Espacio normal

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio normal es un espacio topológico en el que cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos tienen entornos abiertos disjuntos. En general _, estos espacios no tienen por qué ser de Hausdorff . Un espacio normal de Hausdorff se denomina espacio T⁴ . En el artículo siguiente se detallan ampliaciones de estos conceptos, que incluyen _espacios completamente normales y espacios perfectamente normales , así como sus variantes de Hausdorff: _espacios T⁵ y espacios T⁶ . Todas estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .

Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados dos conjuntos cerrados disjuntos E y F , existen entornos U de E y V de F que también son disjuntos. De forma más intuitiva, esta condición indica que E y F pueden separarse mediante entornos .

Un espacio T ₄ es un espacio T ₁ X que es normal; esto es equivalente a que X sea normal y Hausdorff .

Un espacio completamente normal , oUn espacio hereditariamente normal es un espacio topológicoXtal que todosubespaciodeXes un espacio normal. Resulta queXes completamente normal si y solo si todo parde conjuntos separadospuede separarse mediante vecindades. Además,Xes completamente normal si y solo si todo subconjunto abierto deXes normal con la topología de subespacio.

Un espacio T ₅ , o un espacio T ₄ completamente , es un espacio T _{1 completamente normal} X , lo que implica que X es Hausdorff; equivalentemente, cada subespacio de X debe ser un espacio T _{4 .}

Un espacio perfectamente normal es un espacio topológico.${\displaystyle X}$en el que cada dos conjuntos cerrados disjuntos${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$pueden separarse con precisión mediante una función , en el sentido de que existe una función continua.${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$al intervalo${\displaystyle [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=E}$y${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=F}$. ^{[ 1 ]} Esta es una propiedad de separación más fuerte que la normalidad, ya que por el lema de Urysohn los conjuntos cerrados disjuntos en un espacio normal pueden separarse mediante una función , en el sentido de${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(\{0\})}$y${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(\{1\})}$, pero no precisamente separadas en general. Resulta que X es perfectamente normal si y solo si X es normal y todo conjunto cerrado es un conjunto G _δ . Equivalentemente, X es perfectamente normal si y solo si todo conjunto cerrado es el conjunto cero de una función continua . La equivalencia entre estas tres caracterizaciones se llama teorema de Vedenissoff . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Todo espacio perfectamente normal es completamente normal, porque la normalidad perfecta es una propiedad hereditaria . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Un espacio T ₆ , o un espacio T ₄ perfecto , es un espacio Hausdorff perfectamente normal.

Cabe señalar que los términos «espacio normal» y «T₄ _» , así como los conceptos derivados, a veces tienen un significado diferente. (No obstante, «T₅ _» siempre significa lo mismo que «completamente T₄ _» , independientemente del significado de T₄ ₎ . Las definiciones que se presentan aquí son las que se utilizan habitualmente en la actualidad. Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .

En la literatura también aparecen términos como « espacio regular normal » y «espacio de Hausdorff normal»; simplemente significan que el espacio es normal y cumple la otra condición mencionada. En particular, un espacio de Hausdorff normal es lo mismo que un espacio T₄ _. Dada la confusión histórica en torno al significado de estos términos, las descripciones verbales, cuando proceden, resultan útiles; por ejemplo, «espacio de Hausdorff normal» en lugar de «T₄ _» , o «espacio de Hausdorff completamente normal» en lugar de «T₅ _» .

Los espacios totalmente normales y los espacios totalmente T ₄ se tratan en otro lugar; están relacionados con la paracompacidad .

Un espacio localmente normal es un espacio topológico donde cada punto tiene un entorno abierto que es normal. Todo espacio normal es localmente normal, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente normal completamente regular que no es normal es el plano de Nemytskii .

La mayoría de los espacios que se encuentran en el análisis matemático son espacios de Hausdorff normales, o al menos espacios regulares normales:

• Todos los espacios métricos (y por lo tanto todos los espacios metrizables ) son espacios de Hausdorff perfectamente normales;
• Todos los espacios pseudométricos (y por lo tanto todos los espacios pseudometrizables ) son perfectamente normales regulares, aunque no en general Hausdorff;
• Todos los espacios compactos de Hausdorff son normales;
• En particular, la compactificación de Stone-Čech de un espacio de Tychonoff es normal de Hausdorff;
• Generalizando los ejemplos anteriores, todos los espacios de Hausdorff paracompactos son normales, y todos los espacios regulares paracompactos son normales;
• Todas las variedades topológicas paracompactas son perfectamente normales de Hausdorff. Sin embargo, existen variedades no paracompactas que ni siquiera son normales.
• Todas las topologías de orden en conjuntos totalmente ordenados son hereditariamente normales y de Hausdorff.
• Todo espacio regular con numerabilidad segunda es completamente normal, y todo espacio regular de Lindelöf es normal.

