Método de equivalencia de Cartan

En matemáticas , el método de equivalencia de Cartan es una técnica de geometría diferencial para determinar si dos estructuras geométricas son iguales salvo un difeomorfismo . Por ejemplo, si M y N son dos variedades riemannianas con métricas g y h , respectivamente, ¿cuándo existe un difeomorfismo?

\phi :M\rightarrow N

de tal manera que

\phi ^{*}h=g

¿

Si bien Gauss conocía la respuesta a esta pregunta en dimensión 2 , y Christoffel y quizás también Riemann en dimensiones superiores , Élie Cartan y sus herederos intelectuales desarrollaron una técnica para responder preguntas similares en estructuras geométricas radicalmente diferentes. (Véase, por ejemplo, el algoritmo de Cartan-Karlhede ).

Cartan aplicó con éxito su método de equivalencia a numerosas estructuras de este tipo, incluyendo estructuras proyectivas , estructuras CR y estructuras complejas , así como a estructuras aparentemente no geométricas, como la equivalencia de lagrangianos y ecuaciones diferenciales ordinarias . (Sus técnicas fueron posteriormente desarrolladas con mayor profundidad por muchos otros, como D. C. Spencer y Shiing-Shen Chern ).

El método de equivalencia es un procedimiento esencialmente algorítmico para determinar cuándo dos estructuras geométricas son idénticas. Para Cartan, la información geométrica primaria se expresaba en un marco conjunto o conjunto de marcos conjuntos sobre una variedad diferenciable . Véase método de marcos móviles .

Descripción general

Específicamente, supongamos que M y N son un par de variedades, cada una con una G-estructura para un grupo de estructuras G. Esto equivale a dar una clase especial de coframes en M y N. El método de Cartan aborda la cuestión de si existe un difeomorfismo local φ : M → N bajo el cual la G -estructura en N se revierte a la G -estructura dada en M. Un problema de equivalencia se considera "resuelto" si se puede dar un conjunto completo de invariantes estructurales para la G -estructura: es decir, que tal difeomorfismo existe si y solo si todos los invariantes estructurales coinciden en un sentido adecuadamente definido.

Explícitamente, se dan sistemas locales de 1-formas θ ⁱ y γ ⁱ en M y N , respectivamente, que abarcan los respectivos fibrados cotangentes (es decir, son coframes ). La pregunta es si existe un difeomorfismo local φ : M → N tal que la imagen inversa del coframe en N satisfaga

\phi ^{*}\gamma ^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta ^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G

(1)

donde el coeficiente g es una función en M que toma valores en el grupo de Lie G. Por ejemplo, si ^M y N son variedades riemannianas, entonces G = O(n) es el grupo ortogonal y θi y γi son coframes ortonormales de M y N respectivamente . La cuestión de ^si dos variedades riemannianas son isométricas es entonces una cuestión de si existe un difeomorfismo φ que satisfaga (1).

El primer paso

El primer paso del método de Cartan consiste en expresar la relación de retroceso (1) de la forma más invariante posible mediante una " prolongación ". La manera más económica de hacerlo es utilizar un subhaz G , PM, del haz principal de coframes lineales LM , aunque este enfoque puede generar complicaciones innecesarias al realizar cálculos reales. En particular, más adelante en este artículo se utiliza un enfoque diferente. Sin embargo, para fines de una visión general, conviene mantener el punto de vista del haz principal.

El segundo paso

El segundo paso consiste en utilizar la invariancia de difeomorfismo de la derivada exterior para intentar aislar cualquier otro invariante de orden superior de la G -estructura. Básicamente, se obtiene una conexión en el fibrado principal PM , con cierta torsión. Los componentes de la conexión y de la torsión se consideran invariantes del problema.

El tercer paso

El tercer paso consiste en que, si los coeficientes de torsión restantes no son constantes en las fibras del haz principal PM , a menudo es posible (aunque a veces difícil) normalizarlos igualándolos a un valor constante conveniente y resolviendo estas ecuaciones de normalización, reduciendo así la dimensión efectiva del grupo de Lie G. Si esto ocurre, se vuelve al primer paso, teniendo ahora un grupo de Lie de una dimensión menor con el que trabajar.

El cuarto paso

El objetivo principal de los tres primeros pasos era reducir al máximo el grupo estructural. Supongamos que el problema de equivalencia se ha procesado tantas veces que ya no es posible una mayor reducción. En este punto, el método de equivalencia puede seguir diversas direcciones. Para la mayoría de los problemas de equivalencia, solo existen cuatro casos: reducción completa, involución, prolongación y degeneración.

Reducción completa. Aquí el grupo de estructura se ha reducido completamente al grupo trivial . El problema ahora puede resolverse mediante métodos como el teorema de Frobenius . En otras palabras, el algoritmo ha finalizado con éxito.

Por otro lado, es posible que los coeficientes de torsión sean constantes en las fibras de PM . De forma equivalente, ya no dependen del grupo de Lie G porque no queda nada que normalizar, aunque aún pueda existir cierta torsión. Los tres casos restantes parten de esta premisa.

Involución. Se dice que el problema de equivalencia es involutivo (o está en involución ) si supera la prueba de Cartan . Esta es esencialmente una condición de rango sobre la conexión obtenida en los tres primeros pasos del procedimiento. La prueba de Cartan generaliza el teorema de Frobenius sobre la solubilidad de sistemas lineales de primer orden de ecuaciones diferenciales parciales. Si los coframes en M y N (obtenidos mediante una aplicación exhaustiva de los tres primeros pasos del algoritmo) coinciden y satisfacen la prueba de Cartan, entonces las dos G -estructuras son equivalentes. (En realidad, según el conocimiento del autor, los coframes deben ser analíticos reales para que esto se cumpla, ya que el teorema de Cartan-Kähler requiere analiticidad).

Prolongación. Este es el caso más complejo. De hecho, existen dos subcasos. En el primero, toda la torsión puede absorberse de forma única en la forma de conexión. (Las variedades riemannianas son un ejemplo, ya que la conexión de Levi-Civita absorbe toda la torsión). Los coeficientes de conexión y sus derivadas invariantes forman un conjunto completo de invariantes de la estructura, y el problema de equivalencia queda resuelto. En el segundo subcaso, sin embargo, es imposible absorber toda la torsión o existe cierta ambigüedad (como suele ocurrir en la eliminación gaussiana , por ejemplo). Aquí, al igual que en la eliminación gaussiana, aparecen parámetros adicionales al intentar absorber la torsión. Estos parámetros resultan ser invariantes adicionales del problema, por lo que el grupo de estructura G debe prolongarse en un subgrupo de un grupo jet . Una vez hecho esto, se obtiene un nuevo coframe en el espacio prolongado y se debe volver al primer paso del método de equivalencia. (Véase también prolongación de estructuras G ).

Degeneración. Debido a la falta de uniformidad de alguna condición de rango, el método de equivalencia no logra resolver este problema de equivalencia en particular. Por ejemplo, consideremos el problema de equivalencia de mapear una variedad M con una única 1-forma θ a otra variedad con una única 1-forma γ tal que φ * γ = θ . Es necesario tener en cuenta los ceros de estas 1-formas, así como el rango de sus derivadas exteriores en cada punto. El método de equivalencia puede resolver tales problemas si todos los rangos son uniformes, pero no siempre es adecuado si el rango cambia. Por supuesto, dependiendo de la aplicación particular, aún se puede obtener mucha información con el método de equivalencia.

Referencias

Olver, PJ (1995). Equivalencia, invariantes y simetría . Oxford University Press. ISBN 0-521-47811-1.