Tensor

Un tensor puede representarse como una matriz (potencialmente multidimensional). Así como un vector en un espacio n - dimensional se representa mediante una matriz unidimensional con n componentes respecto a una base dada , cualquier tensor respecto a una base se representa mediante una matriz multidimensional. Por ejemplo, un operador lineal se representa en una base como una matriz cuadrada bidimensional n × n . Los números en la matriz multidimensional se conocen como componentes o elementos del tensor. Se denotan mediante índices que indican su posición en la matriz, como subíndices y superíndices , después del nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, las componentes de un tensor de orden 2 T podrían denotarse como T _ij , donde i y j son índices que van del 1 al n , o también como T ⁱ _j . Que un índice se muestre como superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describen a continuación. Por lo tanto, si bien T _ij y T ⁱ _j pueden expresarse como matrices n por n , y están relacionadas numéricamente mediante manipulación de índices , la diferencia en sus leyes de transformación indica que sería inapropiado sumarlas.

El número total de índices ( m ) necesarios para identificar cada componente de forma única es igual a la dimensión o al número de vías de una matriz, razón por la cual a veces se hace referencia a un tensor como una matriz m- dimensional o una matriz m -direccional. El número total de índices también se denomina orden , grado o rango de un tensor, ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} aunque el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.

Así como las componentes de un vector cambian cuando cambiamos la base del espacio vectorial, las componentes de un tensor también cambian bajo dicha transformación. Cada tipo de tensor viene equipado con una ley de transformación que detalla cómo responden las componentes del tensor a un cambio de base . Las componentes de un vector pueden responder de dos maneras distintas a un cambio de base (véase Covarianza y contravarianza de vectores ), donde los nuevos vectores base${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$se expresan en términos de los antiguos vectores base${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$como,

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

Aquí R ^j _i son las entradas de la matriz de cambio de base, y en la expresión más a la derecha se suprimió el signo de sumatoria : esta es la convención de sumatoria de Einstein , que se utilizará a lo largo de este artículo. ^{[ Nota 1 ]} Los componentes v ⁱ de un vector columna v se transforman con la inversa de la matriz R ,

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

donde el sombrero denota los componentes en la nueva base. Esto se llama una ley de transformación contravariante , porque los componentes del vector se transforman por el inverso del cambio de base. En contraste, los componentes, w _i , de un covector (o vector fila), w , se transforman con la matriz R misma,

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Esto se denomina ley de transformación covariante , ya que los componentes del covector se transforman mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base. Los componentes de un tensor más general se transforman mediante una combinación de transformaciones covariantes y contravariantes, con una ley de transformación para cada índice. Si la matriz de transformación de un índice es la matriz inversa de la transformación de base, entonces el índice se denomina contravariante y se denota convencionalmente con un superíndice. Si la matriz de transformación de un índice es la propia transformación de base, entonces el índice se denomina covariante y se denota con un subíndice.

Como ejemplo sencillo, la matriz de un operador lineal con respecto a una base es una matriz rectangular.${\displaystyle T}$que se transforma bajo un cambio de matriz base ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$por${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$Para las entradas individuales de la matriz, esta ley de transformación tiene la forma${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$Así, el tensor correspondiente a la matriz de un operador lineal tiene un índice covariante y uno contravariante: es de tipo (1,1).

Las combinaciones de componentes covariantes y contravariantes con el mismo índice nos permiten expresar invariantes geométricas. Por ejemplo, el hecho de que un vector sea el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas se puede expresar mediante las siguientes ecuaciones, utilizando las fórmulas definidas anteriormente:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

dónde${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$es la delta de Kronecker , que funciona de manera similar a la matriz identidad y tiene el efecto de renombrar índices ( j en k en este ejemplo). Esto muestra varias características de la notación de componentes: la capacidad de reorganizar términos a voluntad ( conmutatividad ), la necesidad de usar diferentes índices cuando se trabaja con múltiples objetos en la misma expresión, la capacidad de renombrar índices y la manera en que los tensores contravariantes y covariantes se combinan de modo que todas las instancias de la matriz de transformación y su inversa se cancelan, de modo que expresiones como${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$Se puede observar inmediatamente que son geométricamente idénticos en todos los sistemas de coordenadas.

