Teorema de Thévenin

Tal como se formuló originalmente en términos de circuitos resistivos de corriente continua únicamente, el teorema de Thévenin establece que "Cualquier red eléctrica lineal que contenga solo fuentes de voltaje , fuentes de corriente y resistencias puede ser reemplazada en los terminales A-B por una combinación equivalente de una fuente de voltaje V _th en conexión en serie con una resistencia R _th ".

• La tensión equivalente V _th es la tensión obtenida en los terminales A–B de la red con los terminales A–B en circuito abierto .
• La resistencia equivalente Rth _es la resistencia que tendría el circuito entre los terminales A y B si todas las fuentes de voltaje ideales del circuito se reemplazaran por un cortocircuito y todas las fuentes de corriente ideales se reemplazaran por un circuito abierto (es decir, las fuentes se configuran para proporcionar voltajes y corrientes cero).
• Si los terminales A y B están conectados entre sí (cortocircuito), entonces la corriente que fluye desde A y B será${\textstyle {\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}}$Según el circuito equivalente de Thévenin, R _th podría calcularse alternativamente dividiendo V _th entre la corriente de cortocircuito entre A y B cuando están conectados.

En términos de teoría de circuitos , el teorema permite reducir cualquier red de un puerto a una única fuente de voltaje y una única impedancia.

El teorema también se aplica a circuitos de CA en el dominio de la frecuencia que constan de impedancias reactivas (inductivas y capacitivas) y resistivas . Esto significa que el teorema se aplica a la CA exactamente igual que a la CC, con la única diferencia de que las resistencias se generalizan a impedancias.

El teorema fue derivado independientemente en 1853 por el científico alemán Hermann von Helmholtz y en 1883 por Léon Charles Thévenin (1857-1926 ) , ingeniero eléctrico de la organización nacional francesa de telecomunicaciones Postes et Télégraphes . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

El teorema de Thévenin y su dual, el teorema de Norton , se utilizan ampliamente para simplificar el análisis de circuitos y para estudiar la condición inicial y la respuesta en estado estacionario de un circuito. ^{[ 8 ] [ 9 ]} El teorema de Thévenin puede utilizarse para convertir las fuentes e impedancias de cualquier circuito a un equivalente de Thévenin ; en algunos casos, el uso del teorema puede ser más conveniente que el uso de las leyes de circuitos de Kirchhoff . ^{[ 7 ] [ 10 ]}

Se han presentado diversas demostraciones del teorema de Thévenin. Quizás la más sencilla sea la que aparece en el artículo original de Thévenin. ^{[ 3 ]} Existe consenso ^{[ 4 ]} en que la demostración de Thévenin es correcta y de aplicación general. La demostración es la siguiente:

Consideremos una red activa que contiene impedancias, fuentes de voltaje (constante) y fuentes de corriente (constante). La configuración de la red puede ser cualquiera. El acceso a la red se proporciona mediante un par de terminales. Designemos el voltaje medido entre los terminales como Vθ , como se muestra en el recuadro de la izquierda de la Figura 2 _.

Supongamos que las fuentes de voltaje dentro de la caja se reemplazan por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Si se hace esto, no aparece voltaje entre los terminales y es posible medir la impedancia entre ellos. Llamemos a esta impedancia Z _θ .

Ahora supongamos que se conecta una red lineal a los terminales de la caja, con impedancia Ze _, como se muestra en la Figura 2a. Queremos hallar la corriente I que circula por Ze _{. La respuesta no es obvia, ya que la tensión} en los terminales no será Vθ después de conectar Ze _.

En cambio, imaginamos que conectamos, en serie con la impedancia Z _e , una fuente con fuerza electromotriz E igual a V _θ pero dirigida para oponerse a V _θ , como se muestra en la Figura 2b. Entonces no fluirá corriente a través de Z _e ya que E equilibra V _θ .

A continuación, insertamos otra fuente de fuerza electromotriz , E ₁ , en serie con Z _e , donde E ₁ tiene la misma magnitud que E pero en dirección opuesta (véase la figura 2c). La corriente, I ₁ , se puede determinar de la siguiente manera: es la corriente que resultaría de que E ₁ actuara sola, con todas las demás fuentes (dentro de la red activa y la red externa) establecidas en cero. Esta corriente es, por lo tanto,

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

porque Z _e es la impedancia externa a la caja y Z _θ mirando hacia dentro de la caja cuando sus fuentes son cero.

