Distribución de cola gorda

Una distribución de cola pesada es una distribución de probabilidad que presenta una gran asimetría o curtosis , en comparación con una distribución normal o exponencial . En el lenguaje común, los términos "cola pesada" y "cola gorda" a veces se usan indistintamente, pero en ocasiones " cola pesada" se define como un subconjunto de "cola gorda" . Diferentes comunidades de investigación prefieren una u otra definición, principalmente por razones históricas, y pueden tener diferencias en la definición precisa de cada una.

Las distribuciones de cola pesada se han encontrado empíricamente en diversas áreas: física , ciencias de la tierra , economía y ciencia política . La clase de distribuciones de cola pesada incluye aquellas cuyas colas decaen como una ley de potencias , lo cual es un punto de referencia común en su uso en la literatura científica. Sin embargo, las distribuciones de cola pesada también incluyen otras distribuciones de decaimiento lento, como la log-normal . ^{[ 1 ]}

La contraparte opuesta a una distribución de cola gruesa es una distribución de cola delgada , cuya descripción presenta una ambigüedad similar.

El caso más extremo de una cola pesada viene dado por una distribución cuya cola decae como una ley de potencias .

Es decir, si la distribución acumulativa complementaria de una variable aleatoria X puede expresarse como

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$como${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$para${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

entonces se dice que la distribución tiene una cola gorda si${\displaystyle \alpha <2}$Para tales valores, la varianza y la asimetría de la cola no están definidas matemáticamente (una propiedad especial de la distribución de ley de potencias) y, por lo tanto, son mayores que cualquier distribución normal o exponencial. Para valores de${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$La afirmación de una cola gorda es más ambigua, porque en este rango de parámetros, la varianza, la asimetría y la curtosis pueden ser finitas, dependiendo del valor preciso de${\displaystyle \ \alpha \ ,}$y, por lo tanto, potencialmente más pequeña que una cola normal o exponencial de alta varianza. Esta ambigüedad a menudo conduce a desacuerdos sobre qué es, o no es, una distribución de cola pesada. Para${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$el${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$El momento es infinito, por lo que para cada distribución de ley de potencias, algunos momentos no están definidos. ^{[ 2 ]}

Nota

Aquí la notación de tilde "${\displaystyle \sim }$" significa que la cola de la distribución decae como una ley de potencias; más técnicamente, se refiere a la equivalencia asintótica de funciones , lo que significa que su razón tiende asintóticamente a una constante.

En comparación con las distribuciones de cola pesada, en la distribución normal, los eventos que se desvían de la media en cinco o más desviaciones estándar ("eventos de 5 sigma") tienen menor probabilidad, lo que significa que en la distribución normal los eventos extremos son menos probables que en las distribuciones de cola pesada. Las distribuciones de cola pesada, como la distribución de Cauchy (y todas las demás distribuciones estables, con la excepción de la distribución normal ), tienen una "sigma indefinida" (técnicamente, la varianza es indefinida).

En consecuencia, cuando los datos provienen de una distribución subyacente de cola pesada, forzar la aplicación del modelo de riesgo de "distribución normal" —y estimar sigma basándose (necesariamente) en un tamaño de muestra finito— subestimaría el verdadero grado de dificultad predictiva (y de riesgo). Muchos —en particular Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb— han señalado esta deficiencia del modelo de distribución normal y han propuesto que las distribuciones de cola pesada, como las distribuciones estables, rigen los rendimientos de los activos que se encuentran frecuentemente en finanzas . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

El modelo Black-Scholes de valoración de opciones se basa en una distribución normal. Si la distribución es en realidad una distribución de cola pesada, el modelo subestimará el precio de las opciones que están muy fuera de dinero , ya que un evento de 5 o 7 sigma es mucho más probable de lo que predeciría la distribución normal. ^{[ 6 ]}

En finanzas , las colas pesadas son frecuentes, pero se consideran indeseables debido al riesgo adicional que implican. Por ejemplo, una estrategia de inversión puede tener una rentabilidad esperada, después de un año, que sea cinco veces su desviación estándar. Suponiendo una distribución normal, la probabilidad de su fracaso (rentabilidad negativa) es menor a una entre un millón; en la práctica, puede ser mayor. Las distribuciones normales que surgen en finanzas generalmente lo hacen porque los factores que influyen en el valor o precio de un activo se comportan matemáticamente de forma predecible, y el teorema del límite central proporciona dicha distribución. Sin embargo, los eventos traumáticos del mundo real (como una crisis petrolera, la quiebra de una gran empresa o un cambio abrupto en la situación política) generalmente no se comportan matemáticamente de forma predecible .

Entre los ejemplos históricos se incluyen el crac de Wall Street de 1929 , el Lunes Negro (1987) , la burbuja de las puntocom , la crisis financiera de 2008 , el desplome repentino de 2010 , el desplome del mercado de valores de 2020 y la desvinculación de algunas monedas. ^{[ 7 ]}

Las colas pesadas en las distribuciones de rentabilidad del mercado también tienen algunos orígenes conductuales (optimismo o pesimismo excesivo del inversor que conduce a grandes movimientos del mercado) y, por lo tanto, se estudian en las finanzas conductuales .

En marketing , la conocida regla 80-20 (por ejemplo, "el 20% de los clientes representan el 80% de los ingresos") es una manifestación de una distribución de cola pesada subyacente a los datos. ^{[ 8 ]}

Las "colas pesadas" también se observan en la industria discográfica , especialmente en los mercados fonográficos . La función de densidad de probabilidad para el logaritmo de los cambios en las ventas semanales de discos es altamente leptocúrtica y se caracteriza por un máximo más estrecho y grande, y por una cola más pesada que en el caso de la distribución normal. Por otro lado, esta distribución tiene solo una cola pesada asociada a un aumento en las ventas debido a la promoción de los nuevos discos que ingresan a las listas. ^{[ 9 ]}

• riesgo de cola
• Teoría del cisne negro
• Siete estados de aleatoriedad
• Distribución de Taleb

• Ejemplos de colas pesadas en series temporales financieras
• Distribución de cola gorda – John A. Robb Archivado el 17/03/2017 en Wayback Machine