Hispanopedia WikiEn filosofía y lógica , la paradoja clásica del mentiroso , o antinomia del mentiroso , consiste en la afirmación de un mentiroso de que está mintiendo: por ejemplo, declarar «Estoy mintiendo». Si el mentiroso realmente miente, entonces está diciendo la verdad, lo que significa que acaba de mentir. En «esta frase es una mentira», la paradoja se refuerza para que sea susceptible de un análisis lógico más riguroso. Todavía se la conoce generalmente como la «paradoja del mentiroso», aunque la abstracción se realiza precisamente a partir del mentiroso que hace la afirmación. Intentar asignar a esta afirmación, al mentiroso reforzado, un valor de verdad binario clásico conduce a una contradicción .
Si suponemos que "esta oración es falsa" es verdadera, entonces podemos confiar en su contenido, que afirma lo contrario y, por lo tanto, genera una contradicción. De manera similar, obtenemos una contradicción cuando suponemos lo contrario.
Historia
La paradoja de Epiménides (c. 600 a. C.) se ha sugerido como un ejemplo de la paradoja del mentiroso, pero no son lógicamente equivalentes. Se dice que el vidente semimítico Epiménides , un cretense , afirmó que «Todos los cretenses son mentirosos». [ 1 ] Sin embargo, la afirmación de Epiménides de que todos los cretenses son mentirosos puede resolverse como falsa, dado que conoce al menos a otro cretense que no miente (alternativamente, puede interpretarse simplemente como una afirmación de que todos los cretenses mienten, no que solo mienten).
El nombre de la paradoja se traduce como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) en griego antiguo . Una versión de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubúlides de Mileto , que vivió en el siglo IV a. C. Según se cuenta, Eubúlides preguntó: «Un hombre dice que miente. ¿Es verdad o mentira lo que dice?» [ 2 ]
Jerónimo de Estridón analizó esta paradoja en un sermón:
«¡ Dije alarmado: «¡Todo hombre es un mentiroso! »» ¿ Dice David la verdad o miente? Si es cierto que todo hombre es un mentiroso, y la afirmación de David, «Todo hombre es un mentiroso», es cierta, entonces David también miente; él también es un hombre. Pero si él también miente, su afirmación de que «Todo hombre es un mentiroso» no es, por consiguiente, cierta. Sea cual sea la interpretación de la proposición, la conclusión es una contradicción. Dado que David mismo es un hombre, se deduce que él también miente; pero si miente porque todo hombre es un mentiroso, su mentira es de otra índole. [ 3 ]
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) conocía bien la paradoja del mentiroso, que formuló como «todo lo que digo es falso» (sarvam mithyā bravīmi). Analiza esta afirmación junto con la paradoja de la «insignificabilidad» y explora la frontera entre las afirmaciones que no presentan problemas en la vida cotidiana y las paradojas. [ 4 ] [ 5 ]
En la tradición islámica primitiva se debatió la paradoja del mentiroso durante al menos cinco siglos, desde finales del siglo IX, y aparentemente sin la influencia de ninguna otra tradición. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī podría haber sido el primer lógico en identificar la paradoja del mentiroso como autorreferencial . [ 6 ]
Explicación y variantes
El problema de la paradoja del mentiroso radica en que parece demostrar que las creencias comunes sobre la verdad y la falsedad conducen a una contradicción . Se pueden construir oraciones a las que no se les puede asignar un valor de verdad de forma consistente, aunque se ajusten completamente a las reglas gramaticales y semánticas .
La versión más simple de la paradoja es la frase:
Si (A) es verdadera, entonces "Esta afirmación es falsa" es verdadera. Por lo tanto, (A) debe ser falsa. La hipótesis de que (A) es verdadera lleva a la conclusión de que (A) es falsa, lo cual es una contradicción.