Finalmente, observamos que E y E ₁ se pueden eliminar juntos sin cambiar la corriente, y cuando se eliminan, volvemos a la Figura 2a. Por lo tanto, I ₁ es la corriente, I , que estamos buscando, es decir

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

De esta forma, se completa la demostración. La figura 2d muestra el circuito equivalente de Thévenin.

Como se ha señalado, el teorema de Thévenin fue descubierto y publicado por primera vez por el científico alemán Hermann von Helmholtz en 1853, ^{[ 1 ]} cuatro años antes del nacimiento de Thévenin. La demostración de Thévenin de 1883, descrita anteriormente, se asemeja más a los métodos modernos de la ingeniería eléctrica, lo que podría explicar por qué su nombre se asocia más comúnmente con el teorema. ^{[ 11 ]} La formulación anterior del problema por parte de Helmholtz refleja un enfoque más general, más cercano a la física.

En su artículo de 1853, Helmholtz se centró en las propiedades electromotrices de los "conductores físicamente extensos", en particular, del tejido animal . Observó que trabajos anteriores del fisiólogo Emil du Bois-Reymond habían demostrado que "cada pequeña parte de un músculo que puede ser estimulada es capaz de producir corrientes eléctricas". En aquel entonces, se realizaban experimentos conectando un galvanómetro en dos puntos a una muestra de tejido animal y midiendo el flujo de corriente a través del circuito externo. Dado que el objetivo de este trabajo era comprender las propiedades internas del tejido, Helmholtz buscaba una manera de relacionar dichas propiedades con las corrientes medidas externamente.

El punto de partida de Helmholtz fue un resultado publicado por Gustav Kirchhoff en 1848. ^{[ 12 ]} Al igual que Helmholtz, Kirchhoff se ocupó de sistemas tridimensionales conductores de electricidad. Kirchhoff consideró un sistema compuesto por dos partes, a las que denominó partes A y B. La parte A (que representaba la "red activa" en la figura 2 anterior) consistía en un conjunto de cuerpos conductores conectados extremo con extremo, cada uno caracterizado por una fuerza electromotriz y una resistencia. Se supuso que la parte B estaba conectada a los extremos de A mediante dos cables. Kirchhoff demostró entonces que "sin cambiar el flujo en ningún punto de B, se puede sustituir A por un conductor en el que se encuentra una fuerza electromotriz igual a la suma de las diferencias de potencial en A, y cuya resistencia es igual a la suma de las resistencias de los elementos de A". ^{[ 13 ]}

En su artículo de 1853, Helmholtz reconoció el resultado de Kirchhoff, pero señaló que solo era válido en el caso de que, "como en las baterías hidroeléctricas", no existieran curvas de corriente cerradas en A, sino que todas esas curvas pasaran por B. Por lo tanto, se propuso generalizar el resultado de Kirchhoff al caso de una distribución tridimensional arbitraria de corrientes y fuentes de voltaje dentro del sistema A.

Helmholtz comenzó proporcionando una formulación más general que la que se había publicado anteriormente del principio de superposición , que expresó de la siguiente manera: ^{[ 14 ]}

Si un sistema de conductores contiene fuerzas electromotrices en distintos puntos, la tensión eléctrica en cada punto del sistema por donde circula la corriente es igual a la suma algebraica de las tensiones que cada fuerza electromotriz produciría independientemente de las demás. De igual modo, las componentes de la intensidad de la corriente paralelas a tres ejes perpendiculares son iguales a la suma de las componentes correspondientes a cada fuerza.

Utilizando este teorema, así como la ley de Ohm , Helmholtz demostró los siguientes tres teoremas sobre la relación entre los voltajes y corrientes internas del sistema "físico" A y la corriente que fluye a través del sistema "lineal" B, que se suponía conectado a A en dos puntos de su superficie:

A partir de estos, Helmholtz derivó su resultado final ^{[ 15 ]} :

Si un conductor físico con fuerzas electromotrices constantes en dos puntos específicos de su superficie se conecta a cualquier conductor lineal, entonces en su lugar siempre se puede sustituir por un conductor lineal con una fuerza electromotriz y una resistencia determinadas, que en todos los conductores lineales aplicados generaría exactamente las mismas corrientes que el conductor físico.  ... La resistencia del conductor lineal que se sustituye es igual a la del cuerpo cuando circula una corriente a través de él desde los dos puntos de entrada del conductor lineal.

Luego señaló que su resultado, derivado para un " sistema físico " general, también se aplicaba a circuitos "lineales" (en sentido geométrico) como los considerados por Kirchhoff:

Lo que se aplica a cualquier conductor físico también se aplica al caso especial de un sistema de corriente lineal ramificado. Incluso si dos puntos específicos de dicho sistema se conectan a otros conductores lineales, se comporta, en comparación con ellos, como un conductor lineal con cierta resistencia, cuya magnitud se puede determinar según las reglas bien conocidas para líneas ramificadas, y con cierta fuerza electromotriz, que viene dada por la diferencia de potencial entre los puntos derivados tal como existía antes del circuito añadido.

