Líneas tangentes a círculos

En geometría euclidiana plana , una recta tangente a un círculo es una recta que toca el círculo en un único punto , sin penetrar nunca en su interior. Las rectas tangentes a los círculos son objeto de varios teoremas y desempeñan un papel importante en numerosas construcciones y demostraciones geométricas . Dado que la recta tangente a un círculo en un punto $P$ es perpendicular al radio hasta ese punto, los teoremas que involucran rectas tangentes suelen incluir rectas radiales y círculos ortogonales .

Líneas tangentes a un círculo

Una recta tangente $t$ a un círculo $C$ lo interseca en un único punto $T.$ En comparación, las rectas secantes intersecan un círculo en dos puntos, mientras que otras rectas pueden no intersecarlo en absoluto. Esta propiedad de las rectas tangentes se conserva bajo diversas transformaciones geométricas , como escalas , rotaciones , traslaciones , inversiones y proyecciones cartográficas . En términos técnicos, estas transformaciones no alteran la estructura de incidencia de la recta tangente y el círculo, aunque estos se deformen.

El radio de un círculo es perpendicular a la recta tangente que pasa por su extremo en la circunferencia. A la inversa, la recta tangente es perpendicular al radio y pasa por el mismo extremo. La figura geométrica resultante, formada por el círculo y la recta tangente, presenta simetría de reflexión respecto al eje del radio.

No se puede trazar una línea tangente a través de un punto dentro de un círculo, ya que cualquier línea de este tipo debe ser una línea secante. Sin embargo, se pueden trazar dos líneas tangentes a un círculo desde un punto $P$ fuera del círculo. La figura geométrica de un círculo y ambas líneas tangentes tienen, asimismo, una simetría de reflexión respecto al eje radial que une $P$ con el centro $O$ del círculo. Por lo tanto, las longitudes de los segmentos desde $P$ hasta los dos puntos de tangencia son iguales (esto a veces se denomina Teorema de las Dos Tangentes , ^{[ 1 ]} véase Incircle ). Según el teorema secante-tangente , el cuadrado de esta longitud de tangente es igual a la potencia del punto P en el círculo $C.$ Esta potencia es igual al producto de las distancias desde $P$ a dos puntos cualesquiera de intersección del círculo con una línea secante que pasa por $P.$

La recta tangente $t$ y el punto de tangencia $T$ tienen una relación de conjugación, que se ha generalizado en el concepto de polos y rectas polares . La misma relación recíproca existe entre un punto $P$ fuera del círculo y la recta secante que une sus dos puntos de tangencia.

Si un punto $P$ es exterior a un círculo con centro $O$ , y si las líneas tangentes desde $P$ tocan el círculo en los puntos $T$ y $S$ , entonces $∠ TPS$ y $∠ TOS$ son suplementarios (suman 180°).

Si se traza una cuerda $TM desde el punto de tangencia$ $T$ del punto exterior $P$ y $∠ PTM \leq 90°$ entonces $∠ PTM = ½ ∠ TOM$ .

ecuación cartesiana

Supongamos que la ecuación del círculo en coordenadas cartesianas es $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$ con centro en $(a, b) . Entonces$ $,$ la recta tangente del círculo en $(x1, y1)$ tiene ecuación cartesiana $.$

$(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0$

Esto se puede demostrar tomando la derivada implícita del círculo. Digamos que el círculo tiene ecuación de $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2},$ y estamos encontrando la pendiente de la línea tangente en $(x 1, y 1)$ donde $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.$ Comenzamos tomando la derivada implícita con respecto a $x$ :

${\begin{aligned}(xa)^{2}+(yb)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(xa)+2(yb){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}$

Ahora que tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos sustituir la pendiente y la coordenada del punto de tangencia en la ecuación de la recta $y = kx + m$ .

${\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}$

Construcciones con compás y regla

Es relativamente sencillo trazar una línea $t$ tangente a un círculo en un punto $T$ de la circunferencia del círculo:

Se traza una línea $a desde$ $O$ , el centro del círculo, pasando por el punto radial $T$ ;
La línea $t$ es la línea perpendicular a $a$ .