Si (A) es falsa, entonces «Esta afirmación es falsa» también lo es. Por lo tanto, (A) debe ser verdadera. La hipótesis de que (A) es falsa lleva a la conclusión de que (A) es verdadera, otra contradicción. En cualquier caso, (A) es a la vez verdadera y falsa, lo cual constituye una paradoja.
Sin embargo, el hecho de que la sentencia del mentiroso pueda demostrarse verdadera si es falsa y falsa si es verdadera ha llevado a algunos a concluir que "no es ni verdadera ni falsa". [ 7 ] Esta respuesta a la paradoja es, en efecto, el rechazo de la afirmación de que toda afirmación tiene que ser verdadera o falsa, también conocido como el principio de bivalencia , un concepto relacionado con la ley del tercero excluido .
La propuesta de que la afirmación no es ni verdadera ni falsa ha dado lugar a la siguiente versión reforzada de la paradoja:
Si (B) no es ni verdadero ni falso, entonces debe ser falso . Dado que esto es lo que (B) afirma, significa que (B) debe ser verdadero . Como inicialmente (B) era falso y ahora es verdadero, surge otra paradoja.
Otra reacción a la paradoja de (A) es postular, como lo ha hecho Graham Priest , que la afirmación es a la vez verdadera y falsa. Sin embargo, incluso el análisis de Priest es susceptible a la siguiente versión del mentiroso:
Si (C) es a la vez verdadero y falso, entonces (C) es solo falso. Pero entonces, no es verdadero . Dado que inicialmente (C) era verdadero y ahora no lo es , se trata de una paradoja. Sin embargo, se ha argumentado que al adoptar una semántica relacional bivaluada (en contraposición a la semántica funcional ), el enfoque dialéctico puede superar esta versión del Mentiroso. [ 8 ]
También existen versiones de la paradoja del mentiroso que constan de varias frases. La siguiente es la versión de dos frases:
Supongamos que (D1) es verdadera. Entonces (D2) es verdadera. Esto significa que (D1) es falsa. Por lo tanto, (D1) es verdadera y falsa a la vez.
Supongamos que (D1) es falso. Entonces (D2) es falso. Esto significaría que (D1) es verdadero. Por lo tanto, (D1) es verdadero y falso a la vez. En cualquier caso, (D1) es verdadero y falso al mismo tiempo, la misma paradoja que en (A) anterior.
La versión de varias oraciones de la paradoja del mentiroso se generaliza a cualquier secuencia circular de tales enunciados (en la que el último enunciado afirma la verdad/falsedad del primero), siempre que haya un número impar de enunciados que afirmen la falsedad de su sucesor; la siguiente es una versión de tres oraciones, donde cada enunciado afirma la falsedad de su sucesor:
Supongamos que (E1) es verdadera. Entonces (E2) es falsa, lo que significa que (E3) es verdadera y, por lo tanto, (E1) es falsa, lo que lleva a una contradicción.
Supongamos que (E1) es falso. Entonces (E2) es verdadero, lo que significa que (E3) es falso y, por lo tanto, (E1) es verdadero. En cualquier caso, (E1) es a la vez verdadero y falso: la misma paradoja que con (A) y (D1).
Existen muchas otras variantes y muchos complementos posibles. En la construcción normal de oraciones, la versión más simple del complemento es la siguiente:
Si se supone que F tiene un valor de verdad, entonces surge el problema de determinar el objeto de ese valor. Sin embargo, es posible una versión más simple, asumiendo que la palabra «verdadero» tiene un valor de verdad. El análogo de la paradoja consiste en suponer que la palabra «falso» también tiene un valor de verdad, es decir, que es falsa. Esto revela que la paradoja se reduce al acto mental de suponer que la idea misma de falacia tiene un valor de verdad, es decir, que la idea misma de falacia es falsa: un acto de tergiversación. Por lo tanto, la versión simétrica de la paradoja sería:
También existe una versión relacionada con el problema de los contingentes futuros que no puede resolverse sin que surja una contradicción:
Si la respuesta es "sí", entonces la respuesta a la pregunta es "no", y si la respuesta es "no", entonces la respuesta a la pregunta es "sí".
