El teorema de Tales

En geometría , el teorema de Tales establece que si $A$ , $B$ y $C$ son puntos distintos en una circunferencia donde la línea $AC$ es un diámetro , el ángulo $∠ABC$ es un ángulo recto $.$ El teorema de Tales es un caso particular del teorema del ángulo inscrito y se menciona y demuestra como parte de la proposición 31 del tercer libro de los Elementos de Euclides . ^[¹^] Generalmente se le atribuye a Tales de Mileto , pero a veces se le atribuye a Pitágoras .

Historia

*Non si est dare primum motum esse* *o se del mezzo cerchio far si puote* *triangol sì c'un recto nonauesse.* – *El Paradiso* de Dante , Canto 13, líneas 100-102
*Non si est dare primum motum esse,* Or if in semicircle can be made Triangle so that it have no right angle. – Traducción al inglés de Longfellow

Tradicionalmente se atribuye a Tales de Mileto (principios del siglo VI a. C.) la demostración del teorema; sin embargo, incluso en el siglo V a. C. no se conservaba ningún escrito de Tales, y los doxógrafos posteriores atribuyeron invenciones e ideas a hombres sabios como Tales y Pitágoras basándose en rumores y especulaciones. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Proclo (siglo V d. C.) y Diógenes Laercio (siglo III d. C.) hicieron referencia a Tales al documentar la afirmación de Pamphila (siglo I d. C.) de que Tales «fue el primero en inscribir en un círculo un triángulo rectángulo». ^{[ 4 ]}

Se afirma que Tales viajó a Egipto y Babilonia , donde supuestamente aprendió geometría y astronomía, y que luego transmitió sus conocimientos a los griegos, inventando en el proceso el concepto de demostración geométrica y probando diversos teoremas geométricos. Sin embargo, no existe evidencia directa de ninguna de estas afirmaciones, y lo más probable es que se trate de racionalizaciones especulativas. Los estudiosos modernos creen que la geometría deductiva griega, tal como se encuentra en los Elementos de Euclides , no se desarrolló hasta el siglo IV a. C., y cualquier conocimiento geométrico que Tales pudiera haber tenido habría sido de carácter observacional. ^{[ 2 ]}^{[ 5 ]}

El teorema aparece en el Libro III de los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C. ) como la proposición 31: "En un círculo, el ángulo inscrito en el semicírculo es recto, el inscrito en el segmento mayor es menor que un ángulo recto, y el inscrito en el segmento menor es mayor que un ángulo recto; además, el ángulo del segmento mayor es mayor que un ángulo recto, y el ángulo del segmento menor es menor que un ángulo recto."

El Paraíso de Dante Alighieri (canto 13, versos 101-102) hace referencia al teorema de Tales en el transcurso de un discurso.

Prueba

Primera prueba

Se utilizan los siguientes hechos: la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

Siempre que $AC$ sea un diámetro , el ángulo en $B$ es constante recto (90°).
Figura para la demostración.

Dado que $OA = OB = OC$ , $△ OBA$ y $△ OBC$ son triángulos isósceles, y por la igualdad de los ángulos de la base de un triángulo isósceles, $∠ OBC = ∠ OCB$ y $∠ OBA = ∠ OAB$ .

Sea $α = ∠ BAO$ y $β = ∠ OBC$ . Los tres ángulos internos del triángulo $∆ ABC$ son $α$ , $(α + β)$ y $β$ . Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°, tenemos

{\begin{aligned}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\therefore \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}

QED

Segunda prueba

El teorema también se puede demostrar usando trigonometría : Sean $O = (0, 0)$ , $A = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ . Entonces $B$ es un punto en el círculo unitario $(cos θ, sin θ)$ . Demostraremos que $el triángulo ABC$ forma un ángulo recto probando que $AB$ y $BC$ son perpendiculares , es decir, que el producto de sus pendientes es igual a −1. Calculamos las pendientes de $AB$ y $BC$ :

{\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}

Luego demostramos que su producto es igual a −1:

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}

Nótese el uso de la identidad trigonométrica pitagórica. $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.$

Tercera prueba

Sea $△ ABC$ un triángulo inscrito en un círculo, donde $AB$ es un diámetro. Construyamos un nuevo triángulo $△ ABD$ rotando $△ ABC$ 180° alrededor del centro del círculo $O.$ Como rotamos 180°, las líneas $AC$ y $BD$ son paralelas , al igual que $AD$ y $CB$ . Por lo tanto, el cuadrilátero $ACBD$ es un paralelogramo . Las líneas $OC$ y $OD$ también son paralelas y se intersecan en $O$ , así que $CD$ es una línea recta que pasa por $O$ , lo que significa que $CD$ es un diámetro del círculo. Dado que las líneas $AB$ y $CD$ , las diagonales del paralelogramo, son ambas diámetros del círculo y, por lo tanto, tienen la misma longitud, el paralelogramo debe ser un rectángulo. Todos los ángulos de un rectángulo son ángulos rectos.

