Espacio regular

En topología y campos matemáticos afines , un espacio topológico X se denomina espacio regular si todo conjunto cerrado C de X y todo punto p que no está contenido en C tienen vecindades abiertas que no se superponen . ^{[ 1 ]} Por lo tanto, p y C pueden separarse mediante vecindades. Esta condición se conoce como axioma T _3. El término " espacio T ₃ " suele referirse a "un espacio regular de Hausdorff ". Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .

Un espacio topológico X es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado F y cualquier punto x que no pertenece a F , existen un entorno U de x y un entorno V de F disjuntos . Dicho de forma concisa, debe ser posible separar x y F mediante entornos disjuntos.

AEspacio T ₃ oUn espacio de Hausdorff regular es un espacio topológico que es a la vez regular y unespacio de Hausdorff. (Un espacio de Hausdorff o espacio T2_esun espacio topológico en el que cualesquiera dos puntos distintos están separados por vecindarios). Resulta que un espacio es T3_siy solo si es a la vez regular y T0_.(AT0_oespaciode Kolmogoroves un espacio topológico en el que cualesquiera dos puntos distintos sontopológicamente distinguibles, es decir, para cada par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene unvecindario abiertoque no contiene al otro). De hecho, si un espacio es de Hausdorff, entonces es T0_,y cada espacio regular T0_esde Hausdorff: dados dos puntos distintos, al menos uno de ellos no tiene la clausura del otro, por lo que (por regularidad) existen vecindarios disjuntos que separan un punto de (la clausura de) el otro.

Aunque las definiciones presentadas aquí para «regular» y «T ₃ « no son infrecuentes, existe una variación significativa en la literatura: algunos autores intercambian las definiciones de «regular» y «T ₃ « tal como se usan aquí, o utilizan ambos términos indistintamente. Este artículo utiliza el término «regular» libremente, pero generalmente dirá «Hausdorff regular», que es inequívoco, en lugar del menos preciso «T ₃ «. Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .

AUn espacio localmente regular es un espacio topológico donde cada punto tiene un entorno abierto que es regular. Todo espacio regular es localmente regular, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente regular que no es regular es lalínea de ojos saltones.

Un espacio regular es necesariamente también preregular , es _decir , dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles pueden separarse mediante vecindades. Dado que un espacio de Hausdorff es lo mismo que un espacio preregular _T₀ , un espacio regular que también sea T₀ _debe ser de Hausdorff (y por lo tanto T₃ ₎ . De hecho, un espacio regular de Hausdorff satisface la condición ligeramente más fuerte T₂½ . (Sin embargo, dicho espacio no tiene por qué ser completamente de Hausdorff ). Por lo tanto, la definición de T₃ _puede citar T₀ _, T₁ o T₂½ _en lugar de T₂ _{( propiedad de Hausdorff); todos son equivalentes en el contexto de los} espacios regulares.

En términos más teóricos, las condiciones de regularidad y de ser T³ _están relacionadas por los cocientes de Kolmogorov . Un espacio es regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es T³ _; y, como se mencionó, un espacio es T³ _si y solo si es regular y T⁰ _. Por lo tanto, un espacio regular que se encuentra en la práctica generalmente puede considerarse T³ _, simplemente reemplazando el espacio por su cociente de Kolmogorov.

Existen numerosos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. En la mayoría de los casos, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para espacios regulares y de Hausdorff porque el concepto de espacios preregulares surgió posteriormente. Por otro lado, aquellos resultados que tratan sobre regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como normalidad , pseudonormalidad , paracompacidad o compacidad local ) implicará regularidad si se satisface algún axioma de separación más débil, como la preregularidad. ^{[ 2 ]} Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión regular y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son generalmente regulares, un espacio de Hausdorff que también sea (por ejemplo) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, la regularidad no es realmente el problema aquí, y podríamos imponer una condición más débil para obtener el mismo resultado. Sin embargo, las definiciones generalmente se siguen formulando en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que cualquier otra más débil.

La mayoría de los espacios topológicos estudiados en análisis matemático son regulares; de hecho, suelen ser completamente regulares , lo cual es una condición más estricta. Los espacios regulares también deben contrastarse con los espacios normales .

Un espacio cero-dimensional con respecto a la pequeña dimensión inductiva tiene una base formada por conjuntos clopen . Todo espacio de este tipo es regular.

Como se describió anteriormente, cualquier espacio completamente regular es regular, y cualquier espacio T _{0 que no sea} de Hausdorff (y por lo tanto no sea preregular) no puede ser regular. La mayoría de los ejemplos de espacios regulares y no regulares estudiados en matemáticas se pueden encontrar en esos dos artículos. Por otro lado, los espacios que son regulares pero no completamente regulares, o preregulares pero no regulares, generalmente se construyen solo para proporcionar contraejemplos a conjeturas, mostrando los límites de los posibles teoremas . Por supuesto, se pueden encontrar fácilmente espacios regulares que no son T ₀ , y por lo tanto no son de Hausdorff, como un espacio indiscreto , pero estos ejemplos proporcionan más información sobre el axioma T ₀ que sobre la regularidad. Un ejemplo de un espacio regular que no es completamente regular es el sacacorchos de Tychonoff .

La mayoría de los espacios regulares de interés en matemáticas también satisfacen alguna condición más estricta. Por lo tanto, los espacios regulares se estudian habitualmente para encontrar propiedades y teoremas, como los que se presentan a continuación, que se aplican a espacios completamente regulares, generalmente en análisis.

Existen espacios de Hausdorff que no son regulares. Un ejemplo es la K-topología en el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales. Más generalmente, si${\displaystyle C}$es un subconjunto fijo no cerrado de${\displaystyle \mathbb {R} }$con interior vacío con respecto a la topología euclidiana usual, se puede construir una topología más fina en${\displaystyle \mathbb {R} }$tomando como base la colección de todos los conjuntos${\displaystyle U}$y${\displaystyle U\setminus C}$para${\displaystyle U}$Abierto en la topología habitual. Dicha topología será de Hausdorff, pero no regular.

Supongamos que X es un espacio regular. Entonces, dado cualquier punto x y su entorno G , existe un entorno cerrado E de x que es un subconjunto de G. En términos más técnicos, los entornos cerrados de x forman una base local en x . De hecho, esta propiedad caracteriza a los espacios regulares: si los entornos cerrados de cada punto en un espacio topológico forman una base local en ese punto, entonces el espacio debe ser regular.

Tomando los interiores de estos vecindarios cerrados, vemos que los conjuntos abiertos regulares forman una base para los conjuntos abiertos del espacio regular X. Esta propiedad es en realidad más débil que la regularidad; un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares forman una base es semirregular .