Cuadrilátero tangente

En geometría euclidiana , un cuadrilátero tangente (a veces simplemente cuadrilátero tangente ) o cuadrilátero circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyos lados pueden ser tangentes a un único círculo dentro del cuadrilátero. Este círculo se llama círculo inscrito del cuadrilátero, su centro es el incentro y su radio se llama radio inscrito . Dado que estos cuadriláteros pueden dibujarse rodeando o circunscribiendo sus círculos inscritos, también se les ha llamado cuadriláteros circunscribibles , cuadriláteros circunscriptivos y cuadriláteros circunscriptibles . ^{[ 1 ]} Los cuadriláteros tangentes son un caso especial de polígonos tangentes .

Otros nombres menos frecuentes para esta clase de cuadriláteros son cuadrilátero inscriptible , cuadrilátero inscriptible , cuadrilátero inscriptible , cuadrilátero circuncíclico y cuadrilátero cocíclico . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Debido al riesgo de confusión con un cuadrilátero que tiene una circunferencia circunscrita , que se denomina cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito, es preferible no utilizar ninguno de los últimos cinco nombres. ^{[ 1 ]}

Todos los triángulos pueden tener un círculo inscrito, pero no todos los cuadriláteros. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser tangente es un rectángulo no cuadrado . Las caracterizaciones de la sección que se presentan a continuación establecen las condiciones necesarias y suficientes que debe cumplir un cuadrilátero para poder tener un círculo inscrito.

Ejemplos de cuadriláteros tangenciales son los cometas , que incluyen los rombos , que a su vez incluyen los cuadrados . Los cometas son precisamente los cuadriláteros tangenciales que también son ortodiagonales . ^{[ 3 ]} Un cometa recto es un cometa con una circunferencia circunscrita . Si un cuadrilátero es tangencial y cíclico , se llama cuadrilátero bicéntrico , y si es tangencial y trapecio , se llama trapecio tangencial .

En un cuadrilátero tangente, las cuatro bisectrices de los ángulos se intersecan en el centro del círculo inscrito. Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que las cuatro bisectrices de los ángulos se intersecan en un punto debe ser tangente y el punto común es el incentro. ^{[ 4 ]}

Según el teorema de Pitot , la suma de los dos pares de lados opuestos en un cuadrilátero tangente es igual a la longitud total, que es igual al semiperímetro s del cuadrilátero:

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que a + c = b + d debe ser tangente. ^{[ 1 ] : p.65 [ 4 ]}

Si los lados opuestos de un cuadrilátero convexo ABCD (que no es un trapecio ) se intersecan en E y F , entonces es tangente si y solo si cualquiera de ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

o

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC:}$

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero convexo ABCD sea tangente si y solo si las circunferencias inscritas en los dos triángulos ABC y ADC son tangentes entre sí. ^{[ 1 ] : p.66}

Una caracterización de los ángulos formados por la diagonal BD y los cuatro lados de un cuadrilátero ABCD se debe a Iosifescu. Demostró en 1954 que un cuadrilátero convexo tiene un círculo inscrito si y solo si ^{[ 5 ].}

${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

Además, un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d es tangente si y solo si

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$

donde R _a , R _b , R _c , R _d son los radios de los círculos tangentes externamente a los lados a , b , c , d respectivamente y las extensiones de los dos lados adyacentes para cada lado. ^{[ 6 ] : p.72}

Se conocen varias caracterizaciones más en los cuatro subtriángulos formados por las diagonales.

La circunferencia inscrita es tangente a cada lado en un punto de contacto . Estos cuatro puntos definen un nuevo cuadrilátero dentro del cuadrilátero inicial: el cuadrilátero de contacto, que es cíclico ya que está inscrito en la circunferencia inscrita del cuadrilátero inicial.

Las ocho longitudes tangentes ( e , f , g , h en la figura de la derecha) de un cuadrilátero tangente son los segmentos de línea que van desde un vértice hasta los puntos de tangencia. Desde cada vértice, hay dos longitudes tangentes congruentes .

