la teoría de Galois .

Relación con las raíces de un polinomio univariado mónico

Consideremos un polinomio mónico en t de grado n

P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}

con coeficientes a _i en algún campo K. Existen n raíces x ₁ ,..., x _n de P en algún campo posiblemente mayor (por ejemplo, si K es el campo de los números reales , las raíces existirán en el campo de los números complejos ); algunas de las raíces podrían ser iguales, pero el hecho de que una tenga todas las raíces se expresa mediante la relación

P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).

Al comparar los coeficientes se encuentra que

{\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}

En realidad, se trata simplemente de ejemplos de las fórmulas de Vieta . Estas fórmulas muestran que todos los coeficientes del polinomio se expresan en términos de las raíces mediante una expresión polinómica simétrica : si bien para un polinomio P dado puede haber diferencias cualitativas entre las raíces (como pertenecer o no al cuerpo base K , ser raíces simples o múltiples), nada de esto afecta la forma en que aparecen las raíces en estas expresiones.

Ahora se puede cambiar el punto de vista, tomando las raíces en lugar de los coeficientes como parámetros básicos para describir P , y considerándolos como indeterminados en lugar de constantes en un campo apropiado; los coeficientes a _i se convierten entonces simplemente en los polinomios simétricos particulares dados por las ecuaciones anteriores. Esos polinomios, sin el signo $(-1)^{ni}$ Los polinomios simétricos elementales se conocen como polinomios _simétricos elementales en x₁ , ..., xₙ . Un hecho fundamental, conocido como el _teoremafundamental de los polinomios simétricos , establece que cualquier polinomio simétrico en n variables puede expresarse mediante una expresión polinómica en términos de estos polinomios simétricos elementales. De ello se deduce que cualquier expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede expresarse como un polinomio en los coeficientes del polinomio, y en particular que su valor se encuentra en el cuerpo base K que contiene dichos coeficientes. Por lo tanto, al trabajar únicamente con expresiones polinómicas simétricas en las raíces, no es necesario conocer nada en particular sobre esas raíces, ni realizar cálculos en un cuerpo mayor que K en el que puedan encontrarse dichas raíces. De hecho, los valores de las raíces mismas resultan irrelevantes, y las relaciones necesarias entre los coeficientes y las expresiones polinómicas simétricas pueden hallarse mediante cálculos realizados únicamente en términos de polinomios simétricos. Un ejemplo de tales relaciones son las identidades de Newton , que expresan la suma de cualquier potencia fija de las raíces en términos de los polinomios simétricos elementales.

Tipos especiales de polinomios simétricos

Hay algunos tipos de polinomios simétricos en las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _n que son fundamentales.

Polinomios simétricos elementales

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico elemental e _k ( X ₁ , ..., X _n ) es la suma de todos los productos distintos de k variables distintas. (Algunos autores lo denotan por σ _k en su lugar). Para k = 0 solo existe el producto vacío, por lo que e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) = 1, mientras que para k > n , no se puede formar ningún producto, por lo que e _k ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) = 0 en estos casos. Los n polinomios simétricos elementales restantes son bloques de construcción para todos los polinomios simétricos en estas variables: como se mencionó anteriormente, cualquier polinomio simétrico en las variables consideradas se puede obtener a partir de estos polinomios simétricos elementales usando solo multiplicaciones y sumas. De hecho, se tienen los siguientes hechos más detallados:

cualquier polinomio simétrico P en X ₁ , ..., X _n puede escribirse como una expresión polinómica en los polinomios e _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤ k ≤ n ;
Esta expresión es única salvo equivalencia de expresiones polinómicas;
Si P tiene coeficientes enteros , entonces la expresión polinómica también tiene coeficientes enteros.

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos elementales relevantes son e ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂ , y e ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁X ₂ . El primer polinomio de la lista de ejemplos anterior se puede escribir como

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7

(Para una demostración de que esto siempre es posible, véase el teorema fundamental de los polinomios simétricos ).

Polinomios simétricos monomiales

Las potencias y los productos de polinomios simétricos elementales dan lugar a expresiones bastante complicadas. Si se buscan bloques de construcción aditivos básicos para polinomios simétricos, una opción más natural es tomar aquellos polinomios simétricos que contienen solo un tipo de monomio , con solo las copias necesarias para obtener la simetría. Cualquier monomio en X ₁ , ..., X _n se puede escribir como X ₁^{α ₁} ... X _n^{α _n} donde los exponentes α _i son números naturales (posiblemente cero); escribiendo α = (α ₁ ,...,α _n ) esto se puede abreviar como X ^α . El polinomio simétrico monomio m _α ( X ₁ , ..., X _n ) se define como la suma de todos los monomios x ^β donde β abarca todas las permutaciones distintas de (α ₁ ,...,α _n ). Por ejemplo, se tiene

m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}

,

m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.

Claramente, m _α = m _β cuando β es una permutación de α, por lo que generalmente se consideran solo aquellos m _α para los cuales α ₁ ≥ α ₂ ≥ ... ≥ α _n , en otras palabras, para los cuales α es una partición de un entero . Estos polinomios simétricos monomiales forman una base de espacio vectorial : todo polinomio simétrico P puede escribirse como una combinación lineal de los polinomios simétricos monomiales. Para ello, basta con separar los diferentes tipos de monomios que aparecen en P . En particular, si P tiene coeficientes enteros, entonces la combinación lineal también los tendrá.

Los polinomios simétricos elementales son casos particulares de polinomios simétricos monomiales: para 0 ≤ k ≤ n se tiene

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})

donde α es la partición de k en k partes 1 (seguidas de n − k ceros).