El teorema de Tales puede utilizarse para construir las líneas tangentes a un punto $P$ externo al círculo $C$ :

Se dibuja un círculo centrado en el punto medio $M$ del segmento de línea $OP$ , con diámetro $OP$ , donde $O$ es nuevamente el centro del círculo $C$ (cian).
Los puntos de intersección $T 1$ y $T 2$ del círculo $C$ y el nuevo círculo son los puntos de tangencia para las líneas que pasan por $P$ , según el siguiente argumento (tan).

Los segmentos de recta $OT 1$ y $OT 2$ son radios del círculo $C$ ; dado que ambos están inscritos en un semicírculo, son perpendiculares a los segmentos de recta $PT 1$ y $PT 2$ , respectivamente. Pero solo una recta tangente es perpendicular a la recta radial. Por lo tanto, las dos rectas que parten de P $y$ pasan por $T 1$ y $T 2$ son tangentes al círculo $C.$

Otro método para construir las líneas tangentes a un punto $P$ externo al círculo utilizando únicamente una regla :

Dibuja tres líneas distintas que pasen por el punto $P$ dado y que intersequen la circunferencia dos veces.
Sean $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ los seis puntos de intersección, donde la misma letra corresponde a la misma línea y el índice 1 corresponde al punto más cercano a $P$ .
Sea $D$ el punto donde se intersecan las líneas $A 1 B 2$ y $A 2 B 1$ ,
De forma similar, $E$ para las líneas $B 1 C 2$ y $B 2 C 1$ .
Dibuja una línea que pase por $D$ y $E.$
Esta línea interseca el círculo en dos puntos, $F$ y $G.$
Las tangentes son las líneas $PF$ y $PG$ . ^{[ 2 ]}

Con geometría analítica

Dejar $P=(a,b)$ sea un punto del círculo con ecuación $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ La tangente en $P$ tiene ecuación $ax+by=r^{2},$ porque $P$ se encuentra en ambas curvas y ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ es un vector normal de la línea. La tangente interseca el eje $x en el punto$ $P_{0}=(x_{0},0)$ con $ax_{0}=r^{2}.$

Por el contrario, si uno comienza con el punto $P_{0}=(x_{0},0),$ Entonces las dos tangentes que pasan por $P 0$ se encuentran con el círculo en los dos puntos. $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$ con $a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.$ Escrito en formato vectorial: ${\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .$

Si punto $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ no se encuentra en el eje $x$ : En la forma vectorial se reemplaza $x 0$ por la distancia ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ y los vectores base unitarios por los vectores unitarios ortogonales ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$ Entonces las tangentes que pasan por el punto $P 0$ tocan el círculo en los puntos ${\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.$

Para $d 0 < r$ no existen tangentes.
Para $d 0 = r$ el punto $P 0$ se encuentra en el círculo y hay solo una tangente con ecuación $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.$
En caso de $d 0 > r$ hay 2 tangentes con ecuaciones $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.$

Relación con la inversión del círculo : Ecuación $ax_{0}=r^{2}$ describe la inversión circular de un punto $(x_{0},0).$

Relación con polo y polar : El polar del punto $(x_{0},0)$ tiene ecuación $xx_{0}=r^{2}.$

Polígonos tangenciales

Un polígono tangente es un polígono cuyos lados son tangentes a una circunferencia determinada, llamada circunferencia inscrita . Todo triángulo es un polígono tangente, al igual que todo polígono regular de cualquier número de lados; además, para cualquier número de lados de un polígono, existe un número infinito de polígonos tangentes no congruentes .

