Formación de clases

En matemáticas, una formación de clases es un grupo topológico que actúa sobre un módulo y que satisface ciertas condiciones. Las formaciones de clases fueron introducidas por Emil Artin y John Tate para organizar los diversos grupos de Galois y módulos que aparecen en la teoría de cuerpos de clases .

Una formación es un grupo topológico G junto con un módulo topológico G A sobre el cual G actúa de forma continua.

Una capa E / F de una formación es un par de subgrupos abiertos E y F de G tales que F es un subgrupo de índice finito de E. Se denomina capa normal si F es un subgrupo normal de E , y capa cíclica si, además, el grupo cociente es cíclico. Si E es un subgrupo de G , entonces A ∩ ^E se define como los elementos de A fijados por E. Escribimos

H ⁿ ( E / F )

para el grupo de cohomología de Tate H ⁿ ( E / F , A ^F ) siempre que E / F sea una capa normal. (Algunos autores consideran a E y F como cuerpos fijos en lugar de subgrupos de G , por lo que escriben F / E en lugar de E / F ). En las aplicaciones, G suele ser el grupo de Galois absoluto de un cuerpo, y en particular es profinito , y los subgrupos abiertos corresponden, por lo tanto, a las extensiones finitas del cuerpo contenidas en alguna clausura separable fija.

Una formación de clase es una formación tal que para cada capa normal E / F

H ¹ ( E / F ) es trivial, y

H ² ( E / F ) es cíclico de orden | E / F |.

En la práctica, estos grupos cíclicos vienen provistos de generadores canónicos u _{E / F} ∈ H ² ( E / F ), llamados clases fundamentales , que son compatibles entre sí en el sentido de que la restricción (de clases de cohomología) de una clase fundamental es otra clase fundamental. A menudo, las clases fundamentales se consideran parte de la estructura de una formación de clases.

Una formación que satisface solo la condición H ¹ ( E / F )=1 se denomina a veces formación de cuerpo . Por ejemplo, si G es cualquier grupo finito que actúa sobre un cuerpo L y A=L ^× , entonces esta es una formación de cuerpo según el teorema de Hilbert 90 .

Los ejemplos más importantes de formaciones de clases (ordenados aproximadamente por orden de dificultad) son los siguientes:

• Teoría de cuerpos de clases locales arquimedianas : El módulo A es el grupo de números complejos no nulos, y G es trivial o es el grupo cíclico de orden 2 generado por conjugación compleja.
• Cuerpos finitos: El módulo A son los enteros (con acción G trivial), y G es el grupo de Galois absoluto de un cuerpo finito, que es isomorfo a la completación profinita de los enteros.
• Teoría de cuerpos de clases locales de característica p > 0: El módulo A es el grupo de unidades de la clausura algebraica separable del cuerpo de series formales de Laurent sobre un cuerpo finito, y G es el grupo de Galois.
• Teoría de cuerpos de clases locales no arquimedianas de característica 0: El módulo A es el grupo de unidades de la clausura algebraica de un cuerpo de números p -ádicos, y G es el grupo de Galois.
• Teoría global de cuerpos de clases de característica p > 0: El módulo A es la unión de los grupos de clases idélicas de extensiones finitas separables de algún cuerpo de funciones sobre un cuerpo finito, y G es el grupo de Galois.
• Teoría global de cuerpos de clases de característica 0: El módulo A es la unión de los grupos de clases idélicas de cuerpos de números algebraicos, y G es el grupo de Galois de los números racionales (o algún cuerpo de números algebraicos) que actúa sobre A.

Es fácil verificar la propiedad de formación de clases para el caso de cuerpos finitos y el caso de cuerpos locales arquimedianos, pero los casos restantes son más difíciles. La mayor parte del trabajo arduo de la teoría de cuerpos de clases consiste en demostrar que, efectivamente, se trata de formaciones de clases. Esto se realiza en varias etapas, como se describe en las secciones siguientes.

La primera desigualdad de la teoría de campos de clases establece que

| H ⁰ ( E / F )| ≥ | E / F |

para capas cíclicas E / F. Generalmente se demuestra utilizando propiedades del cociente de Herbrand , en la forma más precisa.

| H ⁰ ( E / F )| = | E / F | × | H ¹ ( E / F )|.