De manera similar, un operador lineal, visto como un objeto geométrico, en realidad no depende de una base: es simplemente una transformación lineal que acepta un vector como argumento y produce otro vector. La ley de transformación que describe cómo cambia la matriz de componentes de un operador lineal con la base es consistente con la ley de transformación para un vector contravariante, de modo que la acción de un operador lineal sobre un vector contravariante se representa en coordenadas como el producto matricial de sus respectivas representaciones de coordenadas. Es decir, las componentes${\displaystyle (Tv)^{i}}$son dados por ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$Estos componentes se transforman de forma contravariante, ya que

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

La ley de transformación para un tensor de orden p + q con p índices contravariantes y q índices covariantes se da, por lo tanto, como:

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí, los índices con prima denotan componentes en las nuevas coordenadas, y los índices sin prima denotan componentes en las coordenadas antiguas. Se dice que dicho tensor es de orden o tipo ( p , q ) . Los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" se utilizan a veces para el mismo concepto. Aquí, el término "orden" u "orden total" se utilizará para la dimensión total de la matriz (o su generalización en otras definiciones), p + q en el ejemplo anterior, y el término "tipo" para el par que da el número de índices contravariantes y covariantes. Un tensor de tipo ( p , q ) también se denomina, de forma abreviada, tensor ( p , q ) .

Esta discusión motiva la siguiente definición formal: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Definición. Un tensor de tipo ( p , q ) es una asignación de una matriz multidimensional.

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

a cada base f = ( e ₁ , ..., e _n ) de un espacio vectorial n -dimensional tal que, si aplicamos el cambio de base

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

Entonces, la matriz multidimensional obedece la ley de transformación.

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

La definición de un tensor como una matriz multidimensional que satisface una ley de transformación se remonta al trabajo de Ricci. ^{[ 1 ]}

Una definición equivalente de tensor utiliza las representaciones del grupo lineal general . Existe una acción del grupo lineal general sobre el conjunto de todas las bases ordenadas de un espacio vectorial n -dimensional. Si${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$es una base ordenada, y${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$es un invertible${\displaystyle n\times n}$matriz, entonces la acción viene dada por

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Sea F el conjunto de todas las bases ordenadas. Entonces F es un espacio homogéneo principal para GL( n ). Sea W un espacio vectorial y sea${\displaystyle \rho }$sea ​​una representación de GL( n ) en W (es decir, un homomorfismo de grupos)${\displaystyle \rho$ :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)} ). Entonces un tensor de tipo${\displaystyle \rho }$es un mapa equivariante${\displaystyle T:F\to W}$. Equivariancia aquí significa que

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

Cuando${\displaystyle \rho }$es una representación tensorial del grupo lineal general, lo que da la definición habitual de tensores como arreglos multidimensionales. Esta definición se usa a menudo para describir tensores en variedades, ^{[ 7 ]} y se generaliza fácilmente a otros grupos. ^{[ 5 ]}

Una desventaja de la definición de un tensor utilizando el enfoque de matriz multidimensional es que no resulta evidente a partir de la definición que el objeto definido sea realmente independiente de la base, como se espera de un objeto intrínsecamente geométrico. Aunque es posible demostrar que las leyes de transformación aseguran la independencia de la base, a veces se prefiere una definición más intrínseca. Un enfoque común en geometría diferencial es definir tensores en relación con un espacio vectorial fijo (de dimensión finita) V , que generalmente se toma como un espacio vectorial particular de alguna importancia geométrica, como el espacio tangente a una variedad. ^{[ 8 ]} En este enfoque, un tensor de tipo ( p , q ) T se define como una aplicación multilineal ,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

donde V ^∗ es el espacio dual correspondiente de covectores, que es lineal en cada uno de sus argumentos. Lo anterior supone que V es un espacio vectorial sobre los números reales , ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . De manera más general, V puede tomarse sobre cualquier cuerpo F (por ejemplo, los números complejos ), donde F reemplaza a ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$como el codominio de los mapas multilineales.

Al aplicar un mapeo multilineal T de tipo ( p , q ) a una base { e _j } para V y una cobase canónica { ε ⁱ } para V ^∗ ,

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

Se puede obtener una matriz de componentes de dimensión ( p + q ) . Una elección diferente de la base dará como resultado componentes diferentes. Sin embargo, dado que T es lineal en todos sus argumentos, las componentes satisfacen la ley de transformación tensorial utilizada en la definición de matriz multilineal. La matriz multidimensional de componentes de T forma, por lo tanto, un tensor según dicha definición. Además, dicha matriz puede representarse como las componentes de alguna aplicación multilineal T. Esto motiva la consideración de las aplicaciones multilineales como los objetos intrínsecos subyacentes a los tensores.

