Cuadrilátero cíclico

En geometría , un cuadrilátero cíclico o inscrito es un cuadrilátero ( polígono de cuatro lados ) cuyos vértices se encuentran todos sobre una misma circunferencia , formando sus lados cuerdas . Esta circunferencia se denomina circunferencia circunscrita o circunscrita , y sus vértices se denominan concíclicos . El centro de la circunferencia y su radio se llaman circuncentro y circunradio , respectivamente. Generalmente, se supone que el cuadrilátero es convexo , pero también existen cuadriláteros cíclicos cruzados . Las fórmulas y propiedades que se presentan a continuación son válidas para el caso convexo.

La palabra cíclico proviene del griego antiguo κύκλος ( kuklos ), que significa "círculo" o "rueda".

Todos los triángulos tienen circunferencia circunscrita , pero no todos los cuadriláteros. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser cíclico es un rombo no cuadrado . Las caracterizaciones de la sección que se presentan a continuación establecen las condiciones necesarias y suficientes que debe cumplir un cuadrilátero para tener circunferencia circunscrita.

Casos especiales

Cualquier cuadrado , rectángulo , trapecio isósceles o antiparalelogramo es cíclico. Un cometa es cíclico si y solo si tiene dos ángulos rectos: un cometa recto . Un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es tangente , y un cuadrilátero exbicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es extangente . Un cuadrilátero armónico es un cuadrilátero cíclico en el que el producto de las longitudes de los lados opuestos es igual.

Caracterizaciones

Circuncentro

Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si las cuatro mediatrices de los lados son concurrentes . Este punto común es el circuncentro . ^{[ 1 ]}

Ángulos suplementarios

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios , es decir ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radianes}}\ (=180^{\circ }).$

El teorema directo fue la Proposición 22 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides . ^[³^] De manera equivalente, un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si cada ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto .

En 1836, Duncan Gregory generalizó este resultado de la siguiente manera: Dado cualquier $2n -$ gono cíclico convexo , entonces las dos sumas de ángulos alternos internos son cada $una$ igual a $(n - 1) π$ . ^{[ 4 ]} Este resultado se puede generalizar aún más de la siguiente manera: si $A1A2$ $...$ $A2n$ $(n >$ $1$ $)$ $es$ cualquier $2n -$ gono cíclico en el que el vértice $Ai$ $\to Ai + k ($ el vértice $Ai$ $está unido$ a $Ai +$ $k$ ), entonces las dos sumas de ángulos alternos internos son cada una igual a $mπ$ (donde $m$ $=$ $n$ $-$ $k$ y $k = 1, 2, 3, ...$ $es$ el giro total) $.$ ^{[ 5 ]}

Tomando la proyección estereográfica (tangente de medio ángulo) de cada ángulo, esto se puede reescribir,

${\dfrac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\dfrac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .$

Lo cual implica que ^{[ 6 ]}

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1$

Ángulos entre lados y diagonales

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico si y solo si el ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal. ^{[ 7 ]} Es decir, por ejemplo, $\angle ACB=\angle ADB.$

Puntos pascal

Otras condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero convexo $ABCD$ sea cíclico son: sea $E$ el punto de intersección de las diagonales, sea $F$ el punto de intersección de las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ , sea $ω$ un círculo cuyo diámetro es el segmento $EF$ , y sean P $y$ Q $puntos$ de Pascal en los lados $AB$ y $CD$ formados por el círculo $ω$ .

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos $P$ y $Q$ son colineales con el centro $O$ del círculo $ω$ .
$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos $P$ y $Q$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$ . ^{[ 2 ]}

Intersección de diagonales

Si dos líneas, una que contiene el segmento $AC$ y la otra que contiene el segmento $BD$ , se intersecan en $E$ , entonces los cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos si y solo si ^{[ 8 ].} $\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.$ La intersección $E$ puede ser interna o externa al círculo. En el primer caso, el cuadrilátero cíclico es $ABCD$ , y en el segundo, es $ABDC$ . Cuando la intersección es interna, la igualdad establece que el producto de las longitudes de los segmentos en los que $E$ divide una diagonal es igual al producto de las longitudes de la otra diagonal. Esto se conoce como el teorema de las cuerdas secantes, ya que las diagonales del cuadrilátero cíclico son cuerdas de la circunferencia circunscrita.

