Adjunción tensorial-hom

En matemáticas , la adjunción tensorial-hom es la afirmación de que el producto tensorial${\displaystyle -\otimes X}$y functor hom${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$Formar un par adjunto :

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

Esto se precisa más adelante. El orden de los términos en la frase "adjunción tensor-hom" refleja su relación: tensor es el adjunto izquierdo, mientras que hom es el adjunto derecho.

Supongamos que R y S son anillos (posiblemente no conmutativos) y consideremos las categorías de módulos derechos (una afirmación análoga es válida para los módulos izquierdos):

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{y}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

Reparar un${\displaystyle (R,S)}$-bimódulo${\displaystyle X}$y definir functores${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$como sigue:

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{para }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{para }}Z\in {\mathcal {C}}}$

Entonces${\displaystyle F}$queda adyacente a${\displaystyle G}$Esto significa que existe un isomorfismo natural .

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

En realidad, se trata de un isomorfismo de grupos abelianos . Más precisamente, si${\displaystyle Y}$es un${\displaystyle (A,R)}$-bimódulo y${\displaystyle Z}$es un${\displaystyle (B,S)}$-bimodule, entonces esto es un isomorfismo de${\displaystyle (B,A)}$-bimódulos. Este es uno de los ejemplos motivadores de la estructura en una bicategoría cerrada . ^{[ 1 ]}

Como todas las adjunciones, la adjunción tensor-hom puede describirse mediante sus transformaciones naturales de counidad y unidad . Utilizando la notación de la sección anterior, la counidad

${\displaystyle \varepsilon:FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

tiene componentes

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

dado por evaluación: Para

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}$

Los componentes de la unidad

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

se definen de la siguiente manera: Para${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$,

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

es un derecho${\displaystyle S}$-homomorfismo de módulo dado por

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}$

Ahora se pueden verificar explícitamente las ecuaciones de counidad y unidad .${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$,

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

se da en tensores simples de${\displaystyle Y\otimes X}$por

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

Asimismo,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Para${\displaystyle \phi }$en${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}$

es un derecho${\displaystyle S}$-homomorfismo de módulos definido por

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

y por lo tanto

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

El functor Hom${\displaystyle \hom(X,-)}$conmuta con límites arbitrarios , mientras que el producto tensorial${\displaystyle -\otimes X}$El functor conmuta con colímites arbitrarios que existen en su categoría de dominio. Sin embargo, en general,${\displaystyle \hom(X,-)}$no conmuta con los colímites y${\displaystyle -\otimes X}$no conmuta con los límites; este fallo se produce incluso entre límites o colímites finitos. Este fallo en la preservación de secuencias exactas cortas motiva la definición del functor Ext y del functor Tor .

Podemos ilustrar la adjunción tensorial-hom en la categoría de funciones de conjuntos finitos . Dado un conjunto${\displaystyle N}$, su functor Hom toma cualquier conjunto${\displaystyle A}$al conjunto de funciones de${\displaystyle N}$a${\displaystyle A}$La clase de isomorfismo de este conjunto de funciones es el número natural${\displaystyle A^{N}}$. De manera similar, el producto tensorial${\displaystyle -\otimes N}$toma un conjunto${\displaystyle A}$a su producto cartesiano con${\displaystyle N}$Su clase de isomorfismo es, por lo tanto, el número natural.${\displaystyle AN}$.

Esto nos permite interpretar el isomorfismo de los conjuntos de hom.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

que caracteriza universalmente la adjunción tensor-hom, como la categorización de la ley de exponentes notablemente básica.

${\displaystyle Z^{YX}=(Z^{X})^{Y}.}$

• Categoría monoide cerrada
• Dualidad Eckmann-Hilton
• Cambio de anillos

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9