Estado KMS

En la mecánica estadística de los sistemas mecánicos cuánticos y la teoría cuántica de campos , las propiedades de un sistema en equilibrio térmico pueden describirse mediante un objeto matemático llamado estado de Kubo-Martin-Schwinger ( KMS ) : un estado que satisface la condición KMS .

Ryogo Kubo introdujo la condición en 1957, ^{[ 1 ]} Paul C. Martin y Julian Schwinger la utilizaron en 1959 para definir las funciones de Green termodinámicas , ^{[ 2 ]} y Rudolf Haag , Marinus Winnink y Nico Hugenholtz utilizaron la condición en 1967 para definir estados de equilibrio y la denominaron condición KMS. ^{[ 3 ]}

El caso más sencillo de estudiar es el de un espacio de Hilbert de dimensión finita , en el que no se presentan complicaciones como transiciones de fase o ruptura espontánea de simetría . La matriz de densidad de un estado térmico viene dada por

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu ) N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

donde H es el operador hamiltoniano y N es el operador de número de partículas (o operador de carga , si deseamos ser más generales) y

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

es la función de partición . Suponemos que N conmuta con H, o en otras palabras, que el número de partículas se conserva .

En la representación de Heisenberg , la matriz de densidad no cambia con el tiempo, pero los operadores dependen del tiempo. En particular, trasladar un operador A por τ hacia el futuro da como resultado el operador

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }}$.

Una combinación de traslación temporal con una "rotación" de simetría interna da como resultado la expresión más general.

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

Un poco de manipulación algebraica muestra que los valores esperados

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

para cualesquiera dos operadores A y B y cualquier τ real (después de todo, estamos trabajando con espacios de Hilbert de dimensión finita). Utilizamos el hecho de que la matriz de densidad conmuta con cualquier función de ( H − μ N ) y que la traza es cíclica.

Como ya se ha insinuado, con espacios de Hilbert de dimensión infinita, nos encontramos con muchos problemas como transiciones de fase, ruptura espontánea de simetría, operadores que no son de clase traza , funciones de partición divergentes, etc.

Las funciones complejas de z ,${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$converge en la franja compleja${\displaystyle -\beta <\Soy {z}<0}$mientras${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$converge en la franja compleja${\displaystyle 0<\Soy {z}<\beta }$si hacemos ciertas suposiciones técnicas como que el espectro de H − μ N está acotado inferiormente y su densidad no aumenta exponencialmente (ver temperatura de Hagedorn ). Si las funciones convergen, entonces tienen que ser analíticas dentro de la franja sobre la que están definidas como sus derivadas,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

y

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

existir.

Sin embargo, aún podemos definir un estado KMS como cualquier estado que satisfaga

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

con${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$y${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$siendo funciones analíticas de z dentro de sus franjas de dominio.

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$y${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$son los valores de distribución límite de las funciones analíticas en cuestión.

Esto proporciona el límite termodinámico correcto para grandes volúmenes y gran número de partículas. Si existe una transición de fase o una ruptura espontánea de simetría, el estado KMS no es único.

La matriz de densidad de un estado KMS está relacionada con transformaciones unitarias que implican traslaciones temporales (o traslaciones temporales y una transformación de simetría interna para potenciales químicos distintos de cero) a través de la teoría de Tomita-Takesaki .

• Estado de Gibbs