El teorema de Ptolomeo

Ptolemy's theorem expresses the product of the lengths of the two diagonals $e$ and $f$ of a cyclic quadrilateral as equal to the sum of the products of opposite sides:^[9]^:p.25^[2] $\displaystyle ef=ac+bd,$ where $a$ , $b$ , $c$ , $d$ are the side lengths in order. The converse is also true. That is, if this equation is satisfied in a convex quadrilateral, then a cyclic quadrilateral is formed.

Diagonal triangle

In a convex quadrilateral $ABCD$ , let $△ EFG$ be the diagonal triangle of $ABCD$ and let $ω$ be the nine-point circle of $△ EFG$ . $ABCD$ is cyclic if and only if the point of intersection of the bimedians of $ABCD$ belongs to the nine-point circle $ω$ .^[10]^[11]^[2]

Area

The area $K$ of a cyclic quadrilateral with sides $a$ , $b$ , $c$ , $d$ is given by Brahmagupta's formula^[9]^:p.24 $K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,$

where ⁠ $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ ⁠ is the semiperimeter. This is a corollary of Bretschneider's formula for the general quadrilateral, since opposite angles are supplementary in the cyclic case. If also $d = 0$ , the cyclic quadrilateral becomes a triangle and the formula is reduced to Heron's formula.

The cyclic quadrilateral has maximal area among all quadrilaterals having the same side lengths (regardless of sequence). This is another corollary to Bretschneider's formula. It can also be proved using calculus.^[12]

Cuatro longitudes desiguales, cada una menor que la suma de las otras tres, son los lados de cada uno de los tres cuadriláteros cíclicos no congruentes, ^{[ 13 ]} que por la fórmula de Brahmagupta tienen todos la misma área. Específicamente, para los lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , el lado $a$ podría ser opuesto a cualquiera de los lados $b$ , $c$ o $d$ .

El área de un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , ángulo $A$ entre los lados $a$ y $d$ , y ángulo $B$ entre los lados $a$ y $b$ se puede expresar como ^{[ 9 ]}^{: p.25} $K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}$

o $K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}$

o ^{[ 9 ]}^{: pág. 26} $K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }$

donde $θ$ es cualquiera de los ángulos entre las diagonales. Siempre que $A$ no sea un ángulo recto, el área también se puede expresar como ^{[ 9 ]}^{: p.26} $K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.$

Otra fórmula es ^{[ 14 ]}^{: p.83} $\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita . Como consecuencia directa, ^{[ 15 ]}

$K\leq 2R^{2}$ donde hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Diagonales

En un cuadrilátero cíclico con vértices sucesivos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y lados $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ y $d = DA$ , las longitudes de las diagonales $p = AC$ y $q = BD$ se pueden expresar en términos de los lados como ^{[ 9 ]}^{: p.25,}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{: p. 84}

${\begin{aligned}p&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\\[2pt]q&={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}\,,\end{aligned}}$

así demostrando el teorema de Ptolomeo $pq=ac+bd.$

Según el segundo teorema de Ptolomeo , ^{[ 9 ]}^{: p.25,}^{[ 16 ]} ${\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}$

utilizando las mismas notaciones que arriba.

Para la suma de las diagonales tenemos la desigualdad ^{[ 18 ]}^{: p.123, #2975}

$p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.$

La igualdad se cumple si y solo si las diagonales tienen la misma longitud, lo cual se puede demostrar utilizando la desigualdad AM-GM .

Además, ^{[ 18 ]}^{: pág. 64, n.° 1639}

$(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.$

En cualquier cuadrilátero convexo, las dos diagonales juntas dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos; en un cuadrilátero cíclico, los pares opuestos de estos cuatro triángulos son semejantes entre sí.

Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico donde $AC$ se encuentra con $BD$ en $E$ , entonces ^{[ 19 ]}

${\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.$

Un conjunto de lados que pueden formar un cuadrilátero cíclico puede disponerse en cualquiera de tres secuencias distintas, cada una de las cuales puede formar un cuadrilátero cíclico de la misma área en la misma circunferencia circunscrita (las áreas son iguales según la fórmula de área de Brahmagupta). Cualquier par de estos cuadriláteros cíclicos tienen una longitud diagonal en común. ^{[ 17 ]}^{: p. 84}

