Valor de cola en riesgo

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue una distribución normal (gaussiana) con la función de densidad de probabilidad$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},}$$dónde${\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2}}/{2}}}$es el PDF normal estándar,${\displaystyle \Phi (x)}$es la función de distribución acumulada normal estándar, por lo tanto${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$es el cuantil normal estándar. ^{[ 9 ]}

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue una distribución normal, la TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ].}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}$$

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue una distribución t de Student generalizada con la pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},}$$dónde$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$$es la función de densidad de probabilidad de la distribución t estándar,${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$es la función de distribución acumulada estándar de la distribución t, por lo que${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$es el cuantil estándar de la distribución t. ^{[ 9 ]}

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue la distribución t de Student generalizada, el TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}$$

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución de Laplace con la pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$para${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$. ^{[ 9 ]}

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue la distribución de Laplace, el TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[1ex]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$$

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución logística con la pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$$entonces el TVaR de cola izquierda es igual a ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}.}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue una distribución logística , el TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ].}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}.}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue una distribución exponencial con la función de densidad de probabilidad$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}.}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue la distribución de Pareto con la pdf$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola derecha es igual a ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}.}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue GPD con el pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola derecha es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$y el VaR es igual a ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue la distribución de Weibull con la pdf$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola derecha es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right),}$$dónde${\displaystyle \Gamma (s,x)}$es la función gamma incompleta superior . ^{[ 10 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$A continuación, GEV con el PDF$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}\left[\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha \right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}\left[{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$y el VaR es igual a$${\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$dónde${\displaystyle \Gamma (s,x)}$es la función gamma incompleta superior ,${\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$es la función integral logarítmica . ^{[ 11 ]}

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue GEV , entonces el TVaR de la cola derecha es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}\left[\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}\left[y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$$dónde${\displaystyle \gamma (s,x)}$es la función gamma incompleta inferior ,${\displaystyle y}$es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ 10 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$Sigue la distribución GHS con el pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[{\text{Li}}_{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\text{Li}}_{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right],}$$dónde${\displaystyle {\text{Li}}_{2}}$es el dilogaritmo y${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$es la unidad imaginaria. ^{[ 11 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución SU de Johnson con la función de distribución acumulada$${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right],}$$dónde${\displaystyle \Phi }$es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. ^{[ 12 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución de Burr tipo XII con la pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k},}$$El TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right],}$$dónde${\displaystyle _{2}F_{1}}$es la función hipergeométrica . Alternativamente, ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right).}$$

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución de Dagum con el pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$$y la función de distribución acumulada (cdf)$${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k},}$$El TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right),}$$dónde${\displaystyle _{2}F_{1}}$es la función hipergeométrica . ^{[ 11 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue una distribución lognormal , es decir, la variable aleatoria${\displaystyle \ln(1+X)}$sigue una distribución normal con la función de densidad de probabilidad$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }},}$$dónde${\displaystyle \Phi (x)}$es la función de distribución acumulada normal estándar, por lo tanto${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$es el cuantil normal estándar. ^{[ 13 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue una distribución log-logística , es decir, la variable aleatoria${\displaystyle \ln(1+X)}$sigue la distribución logística con la pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2},}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}},}$$dónde${\displaystyle I_{\alpha }}$es la función beta incompleta regularizada ,${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$.

Como la función beta incompleta se define solo para argumentos positivos, para un caso más genérico el TVaR de cola izquierda se puede expresar con la función hipergeométrica : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha ).}$$

Si la pérdida de una cartera${\displaystyle L}$sigue una distribución log-logística con pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$$y cdf$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}},}$$entonces el TVaR de la cola derecha es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right],}$$dónde${\displaystyle B_{\alpha }}$es la función beta incompleta . ^{[ 10 ]}

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución log-Laplace , es decir, la variable aleatoria${\displaystyle \ln(1+X)}$sigue la distribución de Laplace el pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},}$$entonces el TVaR de cola izquierda es igual a ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$$

Si el rendimiento de una cartera${\displaystyle X}$sigue la distribución log-GHS, es decir, la variable aleatoria${\displaystyle \ln(1+X)}$Sigue la distribución GHS con el pdf$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$$entonces el TVaR de la cola izquierda es igual a$${\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$$dónde${\displaystyle _{2}F_{1}}$es la función hipergeométrica . ^{[ 13 ]}