Teorema del cuadrilátero tangente y círculos inscritos

Un cuadrilátero tangente $ABCD$ es una figura cerrada de cuatro lados rectos que son tangentes a un círculo dado $C.$ De forma equivalente, el círculo $C$ está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ . Por el teorema de Pitot , la suma de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero de este tipo es igual, es decir,

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.$

Esta conclusión se deduce de la igualdad de los segmentos tangentes desde los cuatro vértices del cuadrilátero. Denotemos los puntos de tangencia como $P$ (en el segmento $AB$ ), $Q$ (en el segmento $BC$ ), $R$ (en el segmento $CD$ ) y $S$ (en el segmento $DA$ ). Los segmentos tangentes simétricos respecto a cada punto de $ABCD$ son iguales: ${\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}$ Pero cada lado del cuadrilátero está compuesto por dos segmentos tangentes de este tipo.

${\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}$

demostrando el teorema.

Lo contrario también es cierto: se puede inscribir un círculo en todo cuadrilátero en el que la suma de las longitudes de los lados opuestos sea igual. ^{[ 3 ]}

Este teorema y su recíproco tienen diversas aplicaciones. Por ejemplo, demuestran inmediatamente que ningún rectángulo puede tener un círculo inscrito a menos que sea un cuadrado , y que todo rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un paralelogramo común no lo tiene.

Líneas tangentes a dos círculos

Para dos círculos, generalmente existen cuatro líneas distintas tangentes a ambos ( bitangentes ) –si los dos círculos están fuera uno del otro–, pero en casos degenerados puede haber entre cero y cuatro líneas bitangentes; estas se abordan más adelante. Para dos de estas líneas, las tangentes externas, los círculos se encuentran en el mismo lado de la línea; para las otras dos, las tangentes internas, los círculos se encuentran en lados opuestos de la línea. Las tangentes externas se intersecan en el centro homotético externo , mientras que las tangentes internas se intersecan en el centro homotético interno. Tanto el centro homotético externo como el interno se encuentran sobre la línea de centros (la línea que conecta los centros de los dos círculos), más cerca del centro del círculo más pequeño: el centro interno está en el segmento entre los dos círculos, mientras que el centro externo no está entre los puntos, sino fuera, del lado del centro del círculo más pequeño. Si los dos círculos tienen el mismo radio, aún existen cuatro bitangentes, pero las líneas tangentes externas son paralelas y no hay centro externo en el plano afín ; en el plano proyectivo , el centro homotético externo se encuentra en el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de estas líneas. ^{[ 4 ]}

Tangente exterior

$La$ línea roja que une los puntos $($ $x3, y3) y$ ( $x4, y4)$ $es$ la tangente exterior entre los dos círculos. Dados los puntos $($ $x1$ $,$ $y1$ $)$ $y$ $($ $x2$ $,$ $y2$ $)$ $,$ $los$ $puntos$ $($ $x3$ $,$ y3 $)$ $y$ $($ $x4$ $,$ $y4$ $)$ $se$ $pueden$ $calcular$ $fácilmente$ $con$ la $ayuda$ del ángulo $α$ :

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}$

Aquí $R$ y $r$ denotan los radios de los dos círculos y el ángulo $α$ se puede calcular usando trigonometría básica . Tienes $α = γ - β$ con ^{[ 5 ]} ${\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\mp \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}$ donde atan2 es la arcotangente de 2 argumentos.

Las distancias entre los centros de los círculos más cercano y más lejano, $O 2$ y $O 1$ , y el punto donde se intersecan las dos tangentes exteriores de los dos círculos ( centro homotético ), $S$ respectivamente, se pueden encontrar utilizando la semejanza de la siguiente manera: ${\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}$ Aquí, $r$ puede ser $r 1$ o $r 2$ dependiendo de la necesidad de encontrar distancias desde los centros del círculo más cercano o más lejano, $O 2$ y $O 1$ . $d$ es la distancia $O 1 O 2$ entre los centros de dos círculos.

Tangente interior

Una tangente interior es aquella que interseca el segmento que une los centros de dos círculos. Cabe destacar que la tangente interior no se define cuando los dos círculos se superponen.

