La tesis de Tate

En teoría de números , la tesis de Tate es la tesis doctoral de 1950 de John Tate  (1950) completada bajo la supervisión de Emil Artin en la Universidad de Princeton . En ella, Tate utilizó una integración invariante de traducción en el grupo localmente compacto de ideles para elevar la función zeta torcida por un carácter de Hecke , es decir, una función L de Hecke , de un cuerpo de números a una integral zeta y estudiar sus propiedades. Utilizando el análisis armónico , más precisamente la fórmula de suma de Poisson , demostró la ecuación funcional y la continuación meromórfica de la integral zeta y la función L de Hecke. También localizó los polos de la función zeta torcida. Su trabajo puede verse como una reformulación elegante y poderosa de un trabajo de Erich Hecke sobre la prueba de la ecuación funcional de la función L de Hecke. Erich Hecke utilizó una serie theta generalizada asociada a un cuerpo de números algebraicos y una red en su anillo de números enteros.

Kenkichi Iwasawa descubrió de forma independiente esencialmente el mismo método (sin un análogo de la teoría local en la tesis de Tate) durante la Segunda Guerra Mundial y lo anunció en su artículo del Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 y su carta a Jean Dieudonné escrita en 1952. Por lo tanto, esta teoría a menudo se llama teoría de Iwasawa-Tate . Iwasawa en su carta a Dieudonné derivó en varias páginas no solo la continuación meromórfica y la ecuación funcional de la función L, sino que también demostró la finitud del número de clase y el teorema de Dirichlet sobre las unidades como subproductos inmediatos del cálculo principal. La teoría en característica positiva fue desarrollada una década antes por Ernst Witt , Wilfried Schmid y Oswald Teichmüller .

La teoría de Iwasawa-Tate utiliza varias estructuras que provienen de la teoría de campos de clases , sin embargo no utiliza ningún resultado profundo de la teoría de campos de clases.

La teoría de Iwasawa-Tate fue extendida al grupo lineal general GL(n) sobre un cuerpo de números algebraicos y representaciones automórficas de su grupo adélico por Roger Godement y Hervé Jacquet en 1972, lo que formó las bases de la correspondencia de Langlands . La tesis de Tate puede considerarse como el caso GL(1) del trabajo de Godement-Jacquet.

• Teoría básica de números

• Godement, Roger; Jacquet, Hervé (1972), Funciones zeta de álgebras simples , Lect. Notes Math., vol. 260, Springer
• Goldfeld, Dorian; Hundley, Joseph (2011), Representaciones automórficas de funciones L para el grupo lineal general , Cambridge University Press
• Iwasawa, Kenkichi (1952), "Una nota sobre funciones", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Cambridge, Mass., 1950 , vol. 1, Providence, RI: American Mathematical Society , p. 322, MR  0044534, archivado desde el original el 2011-10-03
• Iwasawa, Kenkichi (1992) [1952], "Carta a J. Dieudonné", en Kurokawa, Nobushige; Sunada., T. (eds.), Funciones zeta en geometría (Tokio, 1990), Adv. Stud. Pure Math., vol. 21, Tokio: Kinokuniya, págs. 445–450, ISBN 978-4-314-10078-6, Sr.  1210798
• Kudla, Stephen S. (2003), "La tesis de Tate", en Bernstein, Joseph ; Gelbart, Stephen (eds.), Una introducción al programa Langlands (Jerusalén, 2001), Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 109-131, ISBN 978-0-8176-3211-3, Sr.  1990377
• Ramakrishnan, Dinakar; Valenza, Robert J. (1999). Análisis de Fourier en cuerpos numéricos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 186. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3085-2. ISBN. 0-387-98436-4.Sr. 1680912  .
• Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, Sr.  0217026