Autosimilitud

En matemáticas , un objeto autosimilar es exactamente o aproximadamente similar a una parte de sí mismo (es decir, el todo tiene la misma forma que una o más de las partes). Muchos objetos en el mundo real, como las costas , son estadísticamente autosimilares: partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas. ^{[ 2 ]} La autosimilitud es una propiedad típica de los fractales . La invariancia de escala es una forma exacta de autosimilitud donde, a cualquier aumento, hay una parte más pequeña del objeto que es similar al todo. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es simétrico e invariante de escala; se puede aumentar continuamente 3x sin cambiar de forma.

Peitgen y otros explican el concepto de la siguiente manera:

Si las partes de una figura son pequeñas réplicas del todo, entonces la figura se denomina autosimilar ... Una figura es estrictamente autosimilar si puede descomponerse en partes que son réplicas exactas del todo. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta de la figura completa. ^{[ 3 ]}

Dado que matemáticamente un fractal puede mostrar autosimilitud bajo una magnificación arbitraria, es imposible recrear esto físicamente. Peitgen et al. sugieren estudiar la autosimilitud utilizando aproximaciones:

Para dar un significado operacional a la propiedad de autosimilitud, necesariamente nos vemos obligados a trabajar con aproximaciones finitas de la figura límite. Esto se realiza mediante el método que denominaremos autosimilitud de caja, donde las mediciones se realizan en etapas finitas de la figura utilizando cuadrículas de diversos tamaños. ^{[ 4 ]}

Este vocabulario fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1964. ^{[ 5 ]}

En matemáticas , la autoafinidad es una característica de un fractal cuyas piezas se escalan en diferentes proporciones en las direcciones x e y . Esto significa que, para apreciar la autosimilitud de estos objetos fractales, deben reescalarse mediante una transformación afín anisotrópica . ^{[ 6 ]}

Un espacio topológico compacto X es autosimilar si existe un conjunto finito S que indexa un conjunto de homeomorfismos no sobreyectivos .${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$para lo cual ^{[ 7 ]}

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Si${\displaystyle X\subset Y}$, llamamos X autosimilar si es el único subconjunto no vacío de Y tal que la ecuación anterior se cumple para${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$. Llamamos. ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

una estructura autosimilar . Los homeomorfismos pueden iterarse , dando como resultado un sistema de funciones iteradas . La composición de funciones crea la estructura algebraica de un monoide . Cuando el conjunto S tiene solo dos elementos, el monoide se conoce como monoide diádico . El monoide diádico puede visualizarse como un árbol binario infinito ; de forma más general, si el conjunto S tiene p elementos, entonces el monoide puede representarse como un árbol p-ádico .

El grupo de automorfismos del monoide diádico es el grupo modular ; los automorfismos pueden representarse como rotaciones hiperbólicas del árbol binario.

Una noción más general que la autosimilitud es la autoafinidad .

El discontinuo de Cantor es autosimilar ya que cualquiera de sus subconjuntos cerrados es una imagen continua del discontinuo. ^{[ 9 ]}

El conjunto de Mandelbrot también es autosimilar en torno a los puntos de Misiurewicz .

La autosimilitud tiene consecuencias importantes para el diseño de redes informáticas, ya que el tráfico típico de red presenta propiedades autosimilares. Por ejemplo, en ingeniería de tráfico de telecomunicaciones , los patrones de tráfico de datos conmutados por paquetes parecen ser estadísticamente autosimilares. ^{[ 10 ]} Esta propiedad implica que los modelos simples que utilizan una distribución de Poisson son inexactos, y es probable que las redes diseñadas sin tener en cuenta la autosimilitud funcionen de maneras inesperadas.

De manera similar, los movimientos del mercado de valores se describen como mostrando autoafinidad , es decir, parecen autosimilares cuando se transforman mediante una transformación afín apropiada para el nivel de detalle que se muestra. ^{[ 11 ]} Andrew Lo describe la autosimilitud del rendimiento logarítmico del mercado de valores en econometría . ^{[ 12 ]}

Las reglas de subdivisión finita son una técnica poderosa para construir conjuntos autosimilares, incluyendo el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski .

Algunas curvas que llenan el espacio , como la curva de Peano y la curva de Moore , también presentan propiedades de autosimilitud. ^{[ 13 ]}

En la naturaleza

La autosimilitud también se puede encontrar en la naturaleza. Algunas plantas, como el brócoli romanesco , exhiben una fuerte autosimilitud.

• "Chevrons de Copperplate" — una película de zoom fractal autosimilar
• "Autosimilitud" — Nuevos artículos sobre autosimilitud. Algoritmo de Waltz.