Las dos cuerdas tangentes ( k y l en la figura) de un cuadrilátero tangente son los segmentos de línea que conectan los puntos de contacto en lados opuestos. Estas son también las diagonales del cuadrilátero de contacto.

El radio interno de un cuadrilátero tangente con lados consecutivos a , b , c , d viene dado por ^{[ 7 ].}

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}}$

donde K es el área del cuadrilátero y s es su semiperímetro. Para un cuadrilátero tangente con lados dados, el radio de la circunferencia inscrita es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y por lo tanto un cuadrilátero bicéntrico ).

En términos de las longitudes de las tangentes , el círculo inscrito tiene radio ^{[ 8 ] : Lema2 [ 13 ]}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

El radio de entrada también se puede expresar en términos de las distancias desde el incentro I a los vértices del cuadrilátero tangente ABCD . Si u = AI , v = BI , x = CI e y = DI , entonces

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

dónde${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$. ^{[ 14 ]}

Si los círculos inscritos en los triángulos ABC , BCD , CDA , DAB tienen radios${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$respectivamente, entonces el radio de entrada de un cuadrilátero tangente ABCD viene dado por

${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$

dónde${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$. ^{[ 15 ]}

Si e , f , g y h son las longitudes de tangente desde los vértices A , B , C y D respectivamente hasta los puntos donde el círculo inscrito es tangente a los lados de un cuadrilátero tangente ABCD , entonces los ángulos del cuadrilátero se pueden calcular a partir de ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

El ángulo entre las cuerdas tangentes k y l viene dado por ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Si e , f , g y h son las longitudes de las tangentes desde A , B , C y D respectivamente a los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a los lados de un cuadrilátero tangente ABCD , entonces las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD son ^{[ 8 ] : Lema3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

Si e , f , g y h son las longitudes de las tangentes de un cuadrilátero tangente, entonces las longitudes de las cuerdas tangentes son ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

donde la cuerda tangente de longitud k conecta los lados de longitudes a = e + f y c = g + h , y la de longitud l conecta los lados de longitudes b = f + g y d = h + e . La razón al cuadrado de las cuerdas tangentes satisface ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

Las dos cuerdas de tangencia

• son perpendiculares si y solo si el cuadrilátero tangente también tiene una circunferencia circunscrita (es bicéntrico ). ^{[ 3 ] : p.124}
• tienen longitudes iguales si y solo si el cuadrilátero tangente es un cometa . ^{[ 16 ] : p.166}

La cuerda tangente entre los lados AB y CD en un cuadrilátero tangente ABCD es más larga que la que une los lados BC y DA si y solo si la bimediana entre los lados AB y CD es más corta que la que une los lados BC y DA . ^{[ 17 ] : p.162}

Si el cuadrilátero tangente ABCD tiene puntos de tangencia W en AB e Y en CD , y si la cuerda tangente WY interseca la diagonal BD en M , entonces la razón de las longitudes de las tangentes es${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$es igual a la razón${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$de los segmentos de la diagonal BD . ^{[ 18 ]}

Si M ₁ y M ₂ son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangente ABCD con incentro I , y si los pares de lados opuestos se encuentran en J y K siendo M ₃ el punto medio de JK , entonces los puntos M ₃ , M ₁ , I y M ₂ son colineales . ^{[ 4 ] : p.42} La línea que los contiene es la línea de Newton del cuadrilátero.

