Función simétrica de Stanley

En matemáticas y especialmente en combinatoria algebraica , las funciones simétricas de Stanley son una familia de funciones simétricas introducidas por Richard Stanley ( 1984 ) en su estudio del grupo simétrico de permutaciones .  

Formalmente, la función simétrica de Stanley F _w ( x ₁ , x ₂ , ...) indexada por una permutación w se define como una suma de ciertas funciones cuasisimétricas fundamentales . Cada sumando corresponde a una descomposición reducida de w , es decir, a una forma de escribir w como producto de un número mínimo posible de transposiciones adyacentes . Estas se introdujeron en el curso de la enumeración de Stanley de las descomposiciones reducidas de permutaciones, y en particular en su demostración de que la permutación w ₀ = n ( n − 1)...21 (escrita aquí en notación de una línea ) tiene exactamente

${\displaystyle {\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}}$

descomposiciones reducidas. (Aquí${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$denota el coeficiente binomial n ( n − 1)/2 y  ! denota el factorial .)

La función simétrica de Stanley F _w es homogénea con grado igual al número de inversiones de w . A diferencia de otras familias agradables de funciones simétricas, las funciones simétricas de Stanley tienen muchas dependencias lineales y, por lo tanto, no forman una base del anillo de funciones simétricas . Cuando una función simétrica de Stanley se expande en la base de funciones de Schur , los coeficientes son todos enteros no negativos .

Las funciones simétricas de Stanley tienen la propiedad de ser el límite estable de los polinomios de Schubert.

${\displaystyle F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty }{\mathfrak {S}}_{1^{n}\times w}(x)}$

donde tratamos ambos lados como series de potencias formales y tomamos el límite coeficiente por coeficiente.

• Stanley, Richard P. (1984), "Sobre el número de descomposiciones reducidas de elementos de grupos de Coxeter" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 5 (4): 359–372 , doi : 10.1016/s0195-6698(84)80039-6 , ISSN 0195-6698 , MR 0782057