Teorema de existencia de Takagi

En la teoría de cuerpos de clases , el teorema de existencia de Takagi establece que para cualquier cuerpo numérico K existe una correspondencia biunívoca de inclusión inversa entre las extensiones abelianas finitas de K (en un cierre algebraico fijo de K ) y los grupos de clases ideales generalizados definidos mediante un módulo de K.

Se le llama teorema de existencia porque una de las principales tareas de la demostración consiste en mostrar la existencia de suficientes extensiones abelianas de K.

Aquí, un módulo (o divisor de rayos ) es un producto finito formal de las valuaciones (también llamadas primos o lugares ) de K con exponentes enteros positivos. Las valuaciones arquimedianas que pueden aparecer en un módulo incluyen solo aquellas cuyas completaciones son los números reales (no los números complejos); pueden identificarse con ordenaciones en K y aparecen solo hasta el exponente uno.

El módulo m es un producto de una parte no arquimediana (finita) m _f y una parte arquimediana (infinita) m _∞ . La parte no arquimediana m _f es un ideal no nulo en el anillo de enteros O _K de K y la parte arquimediana m _∞ es simplemente un conjunto de incrustaciones reales de K . Asociados a dicho módulo m hay dos grupos de ideales fraccionarios . El mayor, I _m , es el grupo de todos los ideales fraccionarios relativamente primos con m (lo que significa que estos ideales fraccionarios no involucran ningún ideal primo que aparezca en m _f ). El menor, P _m , es el grupo de ideales fraccionarios principales ( u / v ) donde u y v son elementos no nulos de O _K que son primos con m _f , u ≡ v mod m _f , y u / v > 0 en cada uno de los ordenamientos de m _∞ . (Es importante aquí que en P _m , todo lo que requerimos es que algún generador del ideal tenga la forma indicada. Si uno la tiene, otros podrían no tenerla. Por ejemplo, tomando K como los números racionales, el ideal (3) está en P ₄ porque (3) = (−3) y −3 cumple las condiciones necesarias. Pero (3) no está en P _4∞ ya que aquí se requiere que el generador positivo del ideal sea 1 mod 4, lo cual no es así.) Para cualquier grupo H que esté entre I _m y P _m , el cociente I _m / H se llama grupo de clases de ideales generalizados .

Son estos grupos de clases ideales generalizados los que corresponden a extensiones abelianas de K según el teorema de existencia, y de hecho son los grupos de Galois de dichas extensiones. Que los grupos de clases ideales generalizados sean finitos se demuestra siguiendo las mismas líneas que la demostración de que el grupo de clases ideales usual es finito, mucho antes de saber que estos son grupos de Galois de extensiones abelianas finitas del cuerpo numérico.

En rigor, la correspondencia entre las extensiones abelianas finitas de K y los grupos de clases ideales generalizados no es exactamente biyectiva. Los grupos de clases ideales generalizados definidos con respecto a diferentes módulos pueden dar lugar a la misma extensión abeliana de K , y esto se codifica a priori en una relación de equivalencia algo compleja sobre grupos de clases ideales generalizados.

En términos concretos, para extensiones abelianas L de los números racionales, esto corresponde al hecho de que una extensión abeliana de los racionales que se encuentra en un cuerpo ciclotómico también se encuentra en infinitos otros cuerpos ciclotómicos, y para cada uno de esos sobrecuerpos ciclotómicos se obtiene mediante la teoría de Galois un subgrupo del grupo de Galois que corresponde al mismo cuerpo L.

En la formulación idélica de la teoría de campos de clases , se obtiene una correspondencia precisa uno a uno entre las extensiones abelianas y los grupos apropiados de ideles , donde los grupos de clases ideales generalizados equivalentes en el lenguaje de la teoría de ideales corresponden al mismo grupo de ideles.

Un caso especial del teorema de existencia se da cuando m = 1 y H = P ₁ . En este caso, el grupo de clases ideal generalizado es el grupo de clases ideal de K , y el teorema de existencia afirma que existe una única extensión abeliana L / K con grupo de Galois isomorfo al grupo de clases ideal de K tal que L no está ramificada en ningún punto de K . Esta extensión se denomina cuerpo de clases de Hilbert . David Hilbert conjeturó su existencia, y Philipp Furtwängler la demostró en 1907, antes del teorema de existencia general de Takagi.

Otra propiedad especial del cuerpo de clases de Hilbert, que no se cumple en extensiones abelianas más pequeñas de un cuerpo numérico, es que todos los ideales de un cuerpo numérico se convierten en principales en el cuerpo de clases de Hilbert. Artin y Furtwängler tuvieron que demostrar que se produce esta principalización.

El teorema de existencia se debe a Takagi , quien lo demostró en Japón durante los años de aislamiento de la Primera Guerra Mundial . Lo presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1920, lo que propició el desarrollo de la teoría clásica de la teoría de cuerpos de clases durante la década de 1920. A petición de Hilbert, el artículo se publicó en Mathematische Annalen en 1925.

• Formación de clases

• Helmut Hasse , Historia de la teoría de cuerpos de clases , págs.  266-279 en Teoría algebraica de números , eds. JWS Cassels y A. Fröhlich , Academic Press, 1967. (Véase también la extensa bibliografía adjunta al artículo de Hasse).