Temperamento igualitario

Un conjunto completo de campanas de bronce, entre muchos instrumentos musicales hallados en la tumba del marqués Yi de Zeng (principios del período de los Reinos Combatientes, c. siglo V a. C. en la Edad del Bronce china), abarca cinco octavas completas de 7 notas en la tonalidad de Do mayor, incluyendo 12 semitonos en la parte central del rango. ^{[ 7 ]}

He Chengtian , matemático de las Dinastías del Sur y del Norte que vivió entre 370 y 447, describió una aproximación para el temperamento igual . ^{[ 8 ]} Propuso la secuencia numérica aproximada más antigua registrada en relación con el temperamento igual en la historia: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450. ^{[ 9 ]}

Zhu Zaiyu (朱載堉), príncipe de la corte Ming , dedicó treinta años a la investigación basada en la idea del temperamento igual postulada originalmente por su padre. Describió su nueva teoría del tono en su obra Fusión de música y calendario (律暦融通), publicada en 1580. A esto le siguió la publicación de una especificación numérica precisa para el temperamento igual en su obra de 5000 páginas, Compendio completo de música y tono ( Yuelü quan shu樂律全書), en 1584. ^{[ 10 ]} Joseph Needham también ofrece una explicación más extensa. ^{[ 6 ]} Zhu obtuvo su resultado matemáticamente dividiendo la longitud de la cuerda y el tubo sucesivamente por ¹² √ 2 ≈ 1,059463, y para la longitud del tubo por ²⁴ √ 2 , ^{[ 11 ]} de modo que después de doce divisiones (una octava) la longitud se dividió por un factor de 2:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}$$

De manera similar, después de 84 divisiones (7 octavas), la longitud se dividió por un factor de 128:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}$$

Zhu Zaiyu ha sido reconocido como la primera persona en resolver matemáticamente el problema del temperamento igual. ^{[ 12 ]} Al menos un investigador ha propuesto que Matteo Ricci , un jesuita en China, registró este trabajo en su diario personal ^{[ 12 ] [ 13 ]} y pudo haberlo transmitido de vuelta a Europa. (Los recursos estándar sobre el tema no mencionan ninguna transferencia de este tipo. ^{[ 14 ]} ) En 1620, el trabajo de Zhu fue citado por un matemático europeo. ^{[ 13 ]} Murray Barbour dijo: «La primera aparición impresa conocida de las cifras correctas para el temperamento igual fue en China, donde la brillante solución del príncipe Tsaiyü sigue siendo un enigma». ^{[ 15 ]} El físico alemán del siglo XIX Hermann von Helmholtz escribió en Sobre las sensaciones del tono que un príncipe chino (véase más abajo) introdujo una escala de siete notas, y que la división de la octava en doce semitonos fue descubierta en China. ^{[ 16 ]}

Zhu Zaiyu ilustró su teoría del temperamento igual mediante la construcción de un conjunto de 36 tubos de afinación de bambú que abarcaban 3 octavas, con instrucciones sobre el tipo de bambú, el color de la pintura y especificaciones detalladas sobre su longitud y diámetros interior y exterior. También construyó un instrumento de afinación de 12 cuerdas, con un conjunto de tubos de afinación ocultos en su cavidad inferior. En 1890, Victor-Charles Mahillon , conservador del Museo del Conservatorio de Bruselas, reprodujo un conjunto de tubos de afinación según las especificaciones de Zhu Zaiyu. Afirmó que la teoría china de los tonos conocía mejor la longitud de los tubos de afinación que su contraparte occidental, y que el conjunto de tubos reproducido según los datos de Zaiyu demostraba la exactitud de esta teoría.

Una de las primeras discusiones sobre el temperamento igual aparece en los escritos de Aristóxeno en el siglo IV a. C. ^{[ 17 ]}

Vincenzo Galilei (padre de Galileo Galilei ) fue uno de los primeros defensores prácticos del temperamento igual dodecafónico. Compuso un conjunto de suites de danzas sobre cada una de las 12 notas de la escala cromática en todas las tonalidades de transposición, y también publicó, en su " Fronimo " de 1584, 24 + 1 ricercars . ^{[ 18 ]} Utilizó la proporción 18:17 para el trasteo del laúd (aunque fue necesario algún ajuste para las octavas puras). ^{[ 19 ]}

El compatriota de Galilei y también laudista Giacomo Gorzanis había escrito música basada en el temperamento igual hacia 1567. ^{[ 20 ]} Gorzanis no fue el único laudista en explorar todos los modos o tonalidades: Francesco Spinacino escribió un "Recercare de tutti li Toni" ( Recercar en todos los tonos) ya en 1507. ^{[ 21 ]} En el siglo XVII, el laudista y compositor John Wilson escribió un conjunto de 30 preludios, incluyendo 24 en todas las tonalidades mayores y menores. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Henricus Grammateus se aproximó bastante al temperamento igual en 1518. Las primeras reglas de afinación en el temperamento igual fueron dadas por Giovani Maria Lanfranco en su "Scintille de musica". ^{[ 24 ]} Zarlino, en su polémica con Galilei, inicialmente se opuso al temperamento igual, pero finalmente lo aceptó en relación con el laúd en sus Sopplimenti musicali en 1588.