Es bastante sencillo de demostrar, porque el cociente de Herbrand es fácil de calcular, ya que es multiplicativo en secuencias exactas cortas y es igual a 1 para módulos finitos.

Antes de 1950, aproximadamente, la primera desigualdad se conocía como la segunda desigualdad, y viceversa.

La segunda desigualdad de la teoría del campo de clases establece que

| H ⁰ ( E / F )| ≤ | E / F |

para todas las capas normales E / F .

Para campos locales, esta desigualdad se deduce fácilmente del teorema 90 de Hilbert junto con la primera desigualdad y algunas propiedades básicas de la cohomología de grupos.

La segunda desigualdad fue demostrada por primera vez para campos globales por Weber utilizando propiedades de la serie L de campos numéricos, como sigue. Supongamos que la capa E / F corresponde a una extensión k ⊂ K de campos globales. Al estudiar la función zeta de Dedekind de K, se muestra que los primos de grado 1 de K tienen una densidad de Dirichlet dada por el orden del polo en s =1, que es 1 (Cuando K son los racionales, esta es esencialmente la demostración de Euler de que hay infinitos primos usando el polo en s =1 de la función zeta de Riemann ). Como cada primo en k que es una norma es el producto de deg( K / k )= | E / F | primos distintos de grado 1 de K , esto muestra que el conjunto de primos de k que son normas tiene una densidad de 1/| E / F |. Por otro lado, al estudiar las series L de Dirichlet de caracteres del grupo H ⁰ ( E / F ), se demuestra que la densidad de Dirichlet de los primos de k que representan el elemento trivial de este grupo tiene una densidad de 1/| H ⁰ ( E / F )|. (Esta parte de la demostración es una generalización de la demostración de Dirichlet de que existen infinitos primos en progresiones aritméticas). Pero un primo representa un elemento trivial del grupo H ⁰ ( E / F ) si es igual a una norma módulo ideales principales, por lo que este conjunto es al menos tan denso como el conjunto de primos que son normas. Así pues,

1/| H ⁰ ( E / F )| ≥ 1/| E / F |

que es la segunda desigualdad.

En 1940, Chevalley halló una demostración puramente algebraica de la segunda desigualdad, pero esta es más larga y compleja que la demostración original de Weber. Hasta aproximadamente 1950, la segunda desigualdad se conocía como la primera desigualdad; el nombre se cambió porque la demostración algebraica de Chevalley utiliza la primera desigualdad.

Takagi definió un cuerpo de clases como aquel en el que se cumple la igualdad en la segunda desigualdad. Por el isomorfismo de Artin que se muestra a continuación, H ⁰ ( E / F ) es isomorfo a la abelianización de E / F , por lo que la igualdad en la segunda desigualdad se cumple exactamente para las extensiones abelianas, y los cuerpos de clases son lo mismo que las extensiones abelianas.

Las primera y segunda desigualdades se pueden combinar de la siguiente manera. Para capas cíclicas, las dos desigualdades juntas demuestran que

H ¹ ( E / F )| E ​​/ F | = H ⁰ ( E / F ) ≤ | E / F |

entonces

H ⁰ ( E / F ) = | E / F |

y

H ¹ ( E / F ) = 1.

Ahora bien, un teorema básico sobre grupos de cohomología muestra que, dado que H ¹ ( E / F ) = 1 para todas las capas cíclicas, tenemos

H ¹ ( E / F ) = 1

Para todas las capas normales (por lo que, en particular, la formación es una formación de campo). Esta demostración de que H ¹ ( E / F ) es siempre trivial es bastante indirecta; no se conoce ninguna demostración "directa" de ello (sea lo que sea que esto signifique) para campos globales. (Para campos locales, la anulación de H ¹ ( E / F ) es simplemente el teorema 90 de Hilbert).

Para el grupo cíclico, H ⁰ es igual que H ² , por lo que H ² ( E / F ) = | E / F | para todas las capas cíclicas. Otro teorema de cohomología de grupos muestra que, dado que H ¹ ( E / F ) = 1 para todas las capas normales y H ² ( E / F ) ≤ | E / F | para todas las capas cíclicas, tenemos

H ² ( E / F ) ≤ | E / F |

para todas las capas normales. (De hecho, la igualdad se cumple para todas las capas normales, pero esto requiere más trabajo; consulte la siguiente sección).

