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prueba del término n

En matemáticas , la prueba del término n para la divergencia [ 1 ] es una prueba simple para la divergencia de una serie infinita : Si límite norte → ∞ a norte ≠ 0 {\displaystyl...

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En matemáticas , la prueba del término n para la divergencia [ 1 ] es una prueba simple para la divergencia de una serie infinita :

Silímitenorte→∞anorte≠0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}o si el límite no existe, entonces∑norte=1∞anorte{\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}}diverge.

Muchos autores no nombran esta prueba o le dan un nombre más corto. [ 2 ]

Al comprobar si una serie converge o diverge, esta prueba suele ser la primera que se revisa debido a su facilidad de uso.

En el caso del análisis p-ádico, el término prueba es una condición necesaria y suficiente para la convergencia debido a la desigualdad triangular ultramétrica no arquimediana .

Uso

A diferencia de las pruebas de convergencia más fuertes , la prueba del término no puede probar por sí sola que una serie converge . En particular, la recíproca de la prueba no es cierta; en cambio, todo lo que se puede decir es:

Silímitenorte→∞anorte=0,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}entonces∑norte=1∞anorte{\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}}puede que converja o no. En otras palabras, silímitenorte→∞anorte=0,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}La prueba no es concluyente.

La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos tienden a cero en el límite cuando tiende a cero.norte→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }. [ 3 ] La clase más general de p -series ,

∑norte=1∞1nortepag,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}

ejemplifica los posibles resultados de la prueba:

  • Si p ≤ 0, entonces la prueba del término n identifica la serie como divergente.
  • Si 0 < p ≤ 1, entonces la prueba del término n no es concluyente, pero la serie es divergente según la prueba integral de convergencia .
  • Si 1 < p , entonces la prueba del término n no es concluyente, pero la serie es convergente según la prueba integral de convergencia.

Pruebas

La prueba se demuestra típicamente en forma contrapositiva :

Si∑norte=1∞anorte{\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}}converge, entonceslímitenorte→∞anorte=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

Manipulación de límites

Si s n son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge significa que

límitenorte→∞snorte=L{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}

para algún número L . Entonces [ 4 ]

límitenorte→∞anorte=límitenorte→∞(snorte−snorte−1)=límitenorte→∞snorte−límitenorte→∞snorte−1=L−L=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=LL=0.}

Criterio de Cauchy

Suponiendo que la serie converge, esto implica que supera la prueba de convergencia de Cauchy : para cadaε>0{\displaystyle \varepsilon >0}existe un número N tal que

|anorte+1+anorte+2+⋯+anorte+pag|<ε{\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }

se cumple para todo n > N y p ≥ 1. Establecer p = 1 recupera la afirmación [ 5 ]

límitenorte→∞anorte=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

Alcance

La versión más simple de la prueba del término se aplica a series infinitas de números reales . Las dos demostraciones anteriores, al invocar el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, también funcionan en cualquier otro espacio vectorial normado [ 6 ] o cualquier grupo abeliano escrito aditivamente .

Notas

  1. ↑ Kaczor pág. 336
  2. ↑ Por ejemplo, Rudin (p. 60) solo menciona la forma contrapositiva y no la nombra. Brabenec (p. 156) la llama simplemente la prueba del término n . Stewart (p. 709) la llama la prueba de divergencia . Spivak (p. 473) la llama la condición de desaparición .
  3. ↑ Rudin pág. 60
  4. ↑ Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. ↑ Rudin (pp.59-60) utiliza esta idea de demostración, partiendo de una formulación diferente del criterio de Cauchy.
  6. ↑ Hansen p.55; Șuhubi p.375

Referencias

  • Brabenec, Robert (2005). Recursos para el estudio del análisis real . MAA. ISBN 0883857375.
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Análisis funcional: ingreso al espacio de Hilbert . Científico mundial. ISBN 9812565639.
  • Kaczor, Wiesława y Maria Nowak (2003). Problemas de análisis matemático . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0821820508.
  • Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios de análisis matemático (3.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
  • Spivak, Michael (2008). Cálculo (4.ª  ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
  • Stewart, James (1999). Cálculo: Primeros trascendentales (4.ª  ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
  • Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Análisis funcional . Springer. ISBN 1402016166.
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