Cuarta prueba

El teorema se puede demostrar utilizando álgebra vectorial. Tomemos los vectores. ${\overrightarrow {AB}}$ y ${\overrightarrow {CB}}$ Estos vectores satisfacen

{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\qquad \qquad {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}

y su producto escalar se puede expandir como

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=\left({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)={\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}+({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {CO}})\cdot {\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}

pero

{\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {CO}}\qquad \qquad {\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}=-R^{2}\qquad \qquad {\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}=R^{2}

y el producto escalar desaparece

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=-R^{2}+{\overrightarrow {0}}\cdot {\overrightarrow {OB}}+R^{2}=0

y luego los vectores ${\overrightarrow {AB}}$ y ${\overrightarrow {CB}}$ son ortogonales y el ángulo ABC es un ángulo recto.

Conversar

Para cualquier triángulo, y en particular para cualquier triángulo rectángulo, existe exactamente una circunferencia que contiene sus tres vértices. Esta circunferencia se llama circunferencia circunscrita. Su centro se denomina circuncentro , que es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

Una forma de formular el teorema de Tales es la siguiente: si el circuncentro se encuentra sobre el triángulo, entonces el triángulo es rectángulo, y está sobre su hipotenusa.

El recíproco del teorema de Tales es, por tanto: el circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra sobre su hipotenusa. (De forma equivalente, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de su circunferencia circunscrita).

Demostración de la proposición recíproca mediante geometría.

Esta demostración consiste en "completar" el triángulo rectángulo para formar un rectángulo y observar que el centro de ese rectángulo es equidistante de los vértices, al igual que el centro del círculo circunscrito del triángulo original, y utiliza dos hechos:

Los ángulos adyacentes en un paralelogramo son suplementarios (suman 180°) y,
Las diagonales de un rectángulo son iguales y se cruzan en su punto medio.

Sea $∠ABC un ángulo$ recto , $r$ una recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ , y $s$ una recta paralela a $AB$ que pasa por $C.$ Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$ . (No se ha demostrado que $D$ se encuentre en la circunferencia).

El cuadrilátero $ABCD$ forma un paralelogramo por construcción (ya que los lados opuestos son paralelos). Dado que en un paralelogramo los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180°) y $el ángulo ABC$ es un ángulo recto (90°), entonces los ángulos $BAD , BCD y ADC también$ son rectos (90°); por consiguiente, $ABCD$ $es$ un rectángulo y $D$ se encuentra sobre la circunferencia.

Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y BD . Entonces , según el segundo hecho mencionado, el punto $O es equidistante de$ $A$ , $B$ y $C.$ Por lo tanto, $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita, y la hipotenusa del triángulo ( $AC$ ) es un diámetro de la circunferencia.

Demostración alternativa del recíproco mediante geometría.

Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con hipotenusa $AC$ , construyamos una circunferencia $Ω$ cuyo diámetro sea $AC$ . Sea $O$ el centro de $Ω$ . Sea $D$ la intersección de $Ω$ con el rayo $OB$ . Por el teorema de Tales, $el ángulo ADC$ es recto. Pero entonces $D$ debe ser igual a $B.$ (Si $D$ está dentro $del triángulo ABC$ , $el ángulo ADC$ sería obtuso, y si $D$ está fuera $del triángulo ABC$ , $el ángulo ADC$ sería agudo).

Demostración de la inversa mediante álgebra lineal

Esta demostración utiliza dos hechos:

Dos líneas forman un ángulo recto si y solo si el producto escalar de sus vectores direccionales es cero, y
El cuadrado de la longitud de un vector viene dado por el producto escalar del vector consigo mismo.

Sea un ángulo recto $∠ ABC$ y una circunferencia $M$ con diámetro AC . Supongamos que el centro de M está en el origen, para facilitar los cálculos. Entonces sabemos que

$A = - C$ , porque el círculo centrado en el origen tiene $AC$ como diámetro, y
$(A - B) \cdot (B - C) = 0$ , porque $∠ ABC$ es un ángulo recto.

A continuación

{\begin{aligned}0&=(AB)\cdot (BC)\\&=(AB)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\therefore \ |A|&=|B|.\end{aligned}}

Esto significa que $A$ y $B$ están a la misma distancia del origen, es decir, del centro de $M.$ Como $A$ se encuentra en $M$ , también lo está $B$ , y por lo tanto, el círculo $M$ es la circunferencia circunscrita al triángulo.

Los cálculos anteriores establecen de hecho que ambas direcciones del teorema de Tales son válidas en cualquier espacio con producto interno .