Al considerar un tensor como una aplicación multilineal, es convencional identificar el espacio vectorial dual V ^{∗ ∗} del espacio vectorial V , es decir, el espacio de funcionales lineales sobre el espacio vectorial dual V ^∗ , con el espacio vectorial V . Siempre existe una aplicación lineal natural de V a su espacio vectorial dual, dada al evaluar una forma lineal en V ^∗ frente a un vector en V . Esta aplicación lineal es un isomorfismo en dimensiones finitas, y a menudo resulta conveniente identificar V con su espacio vectorial dual.

Para algunas aplicaciones matemáticas, a veces resulta útil un enfoque más abstracto. Esto se puede lograr definiendo tensores en términos de elementos de productos tensoriales de espacios vectoriales, los cuales, a su vez, se definen mediante una propiedad universal , como se explica aquí y aquí .

Un tensor de tipo ( p , q ) se define en este contexto como un elemento del producto tensorial de espacios vectoriales, ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Una base v _i de V y una base w _j de W inducen naturalmente una base v _i ⊗ w _j del producto tensorial V ⊗ W. Los componentes de un tensor T son los coeficientes del tensor con respecto a la base obtenida a partir de una base { e _i } para V y su base dual { ε ^j } , es decir

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

Utilizando las propiedades del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes satisfacen la ley de transformación para un tensor de tipo ( p , q ) . Además, la propiedad universal del producto tensorial establece una correspondencia biunívoca entre los tensores definidos de esta manera y los tensores definidos como aplicaciones multilineales.

Esta correspondencia uno a uno se puede lograr de la siguiente manera, porque en el caso de dimensión finita existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y su doble dual:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

La última línea utiliza la propiedad universal del producto tensorial, que establece que existe una correspondencia uno a uno entre los mapas de${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$y${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$. ^{[ 11 ]}

Los productos tensoriales pueden definirse con gran generalidad  , por ejemplo, involucrando módulos arbitrarios sobre un anillo. En principio, se podría definir un "tensor" simplemente como un elemento de cualquier producto tensorial. Sin embargo, la literatura matemática suele reservar el término tensor para un elemento de un producto tensorial de cualquier número de copias de un único espacio vectorial V y su dual, como se indicó anteriormente.

Esta discusión sobre tensores asume hasta ahora una dimensionalidad finita de los espacios involucrados, donde los espacios de tensores obtenidos por cada una de estas construcciones son naturalmente isomorfos . ^{[ Nota 2 ]} Las construcciones de espacios de tensores basadas en el producto tensorial y las aplicaciones multilineales pueden generalizarse, esencialmente sin modificaciones, a haces vectoriales o haces coherentes . ^{[ 12 ]} Para espacios vectoriales de dimensión infinita, las topologías no equivalentes conducen a nociones de tensor no equivalentes, y estos diversos isomorfismos pueden o no cumplirse dependiendo de lo que se entienda exactamente por un tensor (véase producto tensorial topológico ). En algunas aplicaciones, se pretende el producto tensorial de espacios de Hilbert , cuyas propiedades son las más similares al caso de dimensión finita. Una visión más moderna es que es la estructura de los tensores como una categoría monoidal simétrica la que codifica sus propiedades más importantes, en lugar de los modelos específicos de esas categorías. ^{[ 13 ]}

En muchas aplicaciones, especialmente en geometría diferencial y física, es natural considerar un tensor con componentes que son funciones del punto en un espacio. Este fue el contexto del trabajo original de Ricci. En la terminología matemática moderna, dicho objeto se denomina campo tensorial , a menudo simplemente tensor. ^{[ 1 ]}

En este contexto, a menudo se elige una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente . La ley de transformación puede expresarse entonces en términos de derivadas parciales de las funciones de coordenadas,

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

definiendo una transformación de coordenadas, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

El cálculo de Ricci es el formalismo y la notación modernos para los índices tensoriales: indica productos internos y externos , covarianza y contravarianza , sumas de componentes tensoriales, simetría y antisimetría , y derivadas parciales y covariantes .

La convención de suma de Einstein prescinde de escribir signos de suma , dejando la suma implícita. Cualquier símbolo de índice repetido se suma: si el índice i se usa dos veces en un término dado de una expresión tensorial, significa que el término se suma para todos los i . De esta manera, se pueden sumar varios pares de índices distintos.

