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Módulo de Young

El módulo de Young es una propiedad mecánica de los materiales sólidos que mide la rigidez a la tracción o compresión cuando se aplica una fuerza longitudinalmente. Es el módulo...

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El módulo de Young es una propiedad mecánica de los materiales sólidos que mide la rigidez a la tracción o compresión cuando se aplica una fuerza longitudinalmente. Es el módulo elástico para la tensión o compresión axial . El módulo de Young se define como el cociente entre la tensión (fuerza por unidad de área) aplicada al objeto y la deformación axial resultante (una magnitud adimensional que cuantifica la deformación relativa) en la región elástica lineal del material. Por lo tanto, el módulo de Young es similar y proporcional a la constante elástica de la ley de Hooke , pero con dimensiones de presión en lugar de fuerza por unidad de distancia.

Aunque el módulo de Young recibe su nombre del científico británico del siglo XIX Thomas Young , el concepto fue desarrollado en 1727 por Leonhard Euler . Los primeros experimentos que utilizaron el concepto del módulo de Young en su forma moderna fueron realizados por el científico italiano Giordano Riccati en 1782, 25 años antes que el trabajo de Young. [ 1 ] El término módulo deriva de la raíz latina modus , que significa medida .

Definición

Módulo de Young,mi{\displaystyle E}cuantifica la relación entre la tensión de tracción o compresiónσ{\displaystyle \sigma }(fuerza por unidad de área) y deformación axialε{\displaystyle \varepsilon }(deformación proporcional) en la región elástica lineal de un material: [ 2 ]mi=σε{\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}El módulo de Young se mide comúnmente en el Sistema Internacional de Unidades (SI) en múltiplos del pascal (Pa) y los valores habituales se encuentran en el rango de los gigapascales (GPa).

Ejemplos:

  • Caucho (aumento de presión: gran aumento de longitud, lo que significa bajami{\displaystyle E})
  • Aluminio (aumento de presión: pequeño aumento de longitud, lo que significa altami{\displaystyle E})

elasticidad lineal

Un material sólido experimenta deformación elástica cuando se le aplica una pequeña carga de compresión o extensión. La deformación elástica es reversible, lo que significa que el material recupera su forma original una vez que se retira la carga.

Con tensiones y deformaciones prácticamente nulas, la curva tensión-deformación es lineal , y la relación entre ambas se describe mediante la ley de Hooke , que establece que la tensión es proporcional a la deformación. El coeficiente de proporcionalidad es el módulo de Young. Cuanto mayor sea el módulo, mayor será la tensión necesaria para producir la misma deformación; un cuerpo rígido idealizado tendría un módulo de Young infinito. Por el contrario, un material muy blando (como un fluido) se deformaría sin necesidad de aplicar fuerza y ​​tendría un módulo de Young nulo.

La rigidez del material es una propiedad distinta de las siguientes:

  • Resistencia : cantidad máxima de tensión que un material puede soportar mientras permanece en el régimen de deformación elástica (reversible);
  • Rigidez geométrica: una característica global del cuerpo que depende de su forma, y ​​no solo de las propiedades locales del material; por ejemplo, una viga en I tiene una rigidez a la flexión mayor que una barra del mismo material para una masa por unidad de longitud dada;
  • Dureza : resistencia relativa de la superficie del material a la penetración por un cuerpo más duro;
  • Tenacidad : cantidad de energía que un material puede absorber antes de fracturarse.
  • El punto E es el límite elástico o el punto de fluencia del material, dentro del cual la tensión es proporcional a la deformación y el material recupera su forma original después de la eliminación de la fuerza externa.

Uso

El módulo de Young permite calcular la variación dimensional de una barra de material elástico isótropo sometida a cargas de tracción o compresión. Por ejemplo, predice cuánto se estira una muestra de material bajo tensión o cuánto se acorta bajo compresión. El módulo de Young se aplica directamente a casos de tensión uniaxial; es decir, tensión o compresión en una dirección y ausencia de tensión en las demás. También se utiliza para predecir la deflexión que se producirá en una viga estáticamente determinada al aplicarle una carga en un punto entre sus apoyos.