Construcción

Las líneas bitangentes se pueden construir de dos maneras: primero, construyendo los centros homotéticos, como se describe en ese artículo, y luego trazando las líneas tangentes que pasan por el centro homotético y que son tangentes a una circunferencia, mediante alguno de los métodos descritos anteriormente. La línea resultante también será tangente a la otra circunferencia. Alternativamente, las líneas y los puntos tangentes se pueden construir de forma más directa, como se detalla a continuación. Cabe señalar que, en casos degenerados , estas construcciones fallan; para simplificar la explicación, esto no se aborda en esta sección, pero una forma de la construcción puede funcionar en casos límite (por ejemplo, dos circunferencias tangentes en un punto).

Geometría sintética

Sean $O₁$ y $O₂$ $los$ centros de los dos círculos, $C₁$ $y$ C₂ $,$ $y$ sean r₁ y r₂ sus $radios$ , $con$ $r₁$ > r₂ $; en otras$ palabras, el círculo $C₁$ $se$ $define como el mayor de los dos. Se pueden utilizar dos$ $métodos$ $diferentes$ para construir las líneas tangentes externa e interna $.$

Tangentes externas

Se traza un nuevo círculo $C₃$ $de$ radio $r₁ - r₂ centrado$ $en$ $O₁ . Siguiendo$ $el$ $método$ anterior, se trazan dos líneas desde $O₂$ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las tangentes deseadas, ya que la situación corresponde a una contracción constante $de ambos círculos$ $,$ $C₁$ y $C₂,$ $lo$ que reduce $C₂$ a un punto. Se pueden trazar dos líneas radiales desde el centro $O₁$ $que$ $pasen por$ los puntos de tangencia en $C₃$ ; estas intersecan $a$ $C₁$ en los puntos de tangencia deseados. Las tangentes externas deseadas son las perpendiculares a estas líneas radiales en dichos puntos de tangencia, las cuales se pueden construir como se describió anteriormente $.$

Tangentes internas

Se dibuja un nuevo círculo $C₃$ $de$ radio $r₁ + r₂ centrado en$ $O₁ . Siguiendo$ $el método$ $anterior$ , se trazan dos líneas desde $O₂$ $que son tangentes a este nuevo círculo$ . Estas líneas son paralelas a las tangentes deseadas, ya que la situación corresponde a reducir $C₂$ a un punto mientras se expande $C₁$ $en$ una cantidad constante, $r₂ .$ $Se$ pueden trazar dos líneas radiales desde el centro $O₁$ que pasen por los puntos de tangencia en $C₃$ ; estas intersecan $a$ $C₁ en los puntos de tangencia deseados. Las tangentes internas deseadas son$ $las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en dichos puntos$ $de tangencia, las cuales se pueden construir como$ $se$ describió anteriormente.

Geometría analítica

Sean los círculos con centros $c 1 = (x 1, y 1)$ y $c 2 = (x 2, y 2)$ con radios $r 1$ y $r 2$ respectivamente. Expresando una línea por la ecuación $ax+by+c=0,$ con la normalización $a^{2}+b^{2}=1,$ entonces una línea bitangente satisface: ${\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}$ Resolviendo para $(a, b, c)$ restando el primero del segundo se obtiene $a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)$ dónde $\Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}$ y $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ para la tangente exterior o $\Delta r=r_{2}+r_{1}$ para la tangente interior.

Si ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ es la distancia de $c 1$ a $c 2$ que podemos normalizar por $X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}$ para simplificar la ecuación (1), resultando en el siguiente sistema de ecuaciones: ${\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}$ Resuelve estos para obtener dos soluciones ( $k = \pm1$ ; $k=-1$ para tangente izquierda, $k=+1$ para la tangente derecha) para las dos líneas tangentes ( $m=-1$ para tangente exterior, $m=+1$ para tangente interior): ${\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=-m\cdot r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}$ Geométricamente, esto corresponde a calcular el ángulo formado por las rectas tangentes y la recta de centros, y luego usar ese valor para rotar la ecuación de la recta de centros y obtener así la ecuación de la recta tangente. El ángulo se calcula mediante las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro homotético (externo), el centro de un círculo y un punto de tangencia; la hipotenusa se encuentra sobre la recta tangente, el radio es opuesto al ángulo y el cateto adyacente se encuentra sobre la recta de centros.