La notación gráfica de Penrose es una notación diagramática que reemplaza los símbolos de los tensores con figuras geométricas y sus índices con líneas y curvas. Es independiente de los elementos base y no requiere símbolos para los índices.

La notación de índices abstractos es una forma de escribir tensores en la que los índices ya no se consideran numéricos, sino indeterminados . Esta notación captura la expresividad de los índices y la independencia de la base propia de la notación sin índices.

Un tratamiento de tensores sin componentes utiliza una notación que enfatiza que los tensores no dependen de ninguna base, y se define en términos del producto tensorial de espacios vectoriales .

El producto tensorial toma dos tensores, S y T , y produce un nuevo tensor, S ⊗ T , cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores originales. Cuando se describe como aplicaciones multilineales, el producto tensorial simplemente multiplica los dos tensores, es decir, $${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$ lo que nuevamente produce un mapa que es lineal en todos sus argumentos. En los componentes, el efecto es multiplicar los componentes de los dos tensores de entrada por pares, es decir, $${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$ Si S es de tipo ( l , k ) y T es de tipo ( n , m ) , entonces el producto tensorial S ⊗ T tiene tipo ( l + n , k + m ) .

La contracción tensorial es una operación que reduce un tensor de tipo ( n , m ) a un tensor de tipo ( n -1, m -1) , del cual la traza es un caso especial. De esta manera, reduce el orden total de un tensor a la mitad. La operación se logra sumando componentes para los cuales un índice contravariante especificado es igual a un índice covariante especificado para producir un nuevo componente. Los componentes para los cuales esos dos índices son diferentes se descartan. Por ejemplo, un tensor (1, 1)${\displaystyle T_{i}^{j}}$puede contraerse a un escalar a través de${\displaystyle T_{i}^{i}}$, donde la suma está nuevamente implícita. Cuando el tensor (1, 1) se interpreta como un mapa lineal, esta operación se conoce como la traza .

La contracción se utiliza a menudo junto con el producto tensorial para contraer un índice de cada tensor.

La contracción también puede entenderse utilizando la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio V con el espacio V ^∗, descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores simples y luego aplicando un factor de V ^∗ a un factor de V . Por ejemplo, un tensor${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$se puede escribir como una combinación lineal

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

La contracción de T en las ranuras primera y última es entonces el vector

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

En un espacio vectorial con un producto interno (también conocido como métrica ) g , el término contracción se utiliza para eliminar dos índices contravariantes o dos covariantes formando una traza con el tensor métrico o su inverso. Por ejemplo, un tensor (2, 0)${\displaystyle T^{ij}}$puede contraerse a un escalar a través de${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$(suponiendo nuevamente la convención de sumatoria).

Cuando un espacio vectorial está dotado de una forma bilineal no degenerada (o tensor métrico, como se le suele llamar en este contexto), se pueden definir operaciones que convierten un índice contravariante (superior) en un índice covariante (inferior) y viceversa. Un tensor métrico es un tensor ( 0, 2) simétrico ; por lo tanto, es posible contraer un índice superior de un tensor con uno de los índices inferiores del tensor métrico en el producto. Esto produce un nuevo tensor con la misma estructura de índices que el tensor anterior, pero con el índice inferior generalmente representado en la misma posición que el índice superior contraído. Esta operación se conoce gráficamente como descenso de un índice .

Por el contrario, se puede definir la operación inversa, que se denomina elevación de índice . Esto equivale a una contracción similar del producto con un tensor (2, 0) . Este tensor métrico inverso tiene componentes que son la matriz inversa de las del tensor métrico.

La mecánica de medios continuos proporciona ejemplos importantes . Las tensiones dentro de un cuerpo sólido o fluido ^{[ 29 ]} se describen mediante un campo tensorial. Tanto el tensor de tensiones como el tensor de deformaciones son campos tensoriales de segundo orden y, en un material elástico lineal general, están relacionados por un campo tensorial de elasticidad de cuarto orden . En detalle, el tensor que cuantifica la tensión en un objeto sólido tridimensional tiene componentes que pueden representarse convenientemente como una matriz de 3 × 3. Las tres caras de un segmento de volumen infinitesimal cúbico del sólido están sometidas a una fuerza determinada. Las componentes vectoriales de la fuerza también son tres. Por lo tanto, se requieren 3 × 3, o 9 componentes, para describir la tensión en este segmento infinitesimal cúbico. Dentro de los límites de este sólido hay una masa entera de cantidades de tensión variables, cada una de las cuales requiere 9 cantidades para su descripción. Por lo tanto, se necesita un tensor de segundo orden.

