La geometría de los octoniones

La geometría de los octoniones es un libro de matemáticas sobre los octoniones , un sistema numérico que generaliza los números complejos y los cuaterniones , y que presenta su material a un nivel adecuado para estudiantes universitarios de matemáticas. Fue escrito por Tevian Dray y Corinne Manogue , y publicado en 2015 por World Scientific . El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. ^{[ 1 ]}

El libro se subdivide en tres partes, siendo la segunda la más importante. ^{[ 2 ]} Su contenido combina un análisis de trabajos anteriores en este campo y gran parte de las investigaciones de sus propios autores. ^{[ 3 ]}

La primera parte explica la construcción de Cayley-Dickson , ^{[ 4 ] [ 3 ]} que construye los números complejos a partir de los números reales , los cuaterniones a partir de los números complejos y los octoniones a partir de los cuaterniones. También se discuten álgebras relacionadas, incluyendo los sedeniones (un álgebra real de 16 dimensiones formada de la misma manera dando un paso más allá de los octoniones) y las álgebras de composición unitaria real escindida (también llamadas álgebras de Hurwitz). ^{[ 2 ]} Un enfoque particular aquí es la interpretación geométrica de la operación de multiplicación de estas álgebras. ^{[ 5 ]} El revisor Danail Brezov señala con decepción que las álgebras de Clifford , aunque muy relevantes para este material, no se tratan. ^{[ 3 ]}

La segunda parte del libro utiliza los octoniones y las demás álgebras de división asociadas para proporcionar descripciones concretas de los grupos de Lie de simetrías geométricas. Estos incluyen grupos de rotación , grupos de espín , grupos simplécticos y los grupos de Lie excepcionales , que el libro interpreta como variantes octoniónicas de los grupos de Lie clásicos. ^{[ 2 ] [ 5 ]}

La tercera parte aplica los octoniones en construcciones geométricas, incluyendo la fibración de Hopf y sus generalizaciones, el plano de Cayley y la red E _8. También los conecta con problemas de física que involucran la ecuación de Dirac de cuatro dimensiones , la mecánica cuántica de fermiones relativistas , espinores y la formulación de la mecánica cuántica usando álgebras de Jordan . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 5 ]} También incluye material sobre la teoría de números octoniónicos , ^{[ 3 ] [ 5 ]} y concluye con un capítulo sobre el cuadrado mágico de Freudenthal y construcciones relacionadas. ^{[ 2 ]}

Aunque se presenta a nivel de pregrado, La geometría de los octoniones no es un libro de texto: su material probablemente sea demasiado especializado para un curso de pregrado y carece de ejercicios o material similar que se necesitaría para usarlo como tal. ^{[ 4 ]} Los lectores deben estar familiarizados con el álgebra lineal , y cierta experiencia con grupos de Lie también sería útil. ^{[ 2 ]} Los capítulos posteriores sobre aplicaciones en física son más complejos y requieren familiaridad con la mecánica cuántica. ^{[ 4 ]}

El libro evita un estilo formal de escritura matemática con muchas demostraciones, ^{[ 2 ]} tanto que el crítico Danail Brezov escribe que en algunos puntos "parece carecer de rigor matemático". ^{[ 3 ]}

Varios revisores sugieren que este trabajo sería una buena introducción a los octoniones, como un paso previo al material más avanzado presentado en otros trabajos sobre el mismo tema. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 5 ]} Sus sugerencias incluyen lo siguiente:

• Baez, John C. (2002), "Los octoniones", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 39 (2): 145– 205, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , MR 1886087 , S2CID 586512  
• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , Natick, Massachusetts: AK Peters, ISBN 1-56881-134-9, MR 1957212 
• Kantor, IL ; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos: una introducción elemental a las álgebras , Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-3650-4 (inactivo el 1 de febrero de 2026), ISBN 0-387-96980-2, MR 0996029 {{citation}}: CS1 maint: DOI inactivo desde febrero de 2026 ( enlace )
• Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhofer, Theo; Hähl, Hermann; Lowen, Rainer; Stroppel, Markus (1995), Planos proyectivos compactos: con una introducción a la geometría de Octonion , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, vol.  21, Walter de Gruyter & Co., Berlín, doi : 10.1515/9783110876833 , ISBN 3-11-011480-1, MR 1384300 
• Springer, Tonny A.; Veldkamp, ​​Ferdinand D. (2000), Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-12622-6 , ISBN 3-540-66337-1, MR 1763974 
• Ward, JP (1997), Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications , Mathematics and its Applications, vol.  403, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, doi : 10.1007/978-94-011-5768-1 , ISBN 0-7923-4513-4, MR 1458894