El problema de la tabla de Tarski

En matemáticas , el problema de las tablas de Tarski es una cuestión sobre recubrimientos de regiones convexas en el espacio euclidiano n- dimensional mediante "tablas": regiones entre dos hiperplanos . Alfred Tarski preguntó si la suma de los anchos de las tablas debe ser al menos igual al ancho mínimo de la región convexa. Thøger Bang respondió afirmativamente a la pregunta ( 1950 , 1951 ) . ^{[ 1 ]} 

Dado un cuerpo convexo C en R ⁿ y un hiperplano H , el ancho de C paralelo a H , w ( C , H ), es la distancia entre los dos hiperplanos de soporte de C que son paralelos a H . La menor de dichas distancias (es decir, el ínfimo sobre todos los hiperplanos posibles) se llama ancho mínimo de C , w ( C ).

El conjunto (cerrado) de puntos P entre dos hiperplanos distintos y paralelos en R ⁿ se llama tablón, y la distancia entre los dos hiperplanos se llama ancho del tablón, w ( P ). Tarski conjeturó que si un cuerpo convexo C de ancho mínimo w ( C ) estuviera cubierto por una colección de tablones, entonces la suma de los anchos de esos tablones debe ser al menos w ( C ). Es decir, si P ₁ ,…, P _m son tablones tales que

${\displaystyle C\subsetq P_{1}\cup \ldots \cup P_{m}\subset \mathbb {R} ^{n},}$

entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}w(P_{i})\geq w(C).}$

Bang demostró que, en efecto, este es el caso.

El nombre del problema, específicamente para los conjuntos de puntos entre hiperplanos paralelos, proviene de la visualización del problema en R² . Aquí, los hiperplanos son simplemente líneas rectas, por lo que las tablas se convierten en el espacio entre dos líneas paralelas. Así ^, las tablas pueden considerarse como tablones de madera (de longitud infinita) , y la pregunta es: ¿cuántas tablas se necesitan para cubrir completamente una mesa convexa de ancho mínimo w ? El teorema de Bang muestra que, por ejemplo, una mesa circular de diámetro d pies no puede cubrirse con menos de d tablas de madera de un pie de ancho cada una.

• Problema del pijama : cubrir todo el plano con tablones espaciados periódicamente.

• Bang, Thøger (1950), "Sobre el recubrimiento con tiras paralelas", Mat. Tidsskr. B. : 49– 53, SEÑOR 0038085 
• Bang, Thøger (1951), "Una solución al "problema de la tabla"" , Proc. Amer. Math. Soc. , 2 (6): 990– 993, doi : 10.2307/2031721 , JSTOR 2031721 , MR 0046672