Si se aísla un elemento superficial específico dentro del material, este ejercerá una fuerza sobre el otro lado de la superficie. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá linealmente de su orientación. Esto se describe mediante un tensor de tipo (2, 0) en elasticidad lineal , o más precisamente mediante un campo tensorial de tipo (2, 0) , dado que las tensiones pueden variar de un punto a otro.

Las aplicaciones comunes incluyen:

• Tensor electromagnético (o tensor de Faraday) en electromagnetismo
• Tensores de deformación finita para describir deformaciones y tensor de deformación para la deformación en mecánica de medios continuos.
• La permitividad y la susceptibilidad eléctrica son tensores en medios anisótropos.
• En la relatividad general, los cuatro tensores (por ejemplo, el tensor de energía-impulso ) se utilizan para representar los flujos de momento.
• Los operadores tensoriales esféricos son las autofunciones del operador de momento angular cuántico en coordenadas esféricas.
• Los tensores de difusión, la base de la imagen por tensor de difusión , representan las tasas de difusión en entornos biológicos.
• La mecánica cuántica y la computación cuántica utilizan productos tensoriales para la combinación de estados cuánticos.

El concepto de tensor de orden dos suele confundirse con el de matriz. Sin embargo, los tensores de orden superior sí capturan ideas importantes en ciencia e ingeniería, como se ha demostrado sucesivamente en numerosas áreas a medida que se desarrollan. Esto ocurre, por ejemplo, en el campo de la visión por computadora , donde el tensor trifocal generaliza la matriz fundamental .

El campo de la óptica no lineal estudia los cambios en la densidad de polarización de los materiales bajo campos eléctricos extremos. Las ondas de polarización generadas están relacionadas con los campos eléctricos generadores a través del tensor de susceptibilidad no lineal. Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal . Con una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no hay momentos dipolares permanentes), P viene dada por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

Aquí${\displaystyle \chi ^{(1)}}$es la susceptibilidad lineal,${\displaystyle \chi ^{(2)}}$da el efecto Pockels y la generación del segundo armónico , y${\displaystyle \chi ^{(3)}}$da lugar al efecto Kerr . Esta expansión muestra cómo surgen de forma natural los tensores de orden superior en el tema en cuestión.

Las propiedades de los tensores, especialmente su descomposición , han permitido su uso en el aprendizaje automático para integrar datos de dimensiones superiores en redes neuronales artificiales . Esta noción de tensor difiere significativamente de la de otras áreas de las matemáticas y la física, ya que un tensor es equivalente a una matriz multidimensional. En abstracto, un tensor pertenece al producto tensorial de espacios, cada uno con una base fija, y las dimensiones de los espacios factoriales pueden variar. Así, un ejemplo de tensor en este contexto es una matriz rectangular. Al igual que una matriz rectangular tiene dos ejes, uno horizontal y otro vertical, que indican la posición de cada elemento, un tensor más general tiene tantos ejes como factores haya en el producto tensorial al que pertenece, y cada elemento se denomina tupla de enteros. Los distintos ejes tienen, en general, dimensiones diferentes.

Los espacios vectoriales de un producto tensorial no tienen por qué ser iguales, y a veces los elementos de un producto tensorial más general se denominan "tensores". Por ejemplo, un elemento del espacio producto tensorial V ⊗ W es un "tensor" de segundo orden en este sentido más general, ^{[ 30 ]} y un tensor de orden d puede definirse de igual modo como un elemento de un producto tensorial de d espacios vectoriales diferentes. ^{[ 31 ]} Un tensor de tipo ( n , m ) , en el sentido definido anteriormente, es también un tensor de orden n + m en este sentido más general. El concepto de producto tensorial puede extenderse a módulos arbitrarios sobre un anillo .

La noción de tensor puede generalizarse de diversas maneras a dimensiones infinitas . Una de ellas, por ejemplo, es mediante el producto tensorial de espacios de Hilbert . ^{[ 32 ]} Otra forma de generalizar la idea de tensor, común en el análisis no lineal , es mediante la definición de mapas multilineales , donde en lugar de utilizar espacios vectoriales de dimensión finita y sus duales algebraicos , se utilizan espacios de Banach de dimensión infinita y su dual continuo . ^{[ 33 ]} Los tensores, por lo tanto, existen de forma natural en variedades de Banach ^{[ 34 ]} y variedades de Fréchet .