Los grupos de Brauer H ² ( E /*) de una formación de clases se definen como el límite directo de los grupos H ² ( E / F ) cuando F recorre todos los subgrupos abiertos de E . Una consecuencia sencilla de la anulación de H ¹ para todas las capas es que los grupos H ² ( E / F ) son todos subgrupos del grupo de Brauer. En la teoría de cuerpos de clases local, los grupos de Brauer son los mismos que los grupos de Brauer de los cuerpos, pero en la teoría de cuerpos de clases global, el grupo de Brauer de la formación no es el grupo de Brauer del cuerpo global correspondiente (aunque están relacionados).

El siguiente paso es demostrar que H ² ( E / F ) es cíclico de orden exactamente | E / F |; la sección anterior muestra que tiene como máximo este orden, por lo que es suficiente encontrar algún elemento de orden | E / F | en H ² ( E / F ).

La demostración para extensiones arbitrarias utiliza un homomorfismo del grupo G sobre la completación profinita de los enteros con núcleo G _∞ , o en otras palabras, una secuencia compatible de homomorfismos de G sobre los grupos cíclicos de orden n para todo n , con núcleos G _n . Estos homomorfismos se construyen utilizando extensiones ciclotómicas cíclicas de cuerpos; para cuerpos finitos están dados por la clausura algebraica, para cuerpos locales no arquimedianos están dados por las extensiones no ramificadas máximas, y para cuerpos globales son un poco más complicados. Como estas extensiones están dadas explícitamente, se puede comprobar que tienen la propiedad de que H ² ( G / G _n ) es cíclico de orden n , con un generador canónico. De esto se deduce que para cualquier capa E , el grupo H ² ( E / E ∩ G _∞ ) es canónicamente isomorfo a Q / Z . Esta idea de utilizar raíces de la unidad fue introducida por Chebotarev en su demostración del teorema de densidad de Chebotarev , y utilizada poco después por Artin para demostrar su teorema de reciprocidad.

Para las capas generales E y F existe una secuencia exacta.

${\displaystyle 0\rightarrow H^{2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(F/F\cap G_{\infty })}$

Los dos últimos grupos de esta secuencia pueden identificarse con Q / Z y la aplicación entre ellos es entonces la multiplicación por | E / F |. Por lo tanto, el primer grupo es canónicamente isomorfo a Z / n Z . Como H ² ( E / F ) tiene orden como máximo Z / n Z , debe ser igual a Z / n Z (y en particular está contenido en el grupo intermedio).

Esto demuestra que el segundo grupo de cohomología H ² ( E / F ) de cualquier capa es cíclico de orden | E / F |, lo que completa la verificación de los axiomas de una formación de clases. Con un poco más de cuidado en las demostraciones, obtenemos un generador canónico de H ² ( E / F ), llamado la clase fundamental .

De esto se deduce que el grupo de Brauer H ² ( E /*) es (canónicamente) isomorfo al grupo Q / Z , excepto en el caso de los campos locales arquimedianos R y C cuando tiene orden 2 o 1.

El teorema de Tate en cohomología de grupos es el siguiente. Supongamos que A es un módulo sobre un grupo finito G y a es un elemento de H ² ( G , A ), tal que para cada subgrupo E de G

• H ¹ ( E , A ) es trivial y
• H ² ( E , A ) es generado por Res(a) que tiene orden E .

Entonces, el producto de la taza con a es un isomorfismo

• H ⁿ ( G , Z ) → H ^{n +2} ( G , A ).

Si aplicamos el caso n = − 2 del teorema de Tate a una formación de clases, encontramos que existe un isomorfismo.

• H ^{− 2} ( E / F , Z ) → H ⁰ ( E / F , A ^F )

para cualquier capa normal E / F . El grupo H ^{− 2} ( E / F , Z ) es simplemente la abelianización de E / F , y el grupo H ⁰ ( E / F , A ^F ) es A ^E módulo el grupo de normas de A ^F . En otras palabras, tenemos una descripción explícita de la abelianización del grupo de Galois E / F en términos de A ^E .

