Curva de blancmange

La versión periódica de la curva de Takagi también puede definirse como la única solución acotada.${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$a la ecuación funcional

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

De hecho, la función del blancmange${\displaystyle T_{w}}$ciertamente está acotado y resuelve la ecuación funcional, ya que

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

Por el contrario, si${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es una solución acotada de la ecuación funcional, que itera la igualdad que se tiene para cualquier N

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ para }}N\to \infty ,}$

De dónde${\displaystyle T=T_{w}}$. Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas y no acotadas, por ejemplo ${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

La curva de blancmange se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos. En las ilustraciones siguientes, se añaden a la curva funciones triangulares progresivamente más finas (mostradas en rojo) en cada etapa.

La suma infinita que define${\displaystyle T_{w}(x)}$converge absolutamente para todos${\displaystyle x.}$Desde${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

si${\displaystyle |w|<1.}$La curva de Takagi del parámetro${\displaystyle w}$se define en el intervalo unitario (o${\displaystyle \mathbb {R} }$) si${\displaystyle |w|<1}$. La función de Takagi de parámetro${\displaystyle w}$es continuo . Las funciones${\displaystyle T_{w,n}}$definido por las sumas parciales

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

son continuas y convergen uniformemente hacia${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

para todo x cuando${\displaystyle |w|<1.}$Este límite disminuye a medida que${\displaystyle n\to \infty .}$Por el teorema del límite uniforme ,${\displaystyle T_{w}}$es continua si | w |  <  1.

• 
  parámetro w = 2/3
• 
  parámetro w = 1/2
• 
  parámetro w = 1/3
• 
  parámetro w = 1/4
• 
  parámetro w = 1/8

Dado que el valor absoluto es una función subaditiva, también lo es la función.${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$y sus dilataciones${\displaystyle s(2^{k}x)}$Dado que las combinaciones lineales positivas y los límites puntuales de funciones subaditivas son subaditivos, la función de Takagi es subaditiva para cualquier valor del parámetro.${\displaystyle w}$.

Para${\displaystyle w=1/4}$, se obtiene la parábola : la construcción de la parábola por subdivisión del punto medio fue descrita por Arquímedes .

Para valores del parámetro${\displaystyle 0<w<1/2,}$la función Takagi${\displaystyle T_{w}}$ es diferenciable en el sentido clásico en cualquier${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$que no es un racional diádico . Por derivación bajo el signo de la serie, para cualquier racional no diádico${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$uno encuentra

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

dónde${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$es la secuencia de dígitos binarios en la expansión en base 2 de${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

De forma equivalente, los bits en la expansión binaria pueden entenderse como una secuencia de ondas cuadradas , las ondículas de Haar , escaladas a ancho${\displaystyle 2^{-n}.}$Esto se deduce del hecho de que la derivada de la onda triangular es simplemente la onda cuadrada:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

y entonces

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

Para el parámetro${\displaystyle 0<w<1/2,}$la función ${\displaystyle T_{w}}$es Lipschitz de constante${\displaystyle 1/(1-2w).}$En particular por el valor especial${\displaystyle w=1/4}$uno encuentra, para cualquier racional no diádico${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$, de acuerdo con lo mencionado ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

Para${\displaystyle w=1/2}$la función blancmange${\displaystyle T_{w}}$es de variación acotada en ningún conjunto abierto no vacío; ni siquiera es localmente Lipschitz, pero es cuasi-Lipschitz, de hecho, admite la función ${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$como módulo de continuidad .

La función de Takagi-Landsberg admite un desarrollo en serie de Fourier absolutamente convergente:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

con${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$y, para${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

dónde${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$es la potencia máxima de${\displaystyle 2}$que divide${\displaystyle m}$De hecho, la onda triangular anterior${\displaystyle s(x)}$tiene una expansión en serie de Fourier absolutamente convergente

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

Mediante convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente para${\displaystyle T_{w}(x)}$:

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

puesta${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$produce la serie de Fourier anterior para${\displaystyle T_{w}(x).}$

La definición recursiva permite dar el monoide de auto-simetrías de la curva. Este monoide viene dado por dos generadores, g y r , que actúan sobre la curva (restringida al intervalo unitario) como

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

y

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

Un elemento general del monoide tiene entonces la forma${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$para algunos números enteros${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$Esto actúa sobre la curva como una función lineal :${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$para algunas constantes a , b y c . Debido a que la acción es lineal, se puede describir en términos de un espacio vectorial , con la base del espacio vectorial :

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

En esta representación , la acción de g y r viene dada por

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Es decir, la acción de un elemento general.${\displaystyle \gamma }$mapea la curva de blancmange en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$para algunos enteros m , n , p . La aplicación viene dada exactamente por${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$donde los valores de a , b y c se pueden obtener directamente multiplicando las matrices anteriores. Es decir:

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$es inmediato.

El monoide generado por g y r se denomina a veces monoide diádico ; es un submonoide del grupo modular . Al hablar del grupo modular, la notación más común para g y r es T y S , pero esta notación entra en conflicto con los símbolos utilizados aquí.

La representación tridimensional anterior es solo una de las muchas representaciones posibles; muestra que la curva de blancmange es una posible realización de la acción. Es decir, existen representaciones para cualquier dimensión, no solo para 3; algunas de ellas dan lugar a las curvas de De Rham .