espacio ultramétrico

En matemáticas , un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que la desigualdad triangular se fortalece para${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$a pesar de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$. A veces, la métrica asociada también se denomina métrica no arquimediana o supermétrica .

Una ultramétrica en un conjunto${\displaystyle M}$es una función de valor real

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(dónde${\displaystyle \mathbb {R} }$denota los números reales ), tales que para todo${\displaystyle x,y,z\in M}$:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$con igualdad si y solo si${\displaystyle x=y}$( no degeneración )
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$( simetría )
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$( desigualdad triangular fuerte o desigualdad ultramétrica ).

Un espacio ultramétrico es un par${\displaystyle (M,d)}$que consta de un conjunto${\displaystyle M}$junto con un ultramétrico${\displaystyle d}$en${\displaystyle M}$, que se denomina función de distancia asociada al espacio (también llamada métrica ).

Si${\displaystyle d}$satisface todas las condiciones pero el "si y solo si" en la condición 1 se debilita a "si", entonces${\displaystyle d}$se denomina ultrapseudométrico en${\displaystyle M}$Un espacio ultrapseudométrico es un par${\displaystyle (M,d)}$que consta de un conjunto${\displaystyle M}$y un ultrapseudométrico${\displaystyle d}$en${\displaystyle M}$. ^{[ 1 ]}

En el caso de que${\displaystyle M}$es un grupo abeliano (escrito aditivamente) y${\displaystyle d}$se genera mediante una función de longitud${\displaystyle \|\cdot \|}$ (de modo que${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$), la última propiedad se puede fortalecer utilizando el afilado de Krull para:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$con igualdad si${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$.

Queremos demostrar que si${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$, entonces la igualdad se produce si${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$Sin pérdida de generalidad , supongamos que${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$Esto implica que${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$Pero también podemos calcular${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$. Ahora, el valor de${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$no puede ser${\displaystyle \|y\|}$, porque si ese es el caso, tenemos${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$Contrario a la suposición inicial. Por lo tanto,${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$, y${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$. Usando la desigualdad inicial, tenemos${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$y por lo tanto${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$.

De la definición anterior, se pueden concluir varias propiedades típicas de las ultramétricas. Por ejemplo, para todo${\displaystyle x,y,z\in M}$, al menos una de las tres igualdades${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$o${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$o${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$se cumple. Es decir, cada triplete de puntos en el espacio forma un triángulo isósceles , por lo que todo el espacio es un conjunto isósceles .

Definiendo la bola (abierta) de radio${\displaystyle r>0}$centrado en${\displaystyle x\in M}$como${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$Tenemos las siguientes propiedades:

• Cada punto dentro de una bola es uno de sus centros, es decir, si${\displaystyle d(x,y)<r}$entonces${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$.
• Las bolas que se intersecan están contenidas una dentro de la otra, es decir, si${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$si no está vacío entonces o${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$o${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$.
• Todas las bolas de radio estrictamente positivo son conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida . Es decir, las bolas abiertas también son cerradas, y las bolas cerradas (reemplazan${\displaystyle <}$con${\displaystyle \leq }$) también están abiertos.
• El conjunto de todas las bolas abiertas con radio${\displaystyle r}$y centro en una bola cerrada de radio${\displaystyle r>0}$forma una partición de esta última, y ​​la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (mayor o) igual a${\displaystyle r}$.

Demostrar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. ^{[ 2 ]} Todas se derivan directamente de la desigualdad triangular ultramétrica. Nótese que, según la segunda afirmación, una bola puede tener varios puntos centrales con distancia distinta de cero. La intuición detrás de estos efectos aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad triangular, las distancias en las ultramétricas no se suman.

• La métrica discreta es una ultramétrica.
• Los números p -ádicos forman un espacio ultramétrico completo.
• Consideremos el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita),${\displaystyle \Sigma ^{*}}$, sobre algún alfabeto${\displaystyle \Sigma }$. Defina la distancia entre dos palabras diferentes para ser${\displaystyle 2^{-n}}$, dónde${\displaystyle n}$es el primer lugar donde las palabras difieren. La métrica resultante es una ultramétrica.
• El conjunto de palabras con extremos pegados de la longitud${\displaystyle n}$sobre algún alfabeto${\displaystyle \Sigma }$es un espacio ultramétrico con respecto a la distancia p -cercana. Dos palabras${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son p -cercanas si cualquier subcadena de p letras consecutivas (${\displaystyle p<n}$) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) tanto en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. ^{[ 3 ]}
• Si${\displaystyle r=(r_{n})}$es una secuencia de números reales que disminuye hasta cero, entonces${\displaystyle |x|_{r}:=\limsup _{n\rightarrow \infty }|x_{n}|^{r_{n}}}$induce una ultramétrica en el espacio de todas las secuencias complejas para las cuales es finita. (Nótese que esto no es una seminorma ya que carece de homogeneidad — Si la${\displaystyle r_{n}}$se permite que sean cero, aquí se debe usar la convención bastante inusual de que${\displaystyle 0^{0}=0}$( Cero elevado a la potencia de cero ).
• Si${\displaystyle G}$es un grafo no dirigido con pesos en las aristas , todos los pesos de las aristas son positivos y${\displaystyle d(u,v)}$es el peso del camino minimax entre${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$(es decir, el mayor peso de una arista, en un camino elegido para minimizar este mayor peso), luego los vértices del grafo, con la distancia medida por${\displaystyle d}$, forman un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden representarse de esta manera. ^{[ 4 ]}

• Una aplicación de contracción puede considerarse entonces como una forma de aproximar el resultado final de un cálculo (cuya existencia está garantizada por el teorema del punto fijo de Banach ). Ideas similares se encuentran en la teoría de dominios . El análisis p -ádico hace un uso extensivo de la naturaleza ultramétrica de la métrica p -ádica .
• En física de la materia condensada , la superposición de auto-promediación entre espines en el modelo SK de vidrios de espín exhibe una estructura ultramétrica, cuya solución viene dada por el procedimiento de ruptura de simetría de réplica completa descrito por primera vez por Giorgio Parisi y colaboradores. ^{[ 5 ]} La ultrametricidad también aparece en la teoría de sólidos aperiódicos. ^{[ 6 ]}
• En taxonomía y construcción de árboles filogenéticos , los métodos UPGMA y WPGMA también utilizan distancias ultramétricas . ^{[ 7 ]} Estos algoritmos requieren la suposición de una tasa constante y producen árboles en los que las distancias desde la raíz hasta la punta de cada rama son iguales. Cuando se analizan datos de ADN , ARN y proteínas , la suposición de ultrametricidad se denomina reloj molecular .
• Los modelos de intermitencia en la turbulencia tridimensional de fluidos utilizan las llamadas cascadas, y en los modelos discretos de cascadas diádicas, que tienen una estructura ultramétrica. ^{[ 8 ]}
• En geografía y ecología del paisaje , las distancias ultramétricas se han aplicado para medir la complejidad del paisaje y evaluar hasta qué punto una función del paisaje es más importante que otra. ^{[ 9 ]}

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 

• Kaplansky, I. (1977), Teoría de conjuntos y espacios métricos , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.

• Contenido multimedia relacionado con la geometría no arquimediana en Wikimedia Commons.