Tomando la inversa de este isomorfismo se obtiene un homomorfismo.

A ^E → abelianización de E / F ,

y tomando el límite sobre todos los subgrupos abiertos F se obtiene un homomorfismo

A ^E → abelianización de E ,

Se denomina mapa de Artin . El mapa de Artin no es necesariamente sobreyectivo, pero tiene una imagen densa. Según el teorema de existencia que se presenta a continuación, su núcleo es la componente conexa de A ^E (para la teoría de cuerpos de clases), lo cual es trivial para la teoría de cuerpos de clases de cuerpos locales no arquimedianos y para cuerpos de funciones, pero no es trivial para cuerpos locales arquimedianos y cuerpos de números.

El principal teorema que aún queda en la teoría de cuerpos de clases es el teorema de existencia de Takagi , que establece que todo subgrupo cerrado de índice finito del grupo de clases idele es el grupo de normas correspondiente a alguna extensión abeliana. La forma clásica de demostrarlo consiste en construir algunas extensiones con grupos de normas pequeños, añadiendo primero muchas raíces de la unidad y luego tomando extensiones de Kummer y extensiones de Artin-Schreier . Estas extensiones pueden ser no abelianas (aunque son extensiones de grupos abelianos por grupos abelianos); sin embargo, esto no importa realmente, ya que el grupo de normas de una extensión de Galois no abeliana es el mismo que el de su extensión abeliana máxima (esto se puede demostrar utilizando lo que ya sabemos sobre cuerpos de clases). Esto proporciona suficientes extensiones (abelianas) para demostrar que existe una extensión abeliana correspondiente a cualquier subgrupo de índice finito del grupo de clases idele.

Una consecuencia es que el núcleo del mapa de Artin es la componente conexa de la identidad del grupo de clases idele, de modo que la abelianización del grupo de Galois de F es la completación profinita del grupo de clases idele.

En la teoría de cuerpos de clases locales, también es posible construir extensiones abelianas de forma más explícita utilizando las leyes de grupo formales de Lubin-Tate . Para cuerpos globales, las extensiones abelianas pueden construirse explícitamente en algunos casos: por ejemplo, las extensiones abelianas de los racionales pueden construirse utilizando raíces de la unidad, y las extensiones abelianas de cuerpos imaginarios cuadráticos pueden construirse utilizando funciones elípticas, pero encontrar un análogo de esto para cuerpos globales arbitrarios es un problema sin resolver.

Este no es un grupo de Weyl y no tiene conexión con el grupo Weil-Châtelet ni con el grupo Mordell-Weil.

El grupo de Weil de una formación de clases con clases fundamentales u _{E / F} ∈ H ² ( E / F , A ^F ) es una especie de grupo de Galois modificado, introducido por Weil (1951) y utilizado en varias formulaciones de la teoría de campos de clases, y en particular en el programa de Langlands .

Si E / F es una capa normal, entonces el grupo de Weil U de E / F es la extensión

1 → A ^F → U → E / F → 1

correspondiente a la clase fundamental u _{E / F} en H ² ( E / F , A ^F ). El grupo de Weil de toda la formación se define como el límite inverso de los grupos de Weil de todas las capas G / F , para F un subgrupo abierto de G .

El mapa de reciprocidad de la formación de clases ( G , A ) induce un isomorfismo de A ^G a la abelianización del grupo de Weil. 

• Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1952], Teoría del campo de clases , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 0223335 
• Kawada, Yukiyosi (1971), "Formaciones de clases", 1969 Number Theory Institute (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Vol. XX, Universidad Estatal de Nueva York, Stony Brook, NY, 1969) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 96–114 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de Licenciatura en Matemáticas, vol.  67, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237 , especialmente el capítulo XI: Formaciones de clase
• Tate, J. (1979), "Number theoretic background" , Automorphic forms, representations, and L-functions Part 2 , Proc. Sympos. Pure Math., vol.  XXXIII, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 3–26 , ISBN  978-0-8218-1435-2
• Weil, André (1951), "Sur la theorie du corps de Classes", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 3 : 1– 35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN 0025-5645 , MR 0044569  , reimpreso en el volumen I de sus trabajos recopilados, ISBN 0-387-90330-5