Fórmulas de ángulos

Para un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , semiperímetro $s$ y ángulo $A$ entre los lados $a$ y $d$ , las funciones trigonométricas de $A$ vienen dadas por ^{[ 20 ].} ${\begin{aligned}\cos A&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},\\[2pt]\sin A&={\frac {2{\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}{(ad+bc)}},\\[2pt]\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {(sa)(sd)}{(sb)(sc)}}}.\end{aligned}}$

El ángulo $θ$ entre las diagonales opuestas $a$ y $c$ satisface ^{[ 9 ]}^{: p.26} $\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)}{(sa)(sc)}}}.$

Si las prolongaciones de lados opuestos $a$ y $c$ se intersecan en un ángulo $φ$ , entonces $\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}$

donde $s$ es el semiperímetro . ^{[ 9 ]}^{: p.31}

Una generalización de la fórmula de Mollweide a cuadriláteros cíclicos viene dada por las siguientes dos identidades. Sea $B$ el ángulo entre los lados $a$ y $b$ , $C$ el ángulo entre $b$ y $c$ , y $D$ el ángulo entre $c$ y $d$ . Si $E$ es el punto de intersección de las diagonales, denotemos $∠ CED = θ$ , entonces: ^{[ 21 ]}

${\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(CD)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {ac}{bd}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(DC)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}$

Además, una generalización de la ley de las tangentes para cuadriláteros cíclicos es: ^{[ 22 ]}

${\frac {(ac)(bd)}{(a+c)(b+d)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(AB)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}.$

Fórmula del radio circunscrito de Parameshvara

Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y semiperímetro $s$ tiene el radio de la circunferencia circunscrita dado por ^{[ 16 ]}^{[ 23 ].} $R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}}.$

Esta fórmula fue deducida por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV. (Cabe destacar que el radio permanece invariable independientemente de la longitud de los lados).

Utilizando la fórmula de Brahmagupta , la fórmula de Parameshvara se puede reformular como: $4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$

donde $K$ es el área del cuadrilátero cíclico.

Anticentro y colinealidades

Cuatro segmentos de línea, cada uno perpendicular a un lado de un cuadrilátero cíclico y que pasa por el punto medio del lado opuesto , son concurrentes . ^{[ 24 ]}^{: p.131,}^{[ 25 ]} Estos segmentos de línea se llaman maltitudes , ^{[ 26 ]} que es una abreviatura de altitud del punto medio. Su punto común se llama anticentro . Tiene la propiedad de ser el reflejo del circuncentro en el "centroide del vértice" . Así, en un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el "centroide del vértice" y el anticentro son colineales . ^{[ 25 ]}

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico se intersecan en $P$ , y los puntos medios de las diagonales son $M$ y $N$ , entonces el anticentro del cuadrilátero es el ortocentro del triángulo $MNP$ .

El anticentro de un cuadrilátero cíclico es el punto Poncelet de sus vértices.

Otras propiedades

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , los incentros $M₁,$ $M₂$ , $M₃$ , $M₄$ (véase la figura de la derecha) en los $triángulos △DAB, △ABC, △BCD y △CDA$ $son$ los $vértices$ $de$ un $rectángulo$ $.$ Este $es$ $uno$ de $los$ $teoremas$ conocidos como el teorema japonés . Los ortocentros de esos mismos cuatro triángulos son los vértices de un cuadrilátero $congruente$ con ABCD , y los centroides de esos cuatro triángulos son $los$ vértices de otro cuadrilátero cíclico. ^[⁷^]
En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$ , sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Entonces, el ángulo $∠APB$ $es$ la media aritmética de los ángulos $∠AOB$ y $∠COD$ . Esto es consecuencia directa del teorema $del$ ángulo inscrito y del teorema $del$ ángulo exterior .
No existen cuadriláteros cíclicos con área racional y con lados racionales desiguales en progresión aritmética o geométrica . ^{[ 27 ]}

Si un cuadrilátero cíclico tiene longitudes de lados que forman una progresión aritmética, el cuadrilátero también es ex-bicéntrico .
Si los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico se extienden hasta encontrarse en $E$ y $F$ , entonces las bisectrices internas de los ángulos en $E$ y $F$ son perpendiculares. ^{[ 13 ]}

Cuadriláteros de Brahmagupta

Un cuadrilátero de Brahmagupta ^{[ 28 ]} es un cuadrilátero cíclico con lados, diagonales y área de longitud entera. Es un cuadrilátero de Brahmagupta primitivo si ningún cuadrilátero geométricamente similar más pequeño tiene todos estos valores como enteros. En este artículo, los cuadriláteros cuyas longitudes de lados, diagonales y áreas son números racionales se denominan cuadriláteros de Brahmagupta racionales . Todo cuadrilátero de Brahmagupta primitivo es un cuadrilátero de Brahmagupta racional. A la inversa, todo cuadrilátero de Brahmagupta racional es geométricamente similar a un único cuadrilátero de Brahmagupta primitivo.