$(X, Y)$ es el $vector$ unitario que apunta de $c1$ a $c2$ , mientras que $R$ es $cos θ,$ $donde$ θ $es$ el ángulo entre la línea de centros y una línea tangente. $Sin θ$ es entonces $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ (dependiendo del signo de $θ$ , equivalentemente la dirección de rotación), y las ecuaciones anteriores representan la rotación de $(X, Y)$ en $\pm θ$ utilizando la matriz de rotación : ${\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}$

$k = 1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 1$ a $c 2$ .
$k = - 1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 2$ a $c 1$ .

Lo anterior supone que cada círculo tiene radio positivo. Si $r 1$ es positivo y $r 2$ negativo, entonces $c 1$ estará a la izquierda de cada línea y $c 2$ a la derecha, y las dos líneas tangentes se cruzarán. De esta manera se obtienen las cuatro soluciones. Al cambiar los signos de ambos radios, se intercambian $k = 1$ y $k = - 1$ .

Vectores

En general, los puntos de tangencia $t 1$ y $t 2$ para las cuatro líneas tangentes a dos circunferencias con centros $v 1$ y $v 2$ y radios $r 1$ y $r 2$ se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones:

${\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

Estas ecuaciones expresan que la línea tangente, que es paralela a $t_{2}-t_{1},$ es perpendicular a los radios, y los puntos de tangencia se encuentran en sus respectivos círculos.

Se trata de cuatro ecuaciones cuadráticas en dos variables vectoriales bidimensionales, y en general tendrán cuatro pares de soluciones.

Casos degenerados

Dos círculos distintos pueden tener entre cero y cuatro líneas bitangentes, según su configuración; estas se pueden clasificar en función de la distancia entre sus centros y sus radios. Si se cuentan con multiplicidad (contando una tangente común dos veces), hay cero, dos o cuatro líneas bitangentes. Las líneas bitangentes también se pueden generalizar a círculos con radio negativo o cero. Los casos degenerados y las multiplicidades también se pueden entender en términos de límites de otras configuraciones; por ejemplo, el límite de dos círculos que casi se tocan y el desplazamiento de uno de ellos hasta que se tocan, o un círculo de radio pequeño que se reduce a un círculo de radio cero.

Si los círculos están fuera uno del otro ( $d>r_{1}+r_{2}$ ), que es la posición general , hay cuatro bitangentes.
Si se tocan externamente en algún punto ( $d=r_{1}+r_{2}$ ) – tienen un punto de tangencia externa – entonces tienen dos bitangentes externas y una bitangente interna, a saber, la línea tangente común. Esta línea tangente común tiene multiplicidad dos, ya que separa los círculos (uno a la izquierda, uno a la derecha) para cualquier orientación (dirección).
Si los círculos se intersecan en dos puntos ( $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$ ), entonces no tienen bitangentes internas y dos bitangentes externas (no se pueden separar, porque se intersecan, por lo tanto no hay bitangentes internas).
Si los círculos se tocan internamente en un punto ( $d=|r_{1}-r_{2}|$ ) – tienen un punto de tangencia interna – entonces no tienen bitangentes internas y una bitangente externa, a saber, la línea tangente común, que tiene multiplicidad dos, como se indicó anteriormente.
Si un círculo está completamente dentro del otro ( $d<|r_{1}-r_{2}|$ ) entonces no tienen bitangentes, ya que una línea tangente al círculo exterior no interseca el círculo interior, o viceversa, una línea tangente al círculo interior es una línea secante al círculo exterior.

Finalmente, si los dos círculos son idénticos, cualquier tangente al círculo es una tangente común y, por lo tanto, una bitangente (externa), de modo que hay un número de bitangantes equivalente al de un círculo.