Si las prolongaciones de los lados opuestos de un cuadrilátero tangente se intersecan en J y K , y las prolongaciones de los lados opuestos de su cuadrilátero de contacto se intersecan en L y M , entonces los cuatro puntos J , L , K y M son colineales. ^{[ 19 ] : Cor.3}

Si la circunferencia inscrita es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en T1 _, T2 , _T3 , T4 respectivamente , y si N1 _, N2 , _N3 , _N4 son los _conjugados isotómicos de estos puntos con respecto a los lados correspondientes (es decir, _{AT1 =} BN1 , _{etc. )} , entonces el punto _de Nagel del cuadrilátero tangente se define como la intersección de las líneas N1N3 y N2N4 _. Ambas líneas dividen el perímetro del cuadrilátero en dos partes iguales. Más importante aún, el punto de Nagel _{N ,} el " centroide del área" G y el incentro I son colineales en este orden, y NG = 2GI . Esta línea se denomina línea de Nagel de un cuadrilátero tangente. ^{[ 20 ]}

En un cuadrilátero tangente ABCD con incentro I y donde las diagonales se intersecan en P , sean H _X , H _Y , H _Z , H _W los ortocentros de los triángulos AIB , BIC , CID , DIA . Entonces los puntos P , H _X , H _Y , H _Z , H _W son colineales. ^{[ 10 ] : p.28}

Las dos diagonales y las dos cuerdas de tangencia son concurrentes . ^{[ 11 ] [ 10 ] : p.11} Una forma de ver esto es como un caso límite del teorema de Brianchon , que establece que un hexágono cuyos lados son tangentes a una sola sección cónica tiene tres diagonales que se encuentran en un punto. A partir de un cuadrilátero tangente, se puede formar un hexágono con dos ángulos de 180°, colocando dos nuevos vértices en dos puntos de tangencia opuestos; los seis lados de este hexágono se encuentran en líneas tangentes a la circunferencia inscrita, por lo que sus diagonales se encuentran en un punto. Pero dos de estas diagonales son iguales a las diagonales del cuadrilátero tangente, y la tercera diagonal del hexágono es la línea que pasa por dos puntos de tangencia opuestos. Repitiendo este mismo argumento con los otros dos puntos de tangencia se completa la demostración del resultado.

Si las prolongaciones de lados opuestos en un cuadrilátero tangente se intersecan en J y K , y las diagonales se intersecan en P , entonces JK es perpendicular a la prolongación de IP donde I es el incentro. ^{[ 19 ] : Cor.4}

El incentro de un cuadrilátero tangente se encuentra sobre su línea de Newton (que conecta los puntos medios de las diagonales). ^{[ 21 ] : Teorema 3}

La razón entre dos lados opuestos en un cuadrilátero tangente se puede expresar en términos de las distancias entre el incentro I y los vértices según ^{[ 10 ] : p.15}

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.}$

El producto de dos lados adyacentes en un cuadrilátero tangente ABCD con incentro I satisface ^{[ 22 ].}

${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.}$

Si I es el incentro de un cuadrilátero tangente ABCD , entonces ^{[ 10 ] : p.16}

${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

El incentro I en un cuadrilátero tangente ABCD coincide con el "centroide del vértice" del cuadrilátero si y solo si ^{[ 10 ] : p.22}

${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID.}$

Si M _p y M _q son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangente ABCD con incentro I , entonces ^{[ 10 ] : p.19 [ 23 ]}

${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$

donde e , f , g y h son las longitudes de las tangentes en A , B , C y D respectivamente. Combinando la primera igualdad con una propiedad anterior, el "centroide del vértice" del cuadrilátero tangente coincide con el incentro si y solo si el incentro es el punto medio del segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales.

Si un mecanismo de cuatro barras se construye en forma de cuadrilátero tangente, seguirá siendo tangente sin importar cómo se flexione, siempre que el cuadrilátero permanezca convexo. ^{[ 24 ] [ 25 ]} (Así, por ejemplo, si un cuadrado se deforma en un rombo, sigue siendo tangente, aunque a un círculo inscrito más pequeño). Si un lado se mantiene en una posición fija, entonces, al flexionarse el cuadrilátero, el incentro traza un círculo de radio${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$donde a, b, c, d son los lados en secuencia y s es el semiperímetro.