Todos los cuadriláteros primitivos de Brahmagupta se pueden obtener a partir de las siguientes expresiones que involucran parámetros racionales $t$ , $u$ y $v$ . Las longitudes de los lados calculadas $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , las diagonales $e$ , $f$ , el área $K$ y el radio de la circunferencia circunscrita $R$ serán números racionales. Estos se pueden escalar para producir un único cuadrilátero primitivo de Brahmagupta; tenga en cuenta que $K$ es un área y se escalará por el cuadrado del valor que multiplica las otras cantidades. El cuadrilátero de Brahmagupta no se autointersectará y no será degenerado si $min(u, v) > t > 0$ .

${\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\[2pt]b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\[2pt]c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\[2pt]d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\[2pt]e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\[2pt]f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\[2pt]K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\[2pt]R&={\tfrac {1}{4}}(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).\\[2pt]\end{aligned}}$

Consulte Puntos concíclicos § Área entera y longitudes de lado para una parametrización diferente de todos los cuadriláteros primitivos de Brahmagupta no degenerados, que depende de números racionales, $0 < c 1 < c 2 < c 3$ .

Caso ortodiagonal

Circunradio y área

Para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares), supongamos que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes $p 1$ y $p 2$ y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes $q 1$ y $q 2$ . Entonces ^{[ 29 ]} (la primera igualdad es la Proposición 11 en el Libro de Lemas de Arquímedes ) $D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

donde $D$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita . Esto se cumple porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones implican que el radio de la circunferencia circunscrita $R$ puede expresarse como $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como ^{[ 24 ]} $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.$

También se deduce que ^{[ 24 ]} $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Así, según el teorema del cuadrilátero de Euler , el radio de la circunferencia circunscrita se puede expresar en términos de las diagonales $p$ y $q$ , y la distancia $x$ entre los puntos medios de las diagonales como $R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.$

Una fórmula para el área $K$ de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de sus cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal . El resultado es ^{[ 30 ]}^{: pág. 222} $K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

Otras propiedades

En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticentro coincide con el punto donde se intersecan las diagonales. ^{[ 24 ]}
El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal , la perpendicular desde cualquier lado que pasa por el punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto. ^{[ 24 ]}
Si un cuadrilátero cíclico es también ortodiagonal, la distancia desde el circuncentro a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. ^{[ 24 ]}
En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde se intersecan las diagonales. ^{[ 24 ]}

Cuadriláteros esféricos cíclicos

En geometría esférica , un cuadrilátero esférico formado por cuatro círculos mayores que se intersecan es cíclico si y solo si las sumas de los ángulos opuestos son iguales, es decir, α + γ = β + δ para ángulos consecutivos α, β, γ, δ del cuadrilátero. ^{[ 31 ]} Una dirección de este teorema fue demostrada por Anders Johan Lexell en 1782. ^{[ 32 ]} Lexell demostró que en un cuadrilátero esférico inscrito en un círculo menor de una esfera las sumas de los ángulos opuestos son iguales, y que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de los lados opuestos son iguales. El primero de estos teoremas es el análogo esférico de un teorema del plano, y el segundo teorema es su dual, es decir, el resultado de intercambiar círculos mayores y sus polos. ^{[ 33 ]} Kiper et al. ^{[ 34 ]} demostraron un recíproco del teorema: Si las sumas de los lados opuestos son iguales en un cuadrilátero esférico, entonces existe un círculo inscrito para este cuadrilátero.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

D. Fraivert: Cuadriláteros de puntos de Pascal inscritos en un cuadrilátero cíclico

Enlaces externos

Derivación de la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico
Incentros en cuadrilátero cíclico en el nudo de corte
Cuatro líneas concurrentes en un cuadrilátero cíclico en el punto de corte.
Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero cíclico" . MathWorld .

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