Generalizaciones y resultados relacionados

Como se indicó anteriormente, el teorema de Tales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito (cuya demostración es bastante similar a la primera demostración del teorema de Tales dada anteriormente):

Dados tres puntos

A

,

B

y

C

en un círculo con centro

O

, el ángulo

∠ AOC

es el doble de grande que el ángulo

∠ ABC

.

Un resultado relacionado con el teorema de Tales es el siguiente:

Si $AC$ es un diámetro de un círculo, entonces:

Si $B$ está dentro del círculo, entonces $∠ ABC > 90°$
Si $B$ está en la circunferencia, entonces $∠ ABC = 90°$
Si $B$ está fuera del círculo, entonces $∠ ABC < 90°$ .

Aplicaciones

Construir una tangente a un círculo que pasa por un punto.

El teorema de Tales se puede utilizar para construir la tangente a una circunferencia dada que pasa por un punto dado. En la figura de la derecha, dada una circunferencia $k$ con centro $O$ y un punto $P$ fuera de $k$ , biseca $OP$ en $H$ y traza una circunferencia de radio $OH$ con centro $H.$ $OP$ es un diámetro de esta circunferencia, por lo que los triángulos que conectan OP con los puntos $T$ y $T',$ donde se intersecan las circunferencias , son ambos triángulos rectángulos.

{\displaystyle {\sqrt {p}}} — Método geométrico para encontrar ${\sqrt {p}}$ utilizando el teorema de la media geométrica $h={\sqrt {pq}}$ con $q=1$

Cómo encontrar el centro de un círculo

El teorema de Tales también puede utilizarse para hallar el centro de un círculo mediante un objeto con ángulo recto, como una escuadra o una hoja de papel rectangular de mayor tamaño que el círculo. ^{[ 6 ]} El ángulo se sitúa en cualquier punto de su circunferencia (figura 1). La intersección de los dos lados con la circunferencia define un diámetro (figura 2). Repitiendo este procedimiento con un conjunto diferente de intersecciones se obtiene otro diámetro (figura 3). El centro se encuentra en la intersección de los diámetros.

Véase también

Notas

↑ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides . Vol. 2 (Libros 3–9) (2.ª ed.). Dover. p. 61. ISBN 0486600890.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Publicado originalmente por Cambridge University Press. 1.ª edición 1908, 2.ª edición 1926.
1 2 Dicks, DR (1959). "Tales". The Classical Quarterly . 9 (2): 294– 309. doi : 10.1017/S0009838800041586 .
↑ Allen, G. Donald (2000). "Tales de Mileto" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 26 de marzo de 2004. Recuperado el 12 de febrero de 2012 .
↑ Patronis, Tasos; Patsopoulos, Dimitris (enero de 2006). «El teorema de Tales: un estudio de la denominación de teoremas en los libros de texto de geometría escolar» . The International Journal for the History of Mathematics Education : 57–68 . ISSN 1932-8826 . Archivado del original el 5 de noviembre de 2013.
↑ Sidoli, Nathan (2018). "Matemáticas griegas" (PDF) . En Jones, A.; Taub, L. (eds.). The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science . Cambridge University Press. pp. 345–373 .
↑ Recursos para la enseñanza de las matemáticas: 14–16 Colin Foster

Referencias

Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. pág. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.
Heath, TL (1921). Historia de las matemáticas griegas: de Tales a Euclides . Vol. I. Oxford. págs. 131 y ss.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "El teorema de Tales" . MathWorld .
Comiendo ángulos inscritos
El teorema de Tales explicado con animación interactiva.
Demostraciones del teorema de Tales por Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .

[1] Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides . Vol. 2 (Libros 3–9) (2.ª ed.). Dover. p. 61. ISBN 0486600890.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Publicado originalmente por Cambridge University Press. 1.ª edición 1908, 2.ª edición 1926.

[dicks-2] 1 2 Dicks, DR (1959). "Tales". The Classical Quarterly . 9 (2): 294– 309. doi : 10.1017/S0009838800041586 .

[3] Allen, G. Donald (2000). "Tales de Mileto" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 26 de marzo de 2004. Recuperado el 12 de febrero de 2012 .

[4] Patronis, Tasos; Patsopoulos, Dimitris (enero de 2006). «El teorema de Tales: un estudio de la denominación de teoremas en los libros de texto de geometría escolar» . The International Journal for the History of Mathematics Education : 57–68 . ISSN 1932-8826 . Archivado del original el 5 de noviembre de 2013.

[5] Sidoli, Nathan (2018). "Matemáticas griegas" (PDF) . En Jones, A.; Taub, L. (eds.). The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science . Cambridge University Press. pp. 345–373 .

[6] Recursos para la enseñanza de las matemáticas: 14–16 Colin Foster

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