Posibles soluciones
lógica difusa
En lógica difusa , el valor de verdad de una proposición puede ser cualquier número real entre 0 y 1 (ambos inclusive), a diferencia de la lógica booleana , donde los valores de verdad solo pueden ser los enteros 0 o 1. En este sistema, la proposición "Esta proposición es falsa" ya no es paradójica, puesto que se le puede asignar un valor de verdad de 0,5, [ 9 ] [ 10 ] lo que la convierte precisamente en mitad verdadera y mitad falsa. A continuación se muestra una explicación simplificada.
Sea el valor de verdad de la afirmación "Esta afirmación es falsa" denotado porLa declaración se convierte en
Al generalizar el operador NOT al operador Zadeh equivalente de la lógica difusa , la afirmación se convierte en:
de lo cual se deduce que
Alfred Tarski
Alfred Tarski diagnosticó la paradoja como algo que surge únicamente en lenguas "semánticamente cerradas", entendiendo por ello una lengua en la que una oración puede predicar la verdad (o falsedad) de otra oración en la misma lengua (o incluso de sí misma). Para evitar autocontradicciones, al hablar de valores de verdad, es necesario concebir niveles de lenguaje, cada uno de los cuales solo puede predicar la verdad (o falsedad) de lenguas de un nivel inferior. Así, cuando una oración se refiere al valor de verdad de otra, su nivel semántico es superior. La oración a la que se hace referencia pertenece al "lenguaje objeto", mientras que la oración que hace referencia se considera parte de un "metalenguaje" con respecto al lenguaje objeto. Es legítimo que oraciones en "lenguajes" de un nivel superior en la jerarquía semántica se refieran a oraciones de un nivel inferior en dicha jerarquía, pero no al revés. Esto impide que un sistema se vuelva autorreferencial.
Sin embargo, este sistema es incompleto. Uno desearía poder hacer afirmaciones como "Para cada afirmación en el nivel α de la jerarquía, hay una afirmación en el nivel α + 1 que afirma que la primera afirmación es falsa". Esta es una afirmación verdadera y significativa sobre la jerarquía que define Tarski, pero se refiere a afirmaciones en cada nivel de la jerarquía, por lo que debe estar por encima de cada nivel de la jerarquía y, por lo tanto, no es posible dentro de la jerarquía (aunque sí son posibles versiones limitadas de la oración). [ 11 ] [ 12 ] A Saul Kripke se le atribuye la identificación de esta incompletitud en la jerarquía de Tarski en su artículo muy citado "Esquema de una teoría de la verdad", [ 12 ] y se reconoce como un problema general en los lenguajes jerárquicos. [ 12 ] [ 13 ]
Arthur Prior
Arthur Prior afirma que no hay nada paradójico en la paradoja del mentiroso. Su argumento (que atribuye a Charles Sanders Peirce y John Buridan ) es que toda afirmación incluye una aseveración implícita de su propia verdad . [ 14 ] Así, por ejemplo, la afirmación «Es cierto que dos más dos es igual a cuatro» no contiene más información que la afirmación «dos más dos es igual a cuatro», porque la frase «es cierto que...» siempre está implícita. Y en el espíritu autorreferencial de la paradoja del mentiroso, la frase «es cierto que...» es equivalente a «toda esta afirmación es cierta y...».
Por lo tanto, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
Esta última es una simple contradicción de la forma "A y no A", y por lo tanto es falsa. En consecuencia, no hay paradoja, porque la afirmación de que este mentiroso de dos conjunciones es falso no conduce a una contradicción. Eugene Mills presenta una respuesta similar. [ 15 ]
Saúl Kripke
Saul Kripke argumentó que si una oración es paradójica o no puede depender de hechos contingentes. [ 11 ] : 6 Si lo único que Smith dice sobre Jones es
Y Jones solo dice estas tres cosas sobre Smith:
Si Smith realmente es un derrochador pero no es indulgente con el crimen, entonces tanto el comentario de Smith sobre Jones como el último comentario de Jones sobre Smith son paradójicos.