En los triángulos no superpuestos APB , BPC , CPD , DPA formados por las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD , donde las diagonales se intersecan en P , existen las siguientes caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales.

Sean r ₁ , r ₂ , r ₃ , y r ₄ los radios de los círculos inscritos en los cuatro triángulos APB , BPC , CPD , y DPA respectivamente. Chao y Simeonov demostraron que el cuadrilátero es tangente si y solo si ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

Esta caracterización ya había sido demostrada cinco años antes por Vaynshtejn. ^{[ 16 ] : p.169 [ 27 ]} En la solución a su problema, Vasilyev y Senderov dieron una caracterización similar. Si h ₁ , h ₂ , h ₃ , y h ₄ denotan las alturas en los mismos cuatro triángulos (desde la intersección diagonal hasta los lados del cuadrilátero), entonces el cuadrilátero es tangente si y solo si ^{[ 5 ] [ 27 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.}$

Otra caracterización similar se refiere a los radios externos r _a , r _b , r _c , y r _d en los mismos cuatro triángulos (cada uno de los cuatro círculos externos es tangente a un lado del cuadrilátero y a las extensiones de sus diagonales). Un cuadrilátero es tangente si y solo si ^{[ 1 ] : p.70}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.}$

Si R ₁ , R ₂ , R ₃ , y R ₄ denotan los radios en las circunferencias circunscritas de los triángulos APB , BPC , CPD , y DPA respectivamente, entonces el cuadrilátero ABCD es tangente si y solo si ^{[ 28 ] : pp. 23–24}

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

En 1996, Vaynshtejn fue probablemente el primero en demostrar otra hermosa caracterización de los cuadriláteros tangenciales, que posteriormente apareció en varias revistas y sitios web. ^{[ 1 ] : pp. 72–73} Establece que cuando un cuadrilátero convexo se divide en cuatro triángulos que no se superponen mediante sus dos diagonales, entonces los incentros de los cuatro triángulos son concíclicos si y solo si el cuadrilátero es tangente. De hecho, los incentros forman un cuadrilátero cíclico ortodiagonal . ^{[ 1 ] : p.74} Un resultado relacionado es que los círculos inscritos pueden intercambiarse por los círculos exscritos de los mismos triángulos (tangentes a los lados del cuadrilátero y a las extensiones de sus diagonales). Por lo tanto, un cuadrilátero convexo es tangente si y solo si los excentros de estos cuatro círculos exscritos son los vértices de un cuadrilátero cíclico . ^{[ 1 ] : p. 73}

Un cuadrilátero convexo ABCD , con diagonales que se intersecan en P , es tangente si y solo si los cuatro excentros de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA opuestos a los vértices B y D son concíclicos. ^{[ 1 ] : p. 79} Si R _a , R _b , R _c y R _d son los exradios de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente opuestos a los vértices B y D , entonces otra condición es que el cuadrilátero es tangente si y solo si ^{[ 1 ] : p. 80}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.}$

Además, un cuadrilátero convexo ABCD con diagonales que se intersecan en P es tangente si y solo si ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$

donde ∆( APB ) es el área del triángulo APB .

Denotemos los segmentos en los que la intersección diagonal P divide a la diagonal AC como AP = p ₁ y PC = p ₂ , y de manera similar P divide a la diagonal BD en los segmentos BP = q ₁ y PD = q ₂ . Entonces el cuadrilátero es tangente si y solo si se cumple alguna de las siguientes igualdades: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

o ^{[ 1 ] : pág. 74}

${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

o ^{[ 1 ] : pág. 77}

${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

• Cuadrilátero de Apolonio , donde los productos en lugar de las sumas de los lados opuestos son iguales.
• Cuadrilátero extangencial , un cuadrilátero tangente a un círculo exterior a él.

• Weisstein, Eric W. , "Cuadrilátero tangente" , MathWorld{{cite web}}: Mantenimiento de CS1: configuración sobrescrita ( enlace )