La primera mención del temperamento igual relacionado con la raíz duodécima de dos en Occidente apareció en el manuscrito de Simon Stevin , Van De Spiegheling der singconst (c. 1605), publicado póstumamente casi tres siglos después, en 1884. ^{[ 25 ]} Sin embargo, debido a la insuficiente precisión de sus cálculos, muchos de los números de longitud de acorde que obtuvo diferían en una o dos unidades de los valores correctos. ^{[ 14 ]} Como resultado, las relaciones de frecuencia de los acordes de Simon Stevin no tienen una relación unificada, sino una relación por tono, lo que Gene Cho afirma que es incorrecto. ^{[ 26 ]}

Las siguientes fueron las longitudes de acordes de Simon Stevin de Van de Spiegheling der singconst : ^{[ 27 ]}

Una generación más tarde, el matemático francés Marin Mersenne presentó varias longitudes de acordes temperados iguales obtenidas por Jean Beaugrand, Ismael Bouillaud y Jean Galle. ^{[ 28 ]}

En 1630, Johann Faulhaber publicó una tabla monocorde de 100 centavos, que contenía varios errores debido al uso de tablas logarítmicas. No explicó cómo obtuvo sus resultados. ^{[ 29 ]}

Desde 1450 hasta aproximadamente 1800, los intérpretes de instrumentos de cuerda pulsada (laudistas y guitarristas) generalmente favorecieron el temperamento igual, ^{[ 30 ]} y el manuscrito de laúd de Brossard compilado en el último cuarto del siglo XVII contiene una serie de 18 preludios atribuidos a Bocquet escritos en todas las tonalidades, incluido el último preludio, titulado Prélude sur tous les tons , que modula enarmónicamente a través de todas las tonalidades. ^{[ 31 ]} Angelo Michele Bartolotti publicó una serie de passacaglias en todas las tonalidades, con pasajes de conexión que modulan enarmónicamente. Entre los compositores de teclado del siglo XVII, Girolamo Frescobaldi abogó por el temperamento igual. Algunos teóricos, como Giuseppe Tartini , se opusieron a la adopción del temperamento igual; sentían que degradar la pureza de cada acorde degradaba el atractivo estético de la música, aunque Andreas Werckmeister abogó enfáticamente por el temperamento igual en su tratado de 1707 publicado póstumamente. ^{[ 32 ]}

El temperamento igual de doce tonos se impuso por diversas razones. Se adaptaba fácilmente al diseño del teclado existente y permitía una total libertad armónica, aunque con la desventaja de una impureza moderada en cada intervalo, especialmente en las consonancias imperfectas. Esto posibilitó una mayor expresividad mediante la modulación enarmónica , que adquirió gran importancia en el siglo XVIII en la música de compositores como Francesco Geminiani , Wilhelm Friedemann Bach , Carl Philipp Emmanuel Bach y Johann Gottfried Müthel . Si bien el temperamento igual de doce tonos presentaba algunas desventajas, como las terceras imperfectas, a medida que Europa lo adoptó, modificó su música para adaptarse al sistema y minimizar la disonancia.

Un temperamento igual preciso es posible utilizando el método Sabbatini del siglo XVII, que consiste en dividir la octava primero en tres terceras mayores temperadas. ^{[ 33 ]} Esto también fue propuesto por varios autores durante la época clásica. La afinación sin ritmos de batido, pero empleando varias comprobaciones, logrando una precisión prácticamente moderna, ya se realizaba en las primeras décadas del siglo XIX. ^{[ 34 ]} El uso de ritmos de batido, propuesto por primera vez en 1749, se generalizó tras su difusión por Helmholtz y Ellis en la segunda mitad del siglo XIX. ^{[ 35 ]} La máxima precisión se logró con las tablas de 2 decimales publicadas por White en 1917. ^{[ 36 ]} Los intervalos del temperamento igual se aproximan mucho a algunos intervalos de la entonación justa . ^{[ 37 ]}