Kripke propone la siguiente solución: si el valor de verdad de una afirmación está intrínsecamente ligado a algún hecho evaluable del mundo, dicha afirmación está «fundamentada». De lo contrario, carece de fundamento. Las afirmaciones sin fundamento no tienen valor de verdad. Las afirmaciones mentirosas y las que se asemejan a una mentira carecen de fundamento y, por lo tanto, no tienen valor de verdad.
Jon Barwise y John Etchemendy
Jon Barwise y John Etchemendy proponen que la oración mentirosa (que interpretan como sinónimo de Mentiroso Reforzado) es ambigua. Basan esta conclusión en una distinción que establecen entre una "negación" y una "negación". Si la oración mentirosa significa "No es cierto que esta afirmación sea verdadera", entonces se está negando a sí misma. Si significa "Esta afirmación no es verdadera", entonces se está negando a sí misma. Argumentan, basándose en la semántica situacional , que el "mentiroso de la negación" puede ser verdadero sin contradicción, mientras que el "mentiroso de la negación" puede ser falso sin contradicción. Su libro de 1987 hace un uso extensivo de la teoría de conjuntos no bien fundamentados . [ 16 ]
Dialeteísmo
Graham Priest y otros lógicos, entre ellos JC Beall y Bradley Armour-Garb, propusieron que la sentencia del mentiroso debería considerarse tanto verdadera como falsa, un punto de vista conocido como dialeteísmo . El dialeteísmo sostiene que existen contradicciones verdaderas. El dialeteísmo plantea sus propios problemas. El principal es que, dado que el dialeteísmo reconoce la paradoja del mentiroso, una contradicción intrínseca, como verdadera, debe descartar el principio de explosión , reconocido desde hace mucho tiempo, que afirma que cualquier proposición puede deducirse de una contradicción, a menos que el dialeteísta esté dispuesto a aceptar el trivialismo, es decir, la visión de que todas las proposiciones son verdaderas. Dado que el trivialismo es una visión intuitivamente falsa, los dialeteístas casi siempre rechazan el principio de explosión. Las lógicas que lo rechazan se denominan paraconsistentes .
No cognitivismo
Andrew Irvine ha argumentado a favor de una solución no cognitivista a la paradoja, sugiriendo que algunas oraciones aparentemente bien formadas resultarán no ser ni verdaderas ni falsas y que "los criterios formales por sí solos inevitablemente resultarán insuficientes" para resolver la paradoja. [ 7 ]
El perspectivismo de Bhartrhari
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) abordó paradojas como la del mentiroso en una sección de uno de los capítulos de su obra magna, el Vākyapadīya. La solución de Bhartrhari encaja en su enfoque general del lenguaje, el pensamiento y la realidad, que algunos han caracterizado como «relativista», «no comprometido» o «perspectivista». [ 17 ] Con respecto a la paradoja del mentiroso ( sarvam mithyā bravīmi «todo lo que digo es falso»), Bhartrhari identifica un parámetro oculto que puede convertir situaciones sin problemas en la comunicación diaria en una paradoja persistente. La solución de Bhartrhari puede entenderse en términos de la solución propuesta en 1992 por Julian Roberts: «Las paradojas se consumen a sí mismas. Pero podemos mantener separadas las partes en conflicto de la contradicción mediante el simple recurso de la contextualización temporal: lo que es "verdadero" con respecto a un punto en el tiempo no tiene por qué serlo en otro... La fuerza general del argumento "austiniano" no es simplemente que "las cosas cambian", sino que la racionalidad es esencialmente temporal en el sentido de que necesitamos tiempo para reconciliar y gestionar lo que de otro modo serían estados mutuamente destructivos». [ 18 ] Según la sugerencia de Roberts, es el factor "tiempo" el que nos permite reconciliar las "partes del mundo" separadas que juegan un papel crucial en la solución de Barwise y Etchemendy. [ 16 ] : 188 La capacidad del tiempo para evitar una confrontación directa de las dos "partes del mundo" es aquí externa al "mentiroso". Sin embargo, a la luz del análisis de Bhartrhari, la extensión en el tiempo que separa dos perspectivas del mundo o dos "partes del mundo" –la parte anterior y la parte posterior a que la función cumpla su tarea– es inherente a cualquier "función": también la función de significar que subyace a cada enunciado, incluido el "mentiroso". [ 5 ] La paradoja irresoluble –una situación en la que está presente una contradicción ( virodha ) o una regresión infinita ( anavasthā )– surge, en el caso del mentiroso y otras paradojas como la paradoja de la no significabilidad ( paradoja de Bhartrhari ), cuando se hace una abstracción de esta función ( vyāpāra ) y su extensión en el tiempo, al aceptar una función simultánea y opuesta ( apara vyāpāra ) que deshace la anterior.