Además, la noción de líneas bitangentes se puede extender a círculos con radio negativo (el mismo lugar geométrico de puntos, $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$ pero considerado "de adentro hacia afuera"), en cuyo caso si los radios tienen signo opuesto (un círculo tiene radio negativo y el otro tiene radio positivo) los centros homotéticos externos e internos y las bitangentes externas e internas se intercambian, mientras que si los radios tienen el mismo signo (ambos radios positivos o ambos radios negativos) "externo" e "interno" tienen el mismo sentido habitual (cambiar un signo los intercambia, por lo que cambiar ambos los vuelve a intercambiar).

También se pueden definir líneas bitangentes cuando uno o ambos círculos tienen radio cero. En este caso, el círculo con radio cero es un punto doble, por lo que cualquier línea que lo atraviese lo interseca con multiplicidad dos, siendo así una tangente. Si un círculo tiene radio cero, una línea bitangente es simplemente una línea tangente al círculo que pasa por el punto, y se considera de multiplicidad dos. Si ambos círculos tienen radio cero, la línea bitangente es la que definen, y se considera de multiplicidad cuatro.

Cabe señalar que, en estos casos degenerados, el centro homotético externo e interno generalmente siguen existiendo (el centro externo se encuentra en el infinito si los radios son iguales), excepto si los círculos coinciden, en cuyo caso el centro externo no está definido, o si ambos círculos tienen radio cero, en cuyo caso el centro interno no está definido.

Aplicaciones

Problema con la correa

Las líneas tangentes internas y externas son útiles para resolver el problema de la correa , que consiste en calcular la longitud de una correa o cuerda necesaria para ajustarse perfectamente a dos poleas. Si se considera que la correa es una línea matemática de espesor despreciable y se supone que ambas poleas se encuentran exactamente en el mismo plano, el problema se reduce a sumar las longitudes de los segmentos de línea tangente relevantes con las longitudes de los arcos circulares subtendidos por la correa. Si la correa se enrolla alrededor de las ruedas de manera que las cruce, los segmentos de línea tangente interna son relevantes. Por el contrario, si la correa se enrolla externamente alrededor de las poleas, los segmentos de línea tangente externa son relevantes; este caso a veces se denomina problema de la polea .

Rectas tangentes a tres circunferencias: Teorema de Monge

Para tres círculos denominados $C₁$ , $C₂$ y $C₃$ , existen tres pares de círculos ( $C₁C₂$ $,$ $C₂C₃$ $y$ C₁C₃ $)$ . $Dado$ $que cada par$ $de círculos tiene dos centros$ $homotéticos$ , existen seis centros homotéticos en $total$ . A principios del siglo $XIX$ $,$ Gaspard Monge $demostró$ $que$ estos seis puntos se encuentran sobre cuatro líneas, cada una con tres puntos colineales $.$

El problema de Apolonio

Muchos casos particulares del problema de Apolonio implican encontrar una circunferencia tangente a una o más rectas. El más sencillo consiste en construir circunferencias tangentes a tres rectas dadas (el problema LLL ). Para resolverlo, el centro de cualquier circunferencia de este tipo debe estar situado sobre la bisectriz de un ángulo formado por cualquier par de rectas; existen dos bisectrices de ángulos por cada intersección de dos rectas. Las intersecciones de estas bisectrices dan los centros de las circunferencias solución. En general, existen cuatro circunferencias de este tipo: la circunferencia inscrita en el triángulo formado por la intersección de las tres rectas y las tres circunferencias exscritas.

Un problema general de Apolonio puede transformarse en el problema más simple de una circunferencia tangente a otra circunferencia y dos líneas paralelas (que a su vez es un caso especial del caso especial de LLC ). Para ello, basta con escalar dos de las tres circunferencias dadas hasta que se toquen, es decir, sean tangentes. Una inversión en su punto de tangencia con respecto a una circunferencia de radio apropiado transforma las dos circunferencias tangentes en dos líneas paralelas, y la tercera circunferencia en otra. Así, las soluciones se pueden encontrar deslizando una circunferencia de radio constante entre dos líneas paralelas hasta que toque la tercera circunferencia transformada. Una nueva inversión produce las soluciones correspondientes al problema original.