Otros cálculos elásticos suelen requerir el uso de una propiedad elástica adicional, como el módulo de corte.GRAMO{\displaystyle G}, módulo de compresibilidadK{\displaystyle K}y la relación de Poissonν{\displaystyle \nu }Cualquier par de estos parámetros es suficiente para describir completamente la elasticidad en un material isotrópico. Por ejemplo, al calcular las propiedades físicas del tejido cutáneo canceroso, se ha medido y encontrado que es una relación de Poisson de 0,43 ± 0,12 y un módulo de Young promedio de 52 kPa. Definir las propiedades elásticas de la piel puede convertirse en el primer paso para convertir la elasticidad en una herramienta clínica. [ 3 ] Para materiales isotrópicos homogéneos, existen relaciones simples entre las constantes elásticas que permiten calcularlas todas siempre que se conozcan dos: mi=GRAMO(2+2ν)=K(3−6ν)=9KGRAMO3K+GRAMOGRAMO=mi2+2ν=K(3−6ν)2+2ν=mi3−mi3KK=GRAMO(2+2ν)3−6ν=mi3−6ν=miGRAMO9GRAMO−3miν=mi2GRAMO−1=12−mi6K=3K−2GRAMO2(3K+GRAMO){\displaystyle {\begin{aligned}E&=G(2+2\nu )&&=K(3-6\nu )&&={\frac {9KG}{3K+G}}\\G&={\frac {E}{2+2\nu }}&&={\frac {K(3-6\nu )}{2+2\nu }}&&={\frac {E}{3-{\frac {E}{3K}}}}\\K&={\frac {G(2+2\nu )}{3-6\nu }}&&={\frac {E}{3-6\nu }}&&={\frac {EG}{9G-3E}}\\\nu &={\frac {E}{2G}}-1&&={\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}&&={\frac {3K-2G}{2(3K+G)}}\\\end{aligned}}}

Lineal versus no lineal

El módulo de Young representa el factor de proporcionalidad en la ley de Hooke , que relaciona la tensión y la deformación. Sin embargo, la ley de Hooke solo es válida bajo el supuesto de una respuesta elástica y lineal . Cualquier material real eventualmente fallará y se romperá al estirarse a lo largo de una distancia muy grande o al aplicarse una fuerza muy grande; sin embargo, todos los materiales sólidos exhiben un comportamiento casi hookeano para deformaciones o tensiones suficientemente pequeñas. Si el rango en el que la ley de Hooke es válida es suficientemente grande en comparación con la tensión típica que se espera aplicar al material, se dice que el material es lineal. De lo contrario (si la tensión típica que se aplicaría está fuera del rango lineal), se dice que el material es no lineal.

El acero , la fibra de carbono y el vidrio , entre otros, suelen considerarse materiales lineales, mientras que otros materiales como el caucho y los suelos son no lineales. Sin embargo, esta clasificación no es absoluta: si se aplican tensiones o deformaciones muy pequeñas a un material no lineal, la respuesta será lineal; pero si se aplican tensiones o deformaciones muy elevadas a un material lineal, la teoría lineal no será suficiente. Por ejemplo, dado que la teoría lineal implica reversibilidad , sería absurdo utilizarla para describir la falla de un puente de acero bajo una carga elevada; si bien el acero es un material lineal para la mayoría de las aplicaciones, no lo es en un caso de falla catastrófica como este.

En mecánica de sólidos , la pendiente de la curva tensión-deformación en cualquier punto se denomina módulo tangente . Se puede determinar experimentalmente a partir de la pendiente de una curva tensión-deformación obtenida durante ensayos de tracción realizados en una muestra del material.

Materiales direccionales

El módulo de Young no siempre es el mismo en todas las orientaciones de un material. La mayoría de los metales y cerámicas, junto con muchos otros materiales, son isótropos y sus propiedades mecánicas son las mismas en todas las orientaciones. Sin embargo, los metales y las cerámicas pueden ser tratados con ciertas impurezas, y los metales pueden ser trabajados mecánicamente para hacer que sus estructuras de grano sean direccionales. Estos materiales se vuelven entonces anisotrópicos , y el módulo de Young cambiará dependiendo de la dirección del vector de fuerza. [ 4 ] La anisotropía también puede observarse en muchos materiales compuestos. Por ejemplo, la fibra de carbono tiene un módulo de Young mucho mayor (es mucho más rígida) cuando la fuerza se aplica paralelamente a las fibras (a lo largo del grano). Otros materiales de este tipo incluyen la madera y el hormigón armado . Los ingenieros pueden aprovechar este fenómeno direccional para crear estructuras.

Dependencia de la temperatura

El módulo de Young de los metales varía con la temperatura y puede ser realizado a través del cambio en el enlace interatómico de los átomos, y por lo tanto, se encuentra que su cambio depende del cambio en la función de trabajo del metal. Aunque clásicamente, este cambio se predice a través de un ajuste y sin un mecanismo subyacente claro (por ejemplo, la fórmula de Watchman), el modelo de Rahemi-Li [ 5 ] demuestra cómo el cambio en la función de trabajo del electrón conduce a un cambio en el módulo de Young de los metales y predice esta variación con parámetros calculables, utilizando la generalización del potencial de Lennard-Jones a sólidos. En general, a medida que aumenta la temperatura, el módulo de Young disminuye a través demi(T)=β(φ(T))6{\displaystyle E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}}donde la función de trabajo del electrón varía con la temperatura comoφ(T)=φ0−γ(kBT)2φ0{\displaystyle \varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}}yγ{\displaystyle \gamma }es una propiedad del material calculable que depende de la estructura cristalina (por ejemplo, BCC, FCC).φ0{\displaystyle \varphi _{0}}es la función de trabajo del electrón en T=0 yβ{\displaystyle \beta }es constante a lo largo del cambio. Además, el modelo de Rahemi-Li vincula la dependencia de la temperatura del módulo de Young en los metales con los cambios en la función de trabajo del electrón, proporcionando una base teórica utilizando un potencial generalizado de Lennard-Jones .