Estructura lógica
Para comprender mejor la paradoja del mentiroso, conviene formularla de manera más formal. Si la afirmación "es falsa" se denota por A y se busca su valor de verdad, es necesario encontrar una condición que restrinja la elección de posibles valores de verdad de A. Dado que A es autorreferencial , es posible expresar dicha condición mediante una ecuación.
Si se supone que una afirmación B es falsa, se escribe "B = falso". La afirmación (C) de que la afirmación B es falsa se escribiría como "C = 'B = falso ' " . Ahora bien, la paradoja del mentiroso se puede expresar como la afirmación A, que dice que A es falsa:
Esta es una ecuación a partir de la cual se podría obtener el valor de verdad de A = "esta afirmación es falsa". En el dominio booleano , "A = falso" es equivalente a "no A" y, por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Esta es la motivación para la reinterpretación de A. El enfoque lógico más simple para que la ecuación tenga solución es el enfoque dialeteísta, en cuyo caso la solución es que A sea tanto "verdadero" como "falso". Otras resoluciones incluyen principalmente algunas modificaciones de la ecuación; Arthur Prior afirma que la ecuación debería ser "A = 'A = falso y A = verdadero ' " y, por lo tanto, A es falso. En la lógica verbal computacional, la paradoja del mentiroso se extiende a afirmaciones como "Oigo lo que él dice; él dice lo que yo no oigo", donde se debe usar la lógica verbal para resolver la paradoja. [ 19 ]
Aplicaciones
Primer teorema de incompletitud de Gödel
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas fundamentales de la lógica matemática que establecen limitaciones inherentes a los sistemas axiomáticos suficientemente potentes para las matemáticas. Estos teoremas fueron demostrados por Kurt Gödel en 1931 y son importantes en la filosofía de las matemáticas. En términos generales, al demostrar el primer teorema de incompletitud , Gödel utilizó una versión modificada de la paradoja del mentiroso, reemplazando "esta oración es falsa" por "esta oración no es demostrable", denominada "oración de Gödel G". Su demostración mostró que, para cualquier teoría T suficientemente potente, G es verdadera, pero no demostrable en T. El análisis de la verdad y la demostrabilidad de G es una versión formalizada del análisis de la verdad de la oración del mentiroso. [ 20 ]
Para demostrar el primer teorema de incompletitud, Gödel representó enunciados mediante números . Entonces, la teoría en cuestión, que se supone que prueba ciertos hechos sobre los números, también prueba hechos sobre sus propios enunciados. Las preguntas sobre la demostrabilidad de los enunciados se representan como preguntas sobre las propiedades de los números, que serían decidibles por la teoría si esta fuera completa. En estos términos, la sentencia de Gödel afirma que no existe ningún número natural con una propiedad extraña. Un número con esta propiedad codificaría una prueba de la inconsistencia de la teoría. Si existiera tal número, la teoría sería inconsistente, contraria a la hipótesis de consistencia. Por lo tanto, bajo el supuesto de que la teoría es consistente, no existe tal número.