Esta formulación del teorema es esencialmente la misma que la de Thévenin, publicada 30 años después.

El circuito equivalente de Thévenin de un circuito eléctrico lineal es una fuente de voltaje con voltaje V _th en serie con una resistencia R _th .

La tensión equivalente de Thévenin, Vth _, es la tensión en circuito abierto en los terminales de salida del circuito original. Para calcular una tensión equivalente de Thévenin, suele ser útil el principio del divisor de tensión , considerando un terminal como _Vout y el otro como tierra.

La resistencia equivalente de Thévenin R _Th es la resistencia medida entre los puntos A y B , considerando el circuito desde una perspectiva interna. Esta resistencia se mide después de sustituir todas las fuentes de tensión y corriente por sus resistencias internas. Esto significa que una fuente de tensión ideal se sustituye por un cortocircuito y una fuente de corriente ideal por un circuito abierto. La resistencia se calcula entonces entre los terminales utilizando las fórmulas para circuitos en serie y en paralelo . Este método solo es válido para circuitos con fuentes independientes. Si existen fuentes dependientes en el circuito, se debe utilizar otro método, como conectar una fuente de prueba entre A y B y calcular la tensión o la corriente que circula por ella.

Como regla mnemotécnica, las sustituciones de Thévenin para fuentes de voltaje y corriente se pueden recordar estableciendo los valores de las fuentes (es decir, su voltaje o corriente) en cero. Una fuente de voltaje de valor cero crearía una diferencia de potencial de cero voltios entre sus terminales, al igual que un cortocircuito ideal con dos conductores en contacto; por lo tanto, la fuente se reemplaza por un cortocircuito. De manera similar, tanto una fuente de corriente de valor cero como un circuito abierto dejan pasar corriente cero.

Ejemplo

En el ejemplo, calculando el voltaje equivalente:$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}}$$(Nótese que R ₁ no se tiene en cuenta, ya que los cálculos anteriores se realizan en condiciones de circuito abierto entre A y B , por lo tanto, no fluye corriente a través de esta parte, lo que significa que no hay corriente a través de R ₁ y, por consiguiente, no hay caída de tensión a lo largo de esta parte).

Cálculo de la resistencia equivalente ( R _x || R _y es la resistencia total de dos resistencias en paralelo ):$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

Un circuito equivalente de Norton se relaciona con el equivalente de Thévenin mediante$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{\mathrm {no} }\!\\V_{\mathrm {th} }&=I_{\mathrm {no} }R_{\mathrm {no} }\!\\I_{\mathrm {no} }&={\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}\!\end{aligned}}}$$

• Muchos circuitos solo son lineales en un determinado rango de valores, por lo que el equivalente de Thévenin solo es válido dentro de este rango lineal.
• El equivalente de Thévenin tiene la característica I-V equivalente de un circuito original solo desde el punto de vista de una carga conectada al circuito.
• La disipación de potencia del equivalente de Thévenin no es necesariamente idéntica a la del sistema real. Sin embargo, la potencia disipada por una resistencia externa entre los dos terminales de salida es la misma, independientemente de cómo se implemente el circuito interno.

En 1933, AT Starr publicó una generalización del teorema de Thévenin en un artículo de la revista Institute of Electrical Engineers Journal , titulado Un nuevo teorema para redes activas , ^{[ 16 ]} que establece que cualquier red lineal activa de tres terminales puede ser sustituida por tres fuentes de voltaje con impedancias correspondientes, conectadas en estrella o en delta .

• Teorema del elemento extra
• Teorema de máxima transferencia de potencia
• Teorema de Millman
• Transformación de la fuente

• Wenner, Frank (1926). "Un principio que rige la distribución de corriente en sistemas de conductores lineales". Actas de la Sociedad Física . 39 (1). Washington, DC: Oficina de Normas : 124–144 . Bibcode : 1926PPS....39..124W . doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Documento científico S531.
• Filtros de primer orden: atajo a través de la fuente equivalente de Thévenin : se muestra en la página 4 la simplificación del teorema de Thévenin del circuito complejo para un filtro paso bajo  de primer orden y el divisor de voltaje asociado , la constante de tiempo y la ganancia .

• Contenido multimedia relacionado con el teorema de Thévenin en Wikimedia Commons.