Cálculo

El módulo de Young se calcula dividiendo la tensión de tracción ,σ(ε){\displaystyle \sigma (\varepsilon)}, por la deformación extensional de ingeniería ,ε{\displaystyle \varepsilon }, en la porción elástica (inicial, lineal) de la curva física de tensión-deformación :

mi≡σ(ε)ε=F/AΔL/L0=FL0AΔL{\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}} dónde

  • mi{\displaystyle E}es el módulo de Young (módulo de elasticidad);
  • F{\displaystyle F}es la fuerza ejercida sobre un objeto bajo tensión;
  • A{\displaystyle A}es el área de la sección transversal real, que es igual al área de la sección transversal perpendicular a la fuerza aplicada;
  • ΔL{\displaystyle \Delta L}es la cantidad en la que cambia la longitud del objeto (ΔL{\displaystyle \Delta L}es positivo si el material se estira y negativo cuando se comprime);
  • L0{\displaystyle L_{0}}es la longitud original del objeto.

Una definición equivalente del módulo de Young es mi=L0Ad2UdL2|L0{\displaystyle E={\frac {L_{0}}{A}}\left.{\frac {d^{2}U}{dL^{2}}}\right|_{L_{0}}} dóndeU{\displaystyle U}es la energía del material.

Fuerza ejercida por un material estirado o contraído

El módulo de Young de un material se puede utilizar para calcular la fuerza que ejerce bajo una deformación específica.

F=miAΔLL0{\displaystyle F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}}

dóndeF{\displaystyle F}es la fuerza ejercida por el material cuando se contrae o se estira porΔL{\displaystyle \Delta L}.

La ley de Hooke para un alambre estirado se puede derivar de esta fórmula:

F=(miAL0)ΔL=kincógnita{\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx}

donde llega en saturación

k≡miAL0{\displaystyle k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,}yincógnita≡ΔL.{\displaystyle x\equiv \Delta L.}

Cabe destacar que la elasticidad de los resortes helicoidales proviene del módulo de cizallamiento , no del módulo de Young. Al estirar un resorte, la longitud de su alambre no cambia, pero su forma sí. Por eso, solo el módulo de elasticidad de cizallamiento interviene en el estiramiento del resorte.

energía potencial elástica

La energía potencial elástica almacenada en un material elástico lineal viene dada por la integral de la ley de Hooke:

Umi=∫kincógnitadincógnita=12kincógnita2.{\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}

Ahora, explicando las variables intensivas:

Umi=∫miAΔLL0dΔL=miAL0∫ΔLdΔL=miAΔL22L0{\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}

Esto significa que la densidad de energía potencial elástica (es decir, por unidad de volumen) viene dada por:

UmiAL0=miΔL22L02=12×miΔLL0×ΔLL0=12×σ(ε)×ε{\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon }

o, en notación simple, para un material elástico lineal:túmi(ε)=∫miεdε=12miε2{\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}, ya que la deformación está definidaε≡ΔLL0{\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}.

En un material elástico no lineal, el módulo de Young es función de la deformación, por lo que la segunda equivalencia ya no se cumple y la energía elástica no es una función cuadrática de la deformación:

túmi(ε)=∫mi(ε)εdε≠12miε2{\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}}

Ejemplos

Influencia de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el módulo de Young de un vidrio base específico.

El módulo de Young puede variar ligeramente debido a las diferencias en la composición de la muestra y el método de ensayo. La velocidad de deformación influye considerablemente en los datos recopilados, especialmente en polímeros . Los valores aquí presentados son aproximados y solo tienen fines comparativos.

Véase también

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Lecturas adicionales

  • ASTM E 111, "Método de ensayo estándar para el módulo de Young, el módulo tangente y el módulo de cuerda"
  • El Manual ASM (varios volúmenes) contiene el módulo de Young para diversos materiales e información sobre cálculos. Versión en línea (se requiere suscripción).
  • Matweb: base de datos gratuita de propiedades de ingeniería para más de 175.000 materiales.
  • Módulo de Young para grupos de materiales y su costo