Supongamos que un medio homogéneo llena R³ ^{, de modo que la} densidad del medio se describe mediante un único valor escalar ρ en kg⋅m⁻³ . La masa, en kg, de una región Ω se obtiene multiplicando ρ por el volumen de la región Ω , o equivalentemente integrando la constante ρ sobre la región:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

donde las coordenadas cartesianas x , y , z se miden en m . Si las unidades de longitud se cambian a cm , entonces los valores numéricos de las funciones de coordenadas deben reescalarse por un factor de 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

El valor numérico de la densidad ρ también debe transformarse por 100 ⁻³ m ³ /cm ³ para compensar, de modo que el valor numérico de la masa en kg todavía se obtiene mediante la integral de${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$. De este modo${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$(en unidades de kg⋅cm ⁻³ ).

De forma más general, si las coordenadas cartesianas x , y , z experimentan una transformación lineal, el valor numérico de la densidad ρ debe cambiar por un factor igual al recíproco del valor absoluto del determinante de la transformación de coordenadas, de modo que la integral permanezca invariante, según la fórmula de cambio de variables para la integración. Dicha cantidad que escala por el recíproco del valor absoluto del determinante del mapa de transición de coordenadas se denomina densidad escalar . Para modelar una densidad no constante, ρ es una función de las variables x , y , z (un campo escalar ) y, bajo un cambio curvilíneo de coordenadas, se transforma por el recíproco del jacobiano del cambio de coordenadas. Para más información sobre el significado intrínseco, véase Densidad en una variedad .

Una densidad tensorial se transforma como un tensor bajo un cambio de coordenadas, excepto que además toma un factor del valor absoluto del determinante de la transición de coordenadas: ^{[ 35 ]}

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Aquí w se denomina peso. En general, cualquier tensor multiplicado por una potencia de esta función o por su valor absoluto se denomina densidad tensorial o tensor ponderado. ^{[ 36 ] [ 37 ]} Un ejemplo de densidad tensorial es la densidad de corriente del electromagnetismo .

Bajo una transformación afín de las coordenadas, un tensor se transforma mediante la parte lineal de la transformación misma (o su inversa) en cada índice. Estas provienen de las representaciones racionales del grupo lineal general. Pero esta no es del todo la ley de transformación lineal más general que puede tener tal objeto: las densidades tensoriales no son racionales, pero siguen siendo representaciones semisimples . Otra clase de transformaciones proviene de la representación logarítmica del grupo lineal general, una representación reducible pero no semisimple, ^{[ 38 ]} que consiste en un ( x , y ) ∈ R2 con la ley de ^{transformación}

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

La ley de transformación para un tensor se comporta como un functor en la categoría de sistemas de coordenadas admisibles, bajo transformaciones lineales generales (o, otras transformaciones dentro de alguna clase, como difeomorfismos locales ). Esto hace que un tensor sea un caso especial de un objeto geométrico, en el sentido técnico de que es una función del sistema de coordenadas que se transforma functorialmente bajo cambios de coordenadas. ^{[ 39 ]} Ejemplos de objetos que obedecen tipos más generales de leyes de transformación son los jets y, aún más generalmente, los fibrados naturales . ^{[ 40 ] [ 41 ]}

Al cambiar de una base ortonormal (llamada marco ) a otra mediante una rotación, los componentes de un tensor se transforman según esa misma rotación. Esta transformación no depende de la trayectoria seguida en el espacio de marcos. Sin embargo, el espacio de marcos no es simplemente conexo (véase el entrelazamiento de orientación y el truco de la placa ): existen trayectorias continuas en el espacio de marcos con las mismas configuraciones inicial y final que no son deformables entre sí. Es posible adjuntar un invariante discreto adicional a cada marco que incorpore esta dependencia de la trayectoria y que resulte (localmente) tener valores de ±1. ^{[ 42 ]} Un espinor es un objeto que se transforma como un tensor bajo rotaciones en el marco, salvo un posible signo que está determinado por el valor de este invariante discreto. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Los espinores son elementos de la representación de espín del grupo de rotación, mientras que los tensores son elementos de sus representaciones tensoriales . Otros grupos clásicos tienen representaciones tensoriales y, por lo tanto, también tensores compatibles con el grupo, pero todos los grupos clásicos no compactos también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita.

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