No es posible reemplazar "no demostrable" por "falso" en una sentencia de Gödel porque el predicado "Q es el número de Gödel de una fórmula falsa" no puede representarse como una fórmula aritmética. Este resultado, conocido como el teorema de indefinibilidad de Tarski , fue descubierto independientemente por Gödel (cuando trabajaba en la demostración del teorema de incompletitud) y por Alfred Tarski .
Desde entonces, George Boolos ha esbozado una demostración alternativa del primer teorema de incompletitud que utiliza la paradoja de Berry en lugar de la paradoja del mentiroso para construir una fórmula verdadera pero indemostrable.
En la cultura popular
La paradoja del mentiroso se usa ocasionalmente en la ficción para desactivar inteligencias artificiales, que se presentan como incapaces de procesar la oración. En el episodio " Yo, Mudd " de Star Trek: La Serie Original, el Capitán Kirk y Harry Mudd usan la paradoja del mentiroso para confundir y finalmente desactivar a un androide que los mantiene cautivos. En la serie de Doctor Who de 1973, "La muerte verde" , el Doctor deja perplejo temporalmente al demente ordenador BOSS preguntándole: "Si te dijera que lo siguiente que diga sería verdad, pero que lo último que dije fue una mentira, ¿me creerías?". BOSS intenta averiguarlo, pero no puede. Finalmente decide que la pregunta es irrelevante y llama a seguridad.
En la película de 1967 , Bedazzled , el Diablo le dice a su víctima, Stanley Moon, que "Todo lo que dice es mentira, incluso esto".
La canción de Thin Lizzy " Don't Believe a Word " contiene la letra "Ni una palabra de esto es verdad".
En el videojuego Portal 2 de 2011 , la inteligencia artificial GLaDOS intenta usar la paradoja "esta frase es falsa" para matar a otra inteligencia artificial, Wheatley . Sin embargo, al carecer de la inteligencia suficiente para darse cuenta de que la afirmación es una paradoja, simplemente responde: "Eh, cierto. Me quedo con la verdad. Listo, eso fue fácil", y no se ve afectada. Curiosamente, todas las demás IA presentes, excepto GLaDOS, que son significativamente menos conscientes y lúcidas que ella y Wheatley, mueren al escuchar la paradoja. GLaDOS comenta más tarde que casi se mata a sí misma en su propio intento de matar a Wheatley usando la paradoja.
La canción de Devo "Enough Said" incluye la letra "Lo próximo que te diga será verdad/Lo último que dije fue mentira".
En el séptimo episodio de Minecraft: Story Mode , titulado "Acceso Denegado", el protagonista, Jesse, y sus amigos son capturados por una supercomputadora llamada PAMA. Después de que PAMA controla a dos de los amigos de Jesse, este descubre que PAMA se bloquea al procesar datos y utiliza una paradoja para confundirlo y escapar con su último amigo. Una de las paradojas que el jugador puede hacer que Jesse diga es la paradoja del mentiroso.
La canción de Robert Earl Keen , "The Road Goes On and On", menciona la paradoja. La canción forma parte de la disputa de Keen con Toby Keith , quien presumiblemente es el "mentiroso" al que se refiere Keen. [ 21 ]
Véase también
Notas
- ↑ La paradoja de Epiménides dice: "Todos los cretenses son mentirosos". Tito 1:12
- ↑ Andrea Borghini. "Paradojas de Eubúlides" . About.com (New York Times). Archivado del original el 11 de noviembre de 2012. Consultado el 4 de septiembre de 2012 .
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Referencias
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Enlaces externos
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- Beall, JC; Glanzberg, Michael. "La paradoja del mentiroso" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .
- Comunicación de falsedades
- Mintiendo
- Paradojas autorreferenciales
- lógica griega antigua