Además, todos los espacios completamente normales son normales (aunque no sean regulares). El espacio de Sierpiński es un ejemplo de espacio normal que no es regular.

Un ejemplo importante de topología no normal lo proporciona la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo , que se utiliza en geometría algebraica .

Un espacio no normal de cierta relevancia para el análisis es el espacio vectorial topológico de todas las funciones de la recta real R a sí misma, con la topología de convergencia puntual . De forma más general, un teorema de Arthur Harold Stone afirma que el producto de una cantidad incontable de espacios métricos no compactos nunca es normal.

Todo subconjunto cerrado de un espacio normal es normal. La imagen continua y cerrada de un espacio normal es normal. ^{[ 6 ]}

La principal importancia de los espacios normales radica en el hecho de que admiten "suficientes" funciones continuas con valores reales , como lo expresan los siguientes teoremas válidos para cualquier espacio normal X.

Lema de Urysohn : Si A y B son dos subconjuntos cerrados disjuntos de X , entonces existe una función continua f de X a la recta real R tal que f ( x ) = 0 para todo x en A y f ( x ) = 1 para todo x en B. De hecho, podemos tomar los valores de f completamente dentro del intervalo unitario [0,1]. En términos más elegantes, los conjuntos cerrados disjuntos no solo están separados por vecindades, sino también por una función .

De forma más general, el teorema de extensión de Tietze : Si A es un subconjunto cerrado de X y f es una función continua de A a R , entonces existe una función continua F : X → R que extiende f en el sentido de que F ( x ) = f ( x ) para todo x en A.

El mapa${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$tiene la propiedad de elevación con respecto a una aplicación de un cierto espacio topológico finito con cinco puntos (dos abiertos y tres cerrados) al espacio con un punto abierto y dos cerrados. ^{[ 7 ]}

Si U es una cubierta abierta localmente finita de un espacio normal X , entonces existe una partición de la unidad precisamente subordinada a U. Esto muestra la relación de los espacios normales con la paracompacidad .

De hecho, cualquier espacio que satisfaga cualquiera de estas tres condiciones debe ser normal.

Un producto de espacios normales no es necesariamente normal. Este hecho fue demostrado por primera vez por Robert Sorgenfrey . Un ejemplo de este fenómeno es el plano de Sorgenfrey . De hecho, dado que existen espacios que son Dowker , un producto de un espacio normal y [0, 1] no tiene por qué ser normal. Asimismo, un subconjunto de un espacio normal no tiene por qué ser normal (es decir, no todo espacio de Hausdorff normal es un espacio de Hausdorff completamente normal), puesto que todo espacio de Tychonoff es un subconjunto de su compactificación de Stone-Čech (que es Hausdorff normal). Un ejemplo más explícito es el tablón de Tychonoff . La única clase grande de espacios producto de espacios normales que se sabe que son normales son los productos de espacios de Hausdorff compactos, ya que tanto la compacidad ( teorema de Tychonoff ) como el axioma T2 _se conservan bajo productos arbitrarios. ^{[ 8 ]}

Si un espacio normal es R ₀ , entonces es completamente regular . Por lo tanto, cualquier cosa que vaya desde "normal R ₀ " hasta "normal completamente regular" es lo mismo que solemos llamar normal regular . Al tomar cocientes de Kolmogorov , vemos que todos los espacios normales T ₁ son de Tychonoff . Estos son los que solemos llamar espacios normales de Hausdorff .

Se dice que un espacio topológico es pseudonormal si, dados dos conjuntos cerrados disjuntos que contiene, uno de los cuales es numerable, existen conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Todo espacio normal es pseudonormal, pero no a la inversa.

En las listas anteriores se pueden encontrar contraejemplos a algunas variaciones de estas afirmaciones. En concreto, el espacio de Sierpiński es normal pero no regular, mientras que el espacio de funciones de R en sí mismo es de Tychonoff pero no normal.

• Espacio normal por colección : propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad. 
• Espacio monótonamente normal : propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad. 

• Engelking, Ryszard , Topología general , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
• Kemoto, Nobuyuki (2004). «Axiomas de separación superiores». En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Prentice-Hall . ISBN 978-0-13-181629-9.
• Sorgenfrey, RH (1947). "Sobre el producto topológico de espacios paracompactos" . Bull. Amer. Math. Soc . 53 (6): 631– 632. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• Stone, AH (1948). "Paracompacidad y espacios producto" . Bull. Amer. Math. Soc . 54 (10): 977– 982. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7.