Generalizaciones

El concepto de recta tangente a uno o más círculos puede generalizarse de varias maneras. Primero, la relación de conjugación entre puntos de tangencia y rectas tangentes puede generalizarse a polos y líneas polares , donde los polos pueden estar en cualquier lugar, no solo en la circunferencia. Segundo, la unión de dos círculos es un caso especial ( reducible ) de una curva plana cuártica , y las rectas tangentes externa e interna son las bitangentes de esta curva cuártica. Una curva cuártica genérica tiene 28 bitangentes.

Una tercera generalización considera círculos tangentes, en lugar de líneas tangentes; una línea tangente puede considerarse como un círculo tangente de radio infinito. En particular, las líneas tangentes externas a dos círculos son casos límite de una familia de círculos que son interna o externamente tangentes a ambos, mientras que las líneas tangentes internas son casos límite de una familia de círculos que son internamente tangentes a uno y externamente tangentes al otro. ^{[ 6 ]}

En la geometría de Möbius o geometría inversiva , las líneas se consideran círculos que pasan por un punto en el infinito, y para cualquier línea y cualquier círculo, existe una transformación de Möbius que los convierte en el mismo. En la geometría de Möbius, la tangencia entre una línea y un círculo se convierte en un caso particular de tangencia entre dos círculos. Esta equivalencia se extiende aún más en la geometría de la esfera de Lie .

El radio y la línea tangente son perpendiculares en un punto de un círculo, y ortogonales a la hiperbola en un punto de la hipérbola unitaria . La representación paramétrica de la hipérbola unitaria mediante el vector radio es $p (a) = (cosh a, sinh a)$ . La derivada de $p (a)$ apunta en la dirección de la línea tangente en $p (a)$ , y es ${\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).$ El radio y la tangente son hiperbólicamente ortogonales en $a$ ya que $p (a)$ y ⁠ ${\tfrac {dp}{da}}$ son reflejos uno del otro en la asíntota $y = x$ de la hipérbola unitaria. Cuando se interpretan como números complejos divididos (donde $jj = +1$ ), los dos números satisfacen $jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.$

Referencias

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↑ "Cómo encontrar tangentes a un círculo con una regla" . Stack Exchange . 15 de agosto de 2015.
↑ Alexander Bogomolny "¿Cuándo es inscriptible un cuadrilátero?" en Cut-the-knot
↑ Paul Kunkel. "Círculos tangentes" . Whistleralley.com . Consultado el 29 de septiembre de 2008 .
↑ Libeskind, Shlomo ( 2007), Geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva , págs. 110–112 ( Copia en línea , pág. 110, en Google Libros )
↑ Kunkel, Paul (2007), "El problema de la tangencia de Apolonio: tres perspectivas" (PDF) , BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics , 22 (1): 34–46 , doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Líneas tangentes a un círculo" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Líneas tangentes a dos círculos" . MathWorld .

[1] "CK-12 Geometry Concepts" (PDF) . Opac.uma.ac.id. Consultado el 24 de junio de 2026 .

[2] "Cómo encontrar tangentes a un círculo con una regla" . Stack Exchange . 15 de agosto de 2015.

[3] Alexander Bogomolny "¿Cuándo es inscriptible un cuadrilátero?" en Cut-the-knot

[4] Paul Kunkel. "Círculos tangentes" . Whistleralley.com . Consultado el 29 de septiembre de 2008 .

[5] Libeskind, Shlomo ( 2007), Geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva , págs. 110–112 ( Copia en línea , pág. 110, en Google Libros )

[6] Kunkel, Paul (2007), "El problema de la tangencia de Apolonio: tres perspectivas" (PDF) , BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics , 22 (1): 34–46 , doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

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