Polinomios simétricos de suma de potencias

Para cada entero k ≥ 1, el polinomio simétrico monomial m _{( k ,0,...,0)} ( X ₁ , ..., X _n ) es de especial interés. Es el polinomio simétrico de suma de potencias, definido como

p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.

Todos los polinomios simétricos se pueden obtener a partir de los primeros n polinomios simétricos de suma de potencias mediante sumas y multiplicaciones, posiblemente con coeficientes racionales . Más precisamente,

Cualquier polinomio simétrico en X ₁ , ..., X _n puede expresarse como una expresión polinómica con coeficientes racionales en los polinomios simétricos de suma de potencias p ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., p _n ( X ₁ , ..., X _n ).

En particular, los polinomios de suma de potencias restantes p _k ( X ₁ , ..., X _n ) para k > n pueden expresarse de esta manera en los primeros n polinomios de suma de potencias; por ejemplo

p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.

A diferencia de lo que ocurre con los polinomios homogéneos elementales y completos, un polinomio simétrico en n variables con coeficientes enteros no tiene por qué ser una función polinómica con coeficientes enteros de los polinomios simétricos de suma de potencias. Por ejemplo, para n = 2, el polinomio simétrico

m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}

tiene la expresión

m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).

Usando tres variables se obtiene una expresión diferente.

{\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}

La expresión correspondiente también era válida para dos variables (basta con establecer X ₃ a cero), pero como involucra p ₃ , no podía usarse para ilustrar la afirmación para n = 2. El ejemplo muestra que si la expresión para un polinomio simétrico monomial dado en términos de los primeros n polinomios de suma de potencias involucra coeficientes racionales puede depender de n . Pero los coeficientes racionales siempre son necesarios para expresar polinomios simétricos elementales (excepto los constantes y e ₁ que coincide con la primera suma de potencias) en términos de polinomios de suma de potencias. Las identidades de Newton proporcionan un método explícito para hacer esto; implica la división por enteros hasta n , lo que explica los coeficientes racionales. Debido a estas divisiones, la afirmación mencionada falla en general cuando los coeficientes se toman en un cuerpo de característica finita ; sin embargo, es válida con coeficientes en cualquier anillo que contenga los números racionales.

Polinomios simétricos homogéneos completos

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico homogéneo completo h _k ( X ₁ , ..., X _n ) es la suma de todos los monomios distintos de grado k en las variables X ₁ , ..., X _n . Por ejemplo

h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.

El polinomio h _k ( X ₁ , ..., X _n ) es también la suma de todos los polinomios simétricos monomiales distintos de grado k en X ₁ , ..., X _n , por ejemplo, para el ejemplo dado

{\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}

Todos los polinomios simétricos en estas variables pueden construirse a partir de polinomios homogéneos completos: cualquier polinomio simétrico en X ₁ , ..., X _n puede obtenerse a partir de los polinomios simétricos homogéneos completos h ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., h _n ( X ₁ , ..., X _n ) mediante multiplicaciones y sumas. Más precisamente:

Cualquier polinomio simétrico P en X ₁ , ..., X _n puede escribirse como una expresión polinómica en los polinomios h _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤ k ≤ n .

Si P tiene coeficientes enteros, entonces la expresión polinómica también tiene coeficientes enteros.

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos homogéneos completos relevantes son $h 1 (X 1, X 2) = X 1 + X 2$ y $h 2 (X 1, X 2) = X 12 + X 1 X 2 + X 22$ . El primer polinomio de la lista de ejemplos anterior se puede escribir como

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.

Como en el caso de las sumas de potencias, la afirmación dada se aplica en particular a los polinomios simétricos homogéneos completos más allá de h _n ( X ₁ , ..., X _n ), lo que permite expresarlos en términos de los que se encuentran hasta ese punto; nuevamente, las identidades resultantes se vuelven inválidas cuando se aumenta el número de variables.

Un aspecto importante de los polinomios simétricos homogéneos completos es su relación con los polinomios simétricos elementales, que se pueden expresar como las identidades

\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0

, para todo k > 0 y cualquier número de variables n .

Dado que e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) y h ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) son ambos iguales a 1, se puede aislar el primer o el último término de estas sumas; el primero proporciona un conjunto de ecuaciones que permite expresar recursivamente los sucesivos polinomios simétricos homogéneos completos en términos de los polinomios simétricos elementales, y el segundo proporciona un conjunto de ecuaciones que permite realizar la operación inversa. Esto muestra implícitamente que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de h _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤ k ≤ n : primero se expresa el polinomio simétrico en términos de los polinomios simétricos elementales, y luego se expresan estos en términos de los mencionados polinomios homogéneos completos.

Polinomios de Schur

Otra clase de polinomios simétricos son los polinomios de Schur, de fundamental importancia en las aplicaciones de los polinomios simétricos a la teoría de la representación . Sin embargo, no son tan fáciles de describir como otros tipos de polinomios simétricos especiales; consulte el artículo principal para más detalles.

Polinomios simétricos en álgebra

Los polinomios simétricos son importantes en álgebra lineal , teoría de la representación y teoría de Galois . También son importantes en combinatoria , donde se estudian principalmente a través del anillo de funciones simétricas , lo que evita tener que manejar un número fijo de variables en todo momento.

Polinomios alternados

Análogos a los polinomios simétricos son los polinomios alternados , que son los polinomios que, en lugar de ser invariantes bajo permutación de las variables, cambian según el signo de la permutación .

Todos estos son productos del polinomio de Vandermonde y un polinomio simétrico, y forman una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos: el polinomio de Vandermonde es la raíz cuadrada del discriminante.

Véase también

Referencias

Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
Macdonald, IG (1979), Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press.
IG Macdonald (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , segunda edición. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0(edición de bolsillo, 1998).
Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1